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导数复习经典例题分类(含答案)



导数解答题题型分类之拓展篇(一)
编 制:王 平 审 阅:朱 成 2014-05-31

题型一:最常见的关于函数的单调区间;极值;最值;不等式恒成立; 经验 1:此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令 f ' ( x) ? 0 得到几个根;第二步:列表如下;第三步:由表可知; 经验 2:不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,常见处理方法有四种:第一种:变更主元 (即关于某字母的一次函数) ;题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元) ; 第二种:分离变量 求最值(请同学们参考例 5) ; 第三种:关于二次函数的不等式恒成立; 第四种:构造函数求 最值;题型特征( f ( x) ? g ( x) 恒成立 ? h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 恒成立) ;参考例 4;
1 例 1.已知函数 f ( x) ? x3 ? bx 2 ? 2 x ? a , x ? 2 是 f ( x) 的一个极值点. 3 2 (Ⅰ)求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)若当 x ? [1, 3] 时, f ( x ) ? a 2 ? 恒成立,求 a 的取值范围. 3

2 x2 , g ( x) ? ax ? 5 ? 2a(a ? 0) 。 x ?1 (1)求 f ( x) 在 x ? [0,1] 上的值域; (2)若对于任意 x1 ?[0,1] ,总存在 x0 ? [0,1] ,使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,求 a 的取值范围。

例 2.设 f ( x) ?

1

例 3.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 图象上一点 P(1, b) 的切线斜率为 ?3 , t ?6 2 g ( x) ? x 3 ? x ? (t ? 1) x ? 3 (t ? 0) 2 (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)当 x ?[?1, 4] 时,求 f ( x) 的值域; (Ⅲ)当 x ? [1, 4] 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 t 的取值范围。

(a ? 0) 例 4.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax3 ? 2ax2 ? b 在区间 ??2,1? 上的最大值是 5,最小值是

-11. ? tx ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 t ? [?1,1] 时, f ?( x) 围.

例 5.已知函数 f ( x) ?
g ( x) ? f ( x) ?

x3 2 10 图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 ,函数 2 5 a

3bx2 ? 3. a2 (1) 若函数 g ( x) 在 x ? 1 处有极值,求 g ( x) 的解析式;

(2) 若函数 g ( x) 在区间 [ ?1,1] 上为增函数,且 b 2 ? mb ? 4 ? g ( x) 在区间 [ ?1,1] 上都成立,求实数 m 的取值范围.

2

题型二:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与 x 轴即方程根的个数问题; 经验 1:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种: 第一种:转化为恒成立问题即 f ' ( x) ? 0或f ' ( x) ? 0 在给定区间上恒成立,然后转为不等式恒成立 问题;用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(看是否在 0 的同侧) ,如果是同侧则不必分类 讨论;若在 0 的两侧,则必须分类讨论,要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变!有 时分离变量解不出来,则必须用另外的方法; 第二种:利用子区间(即子集思想) ;首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的 增或减区间的子集;参考 08 年高考题; 第三种方法: 利用二次方程根的分布, 着重考虑端点函数值与 0 的关系和对称轴相对区间的位置; 可参考第二次市统考试卷; 特别说明:做题时一定要看清楚“在(a,b)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b) ,要弄清楚 ” 两句话的区别; 经验 2:函数与 x 轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步:画出两个图像即“穿线图” (即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后 减再增”还是“先减后增再减” ; 第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组) ;主要看极大值和极小值与 0 的关系; 第三步:解不等式(组)即可; (k ? 1) 2 1 1 x , g ( x) ? ? kx ,且 f ( x) 在区间 (2,??) 上为增函数. 例 6.已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3 2 3 (1)求实数 k 的取值范围; (2)若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有三个不同的交点,求实数 k 的取值 范围.

3 例 7.已知函数 f ( x) ? ax 3 ? 3x 2 ? 1 ? . a (I)讨论函数 f ( x) 的单调性。 (II)若函数 y ? f ( x) 在 A、B 两点处取得极值,且线段 AB 与 x 轴有公共点,求实数 a 的取值 范围。

3

例 8.已知函数 f(x)=x3-ax2-4x+4a,其中 a 为实数. (Ⅰ)求导数 f ? (x);(Ⅱ)若 f ? (-1)=0,求 f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值; (Ⅲ)若 f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增的,求 a 的取值范围

例 9.已知:函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c (I)若函数 f ( x) 的图像上存在点 P ,使点 P 处的切线与 x 轴平行,求实数 a , b 的关系式; (II)若函数 f ( x) 在 x ? ?1 和 x ? 3 时取得极值且图像与 x 轴有且只有 3 个交点,求实数 c 的取值 范围.

1 时, f ( x ) 的极小值为 ?1 . 2 (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)证明:当 x ? (1, ? ?) 时,函数 f ( x ) 图像上任意两点的连线的斜率 恒大于 0.

例 10.设 y ? f ( x) 为三次函数,且图像关于原点对称,当 x ?

例 11.在函数 f ( x) ? ax3 ? bx(a ? 0) 图像在点(1,f(1) )处的切线与直线 6 x ? y ? 7 ? 0. 平行, 导函数 f ' ( x) 的最小值为-12。 (1)求 a、b 的值; (2)讨论方程 f ( x) ? m 解的情况(相同根 算一根) 。

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导数解答题题型分类之拓展篇(二)
编 制:王 平
3

审 阅:朱 成

2014-06-01

例 12.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a, b, c ? R) ,当 x ? ?1 时, f ( x) 取得极大值 3, f (0) ? 1 . (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)已知实数 t 能使函数 f (x)在区间(t, t ? 3) 上既能取到极大值,又能 f ( x) ( x ? M ) 的零点个数. 取到极小值,记所有的实数 t 组成的集合为 M.请判断函数 g ( x) ? x

例 13.已知函数 f ( x) ? kx3 ? 3(k ? 1) x 2 ? 2k 2 ? 4, 若f ( x) 的单调减区间为(0,4) (I)求 k 的值; (II)若对任意的 t ? [?1,1],关于x的方程2x 2 ? 5x ? a ? f (t ) 总有实数解,求实数 a 的取值范围。

例 14.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? x( x ? R, a, b 是常数 ) , 且当 x ? 1 和 x ? 2 时, 函数 f ( x) 取得极值. (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 与 g ( x) ? ?3x ? m(?2 ? x ? 0) 有两个不同的交 点,求实数 m 的取值范围.

例15.已知 f (x)=x3+bx2+cx+2. ⑴若 f(x)在 x=1时有极值-1,求 b、c 的值; ⑵若函数 y=x2+x-5的图象与函数 y=
k ?2 的图象恰有三个不同的交点,求实数 k 的取值范围. x
5

例 16. 设函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax , g ( x) ? 2 x ? b ,当 x ? 1 ? 2 时, f ( x) 取得极值. 3 (1)求 a 的值,并判断 f (1 ? 2 ) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值; (2)当 x ? [?3,4] 时,函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有两个公共点,求 b 的取值范围.

题型三:函数的切线问题; 经验 1:在点处的切线,易求; 经验 2:过点作曲线的切线需四个步骤; 第一步:设切点,求斜率;第二步:写切线(一般用点斜式) ;第三步:根据切点既在曲线 上又在切线上得到一个三次方程;第四步:判断三次方程根的个数; 例 17.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得极小值-4,使其导数 f '( x) ? 0 的 x 的取值范围 为 (1,3) ,求: (1) f ( x) 的解析式; (2)若过点 P(?1, m) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

例 18. 已知 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 4x ( a 为常数)在 x ? 2 时取得一个极值, (1)确定实数 t 的取值范围,使函数 f ( x) 在区间 [t , 2] 上是单调函数; (2)若经过点 A(2,c) ( c ? ?8 )可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求 c 的取值范围.

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题型四:函数导数不等式线性规划结合; 1 1 例 19.设函数 g ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx(a, b ? R) ,在其图象上一点 F ( x, y) 处的切线的斜率记为 f ( x) . 3 2 (1)若方程 f ( x) 有两个实根分别为-2 和 4,求 f ( x) 的表达式; (2)若 g ( x) 在区间 ? ?1,3? 上是单调递减函数,求 a 2 ? b 2 的最小值。

1 3 x ? ax 2 ? bx (a, b ? R) 3 11 (1)若 y ? f ( x) 图象上的是 (1,? ) 处的切线的斜率为 ? 4, 求y ? f ( x) 的极大值。 3 (2) y ? f ( x) 在区间 [?1,2] 上是单调递减函数,求 a ? b 的最小值。

例 20.已知函数 f ( x) ?

例 21. 已知函数 f ( x) ? mx3 ? nx2 ( m , n ? R , m ? n 且 m ? 0 )的图象在 (2, f (2)) 处的切线与 x 轴平行. (I) 试确定 m 、 n 的符号; (II) 若函数 y ? f ( x) 在区间 [n, m] 上有最大值为 m ? n 2 ,试求 m 的值.

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题型五:函数导数不等式的结合 a 例 22.已知函数 f ? x ? ? x ? ? b? x ? 0 ? ,其中 a, b ? R . x (Ⅰ)若曲线 y ? f ?x ?在点 P?2, f ?2?? 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 ,求函数 f ?x ? 的解析式; (Ⅱ)讨论函数 f ?x ? 的单调性; ?1 ? ?1 ? (Ⅲ)若对于任意的 a ? ? ,2? ,不等式 f ?x? ? 10 在 ? ,1? 上恒成立,求 b 的取值范围. ?4 ? ?2 ?

例 23.已知函数 f ( x) ? 1 x3 ? ax 2 ? bx ? 1( x ? R, a , b 为实数)有极值,且在 x ? 1 处的切线与直线 3 x ? y ? 1 ? 0 平行. (1)求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a,使得函数 f ( x) 的极小值为 1,若存在,求出实数 a 的值;若不存在, 请说明理由;

1 1 例 24.已知函数 f ( x) ? ax 3 ? x 2 ? cx ? d (a、c、d∈R)满足 f (0) ? 0, f ' (1) ? 0 且 f ' ( x) ? 0 在 R 3 4 上恒成立。 3 b 1 (1)求 a、c、d 的值; (2)若 h( x) ? x 2 ? bx ? ? ,解不等式 f ' ( x) ? h( x) ? 0 ; 4 2 4

例 25.设函数 f ( x) ? ? x( x ? a)2 ( x ? R ) ,其中 a ? R (1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点(2, f (2) )处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的极大值和极小值; (3)当 a ? 3 时,证明存在 k ?[?1,0] ,使得不等式 f (k ? cos x) ? f (k 2 ? cos2 x) 对任意的 x ? R 恒成
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立。

导数解答题题型分类之拓展篇答案 2014-05-31
题型一例 1、解: (Ⅰ) f ' ( x) ? x2 ? 2bx ? 2 . ∵ x ? 2 是 f ( x) 的一个极值点, 3 ∴ x ? 2 是方程 x 2 ? 2bx ? 2 ? 0 的一个根,解得 b ? . 2 2 ' 令 f ( x) ? 0 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? 2 . ∴函数 y ? f ( x) 的单调递增区间为 (??, 1) , (2, +?) .

(Ⅱ)∵当 x ? (1, 2) 时 f ' ( x) ? 0 , x ? (2,3) 时 f ' ( x) ? 0 , ∴ f ( x) 在(1,2)上单调递减, f ( x) 在(2,3)上单调递增. ∴ f (2) 是 f ( x) 在区间[1,3] 2 2 上的最小值,且 f (2) ? ? a . 若当 x ? [1, 3] 时,要使 f ( x ) ? a 2 ? 恒成立,只需 3 3 2 2 2 f (2) ? a 2 ? , 即 ? a ? a 2 ? ,解得 0 ? a ? 1 . 3 3 3 4 x( x ? 1) ? 2 x 2 2 x 2 ? 4 x 例 2、解:(1)法一:(导数法) f ?( x) ? ? ? 0 在 x ? [0,1] 上恒成立. ( x ? 1)2 ( x ? 1)2 ∴ f ( x) 在[0,1]上增,∴ f ( x) 值域[0,1]。 ?0, x ? 0 2 ? 2x ? ? ? 2 , x ? (0,1] , 复合函数求值域. 法二: f ( x) ? x ?1 ? 1 1 ? ? ? x x2 2 x 2 2( x ? 1)2 ? 4( x ? 1) ? 2 2 ? ? 2( x ? 1) ? ? 4 用 对号函数 求值域. 法三: f ( x) ? x ?1 x ?1 x ?1 (2) f ( x) 值域[0,1], g ( x) ? ax ? 5 ? 2a(a ? 0) 在 x ? [0,1] 上的值域 [5 ? 2a,5 ? a] . ?5 ? 2a ? 0 5 由条件,只须 [0,1] ? [5 ? 2a,5 ? a] ,∴ ? ? ?a?4. 5 ? a ? 1 2 ? / ? f (1) ? ?3 ?a ? ?3 例 3、解: (Ⅰ) f / ( x) ? 3x2 ? 2ax ∴ ? , 解得 ? ?b ? ?2 ?b ? 1 ? a (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) 在 [?1,0] 上单调递增,在 [0, 2] 上单调递减,在 [2, 4] 上单调递减又 f (?1) ? ?4, f (0) ? 0,{ f ( x)}min ? f (2) ? ?4,{ f ( x)}max ? f (4) ? 16 ∴ f ( x) 的值域是 [?4,16] t (Ⅲ)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? x 2 ? (t ? 1) x ? 3 x ? [1, 4] 2 ∴要使 f ( x) ? g ( x) 恒成立,只需 h( x) ? 0 ,即 t ( x2 ? 2x) ? 2x ? 6 2x ? 6 , (1)当 x ? [1, 2) 时 t ? 2 解得 t ? ?1 ; x ? 2x (2)当 x ? 2 时 t ? R ;
9

2x ? 6 解得 t ? 8 ;综上所述所求 t 的范围是 (??, ?1] [8, ??) x2 ? 2x 例 4、解: (Ⅰ) f ( x) ? ax3 ? 2ax2 ? b,? f ' ( x) ? 3ax2 ? 4ax ? ax(3x ? 4) 4 令 f ' ( x) =0,得 x1 ? 0, x2 ? ? ? ?2,1? 3 因为 a ? 0 ,所以可得下表:

(3)当 x ? (2, 4] 时 t ?

x
f ' ( x) f ( x)

??2,0?
+ ↗

0 0 极大

? 0,1?


因此 f (0) 必为最大值,∴ f(0) ? 5 因此 b ? 5 , f (?2) ? ?16a ? 5, f (1) ? ?a ? 5,? f (1) ? f (?2) , 即 f (?2) ? ?16a ? 5 ? ?11,∴ a ? 1 ,∴ f ( x) ? x 3 ? 2x 2 ? 5. ? tx ? 0 等价于 3x 2 ? 4 x ? tx ? 0 , 令 g (t ) ? xt ? 3x 2 ? 4x , (Ⅱ)∵ f ?( x) ? 3x 2 ? 4x ,∴ f ?( x) ? g (?1) ? 0 则问题就是 g(t ) ? 0 在 t ? [?1,1] 上恒成立时,求实数 x 的取值范围,为此只需 ? ,即 1) ? 0 ? g(

?3x 2 ? 5x ? 0 , ? 2 ? x ? x?0 解得 0 ? x ? 1 ,所以所求实数 x 的取值范围是[0,1]. 3 3 例 5、解:∵ f ?( x) ? 2 ? x 2 ,∴由 2 ? x 2 ? 3 有 x ? ? a ,即切点坐标为 ( a, a ) , (?a,?a) a a ∴切线方程为 y ? a ? 3( x ? a) ,或 y ? a ? 3( x ? a) ,整理得 3x ? y ? 2a ? 0 或 3x ? y ? 2a ? 0

| ?2 a ? 2 a | 3 2 ? (?1) 2 ? 2 10 ,解得 a ? ?1 ,∴ f ( x) ? x 3 ,∴ g ( x) ? x 3 ? 3bx ? 3 。 (1)∵ g ?( x) ? 3x 2 ? 3b , 5

g ( x) 在 x ? 1 处有极值,∴ g ?(1) ? 0 ,即 3 ? 12 ? 3b ? 0 ,解得 b ? 1 ,∴ g ( x) ? x 3 ? 3x ? 3 (2) ∵函数 g ( x) 在区间 [ ?1,1] 上为增函数, ∴ g ?( x) ? 3x 2 ? 3b ? 0 在区间 [ ?1,1] 上恒成立, ∴b ? 0,

又∵ b 2 ? mb ? 4 ? g ( x) 在区间 [ ?1,1] 上恒成立,∴ b 2 ? mb ? 4 ? g (1) ,即 b 2 ? mb ? 4 ? 4 ? 3b ,∴ m ? b ? 3 在 b ? (??,0] 上恒成立,∴ m ? 3 ∴ m 的取值范围是 ?3,??? 题型二答案: 例 6 解: (1)由题意 f ?( x) ? x 2 ? (k ? 1) x ∵ f ( x) 在区间 (2,??) 上为增函数, ∴ f ?( x) ? x 2 ? (k ? 1) x ? 0 在区间 (2,??) 上恒成立 即 k ? 1 ? x 恒成立,又 x ? 2 ,∴ k ? 1 ? 2 ,故 k ? 1 ∴ k 的取值范围为 k ? 1 x 3 (k ? 1) 2 1 ? x ? kx ? , (2)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 3 2 3 2 h?( x) ? x ? (k ? 1) x ? k ? ( x ? k )(x ? 1) 令 h ?( x) ? 0 得 x ? k 或 x ? 1 由(1)知 k ? 1 , ①当 k ? 1 时,h?( x) ? ( x ? 1) 2 ? 0 ,h( x) 在 R 上递增, 显然不合题意…②当 k ? 1 时,h( x) ,h ?( x) 随 x 的变化情况如下表: x 1 (??, k ) k (k ,1) (1,??) ? ? h ?( x ) 0 0 — h( x ) k ?1 ↗ ↘ ↗ k3 k2 1 极小值 ? ? 极大值 ? 2 6 2 3
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k ?1 ? 0, 欲使 f ( x) 与 g ( x) 的图象有三个不同的交点, 即方程 h( x) ? 0 有三个不同的实根, 2 ?k ? 1 k3 k2 1 ? ? ? 0 ,即 (k ? 1)(k 2 ? 2k ? 2) ? 0 ∴ ? 2 故需 ? ,解得 k ? 1 ? 3 6 2 3 k ? 2 k ? 2 ? 0 ?

由于

综上,所求 k 的取值范围为 k ? 1 ? 3 例 7、 解: (1)f ?( x) ? 3ax2 ? 6x, f ?( x) ? 0得x1 ? 0或x 2 ? 递增;
2 2 当 a<时, (?? , )递减 , ( ,0)递减 , (0,?? ) 递减。 a a (2)当 a>0 时 2 2 2 x (??,0) (0, ) ( ,?? ) 0 a a a f ?( x) + 0 - 0 + f ( x) 增 极大值 减 极小值 增 3 2 4 3 此时,极大值为 f (0) ? 1 ? , 极小值为 f ( ) ? ? 2 ? 1 ? . …………7 分 a a a a 当 a<0 时 2 2 2 x (0,??) (?? , ) ( ,0) 0 a a a f ?( x) - 0 + 0 - f ( x) 减 极小值 增 极大值 减 2 4 3 3 此时,极大值为 f ( ) ? ? 2 ? 1 ? , 极小值为 f (0) ? 1 ? . 因为线段 AB 与 x 轴有公共点所以 a a a a 2 (a ? 3)( a ? 4)( a ? 1) f (0) ? f ( ) ? 0即 ? 0, 解得 a ? [?1,0) ? [3,4] a a3 例 8、解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4 4 1 1 (Ⅱ)由 f ?(?1) ? 0得a ? ,? f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 4 x ? 2. f ?( x) ? 3x 2 ? x ? 4 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 或 3 2 2 9 50 4 50 9 x= ?1 又 f ( ) ? ? , f (?1) ? , f (?2) ? 0, f (2) ? 0, ? f ( x) 在[-2,2]上最大值 ,最小值 ? 2 27 3 27 2
f ?(?2) ? 0, (Ⅲ) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4 , 由题意知 ? ? ? ?4a ? 8 ? 0, ? ? f ?(2) ? 0, ? ?8 ? 4a ? 0, ? ?2 ? a ? 2. ? ??6 ? a ? 6, 2a ??2 ? ? 2, ? 6 ?
2
2

2 2 2 (?? ,0)递增, (0, )递减 , ( ,?? ) , 当 a>0 时, a a a

例 9、解: (I)设切点 P ( x? , y ? ) ? f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b | x? x? ? 0 , ? 3x? ? 2ax? ? b ? 0 ,因为存在极 值点,所以 ? ? 4a ? 12b ? 0 ,即 a ? 3b 。 (II)因为 x ? ?1 ,x ? 3 是方程 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b ? 0 的根, 所以 a ? 3, b ? ?9 ,? f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9x ? c 。
2 2

2

? f ?( x) ? 3x ? 6x ? 9 ? 3( x ? 1)(x ? 3) ,? f ?( x) ? 0, x ? 3, x ? ?1 ;? f ?( x) ? 0,?1 ? x ? 3 ? f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值,在 x ? 3 处取得极小值. ? 函数图像与 x 轴有 3 个交点,? ? f (?1) ? 0 ,
2

? c ? (?5,27)

? ? f (3) ? 0

11

例 10 解: (Ⅰ) 设 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) 其图像关于原点对称, 即 f (? x) ? ? f ( x) 得 3 2 3 2 3 d ? 0 , 则有 f ( x) ? ax ? cx 由 ?ax ? bx ? cx ? d ? ?ax ? bx ? cx ? d ∴ b ? 0 3 1 ?1? ?1? 1 , 依题意得 f ? ? ? ? 0 ∴ a ? c ? 0 ① , f ? ? ? a ? c ? ?1 ② 由①② f ?( x) ? 3ax2 ? c 4 2 ?2? ?2? 8 1 得 a ? 4, c ? ?3 故所求的解析式为: f ( x) ? 4 x 3 ? 3x .(Ⅱ)由 f ?( x) ? 12 x2 ? 3 ? 0 解得: x ? 2 1 1 或 x ? ? , (1, ? ?) ? ( , ? ?) ∴ x ? (1, ? ?) 时,函数 f ( x ) 单调递增;设 ? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ? 是 2 2 x ? (1, ? ?) 时,函数 f ( x ) 图像上任意两点,且 x2 ? x1 ,则有 y2 ? y1 ∴过这两点的直线的斜率 y ? y1 k? 2 ?0. x2 ? x1 例 11、解: (1)? f ' ( x) ? 3ax2 ? b的最小值为? 12,?b ? ?12, 且a ? 0. (3' ) 又直线 6x ? y ? 7 ? 0的斜率为? 6,因此f ' (1) ? 3a ? b ? ?6, ? a ? 2, b ? ?12. (6' ) (2)由(1)知 f ( x) ? 2x 3 ? 12x,? f ' ( x) ? 6x 2 ? 12 ? 6( x ? 2 )(x ? 2 ) ,列表如下:

x f′ f(x)

(??,? 2 ) +

? 2 0 极大值

(? 2 , 2 ) -

2
0 极小值

( 2 ,??) +

所以,函数 f(x)的单调增区间是 (??,? 2 ) 和 ( 2 ,??)
? f (?1) ? 10, f ( 2 ) ? ?8 2 , f (3) ? 18, f ( x)在x ? ? 2上的极大值是 f (? 2 ) ? 8 2 , f ( x)在x ? 2上的极小值是 f ( 2 ) ? ?8 2. ?当m ? 8 2 , 或m ? ?8 2时, 方程有一根 ;当m ? 8 2 , 或m ? ?8 2时, 方程有二根 ; 当 ? 8 2 ? m ? 8 2时, 方程有三根 . (12' )

例 12、解: (1)由 f (0) ? 1 得 c=1

? f ' (?1) ? 3a ? b ? 0 ,得 a ? 1, b ? ?3 ∴ f ' ( x) ? 3ax2 ? b, ? f ( ? 1 ) ? ? a ? b ? 1 ? 3 ?

f ( x) ? x 3 ? 3 x ? 1 (2) f ' ( x) ? 3( x ? 1)(x ? 1) 得 x ? ?1 , x ? 1 时取得极值.由 ? 1 ? (t , t ? 3) , 1 ? (t , t ? 3) 得 1 ? 2 ? t ? ?1. ∴ M ? (?2,?1) . g ( x) ? f ( x) ? x 2 ? 1 ? 3 , g ' ( x ) ? 2 x ? 2 ,∴当 x ? M 时, x x x 1 f ( x) , x ? M 的零 g ' ( x) ? 0 , ∴ g ( x) 在 M 上递减. 又 g (?2) ? , g (?1) ? ?3 ∴函数 g ( x) ? 2 x 点有且仅有 1 个 例 13、解: (I) f ?( x) ? 3kx2 ? 6(k ? 1) x 又? f ?(4) ? 0,? k ? 1(II) ? f ?(t ) ? 3t 2 ? 12t ? ?1 ? t ? 0时f ?(t ) ? 0;0 ? t ? 1时f ?(t ) ? 0 。 8a ? 25 8a ? 25 15 f (?1) ? ?5, f (1) ? ?3, ? f (t ) ? ?5 ? 2 x 2 ? 5 x ? a ? ? ? ?5解得 a ? ? 8 8 8 2 3 a ? 2b ? 1 ? 0, 解得 ? 例 14、解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? 1 , 依题意 f ?(1) ? f ?(2) ? 0 ,即 ?
?12a ? 4b ? 1 ? 0,

1 3 1 3 a ? ? , b ? ∴ f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? x(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, 曲线 y ? f ( x) 与 g ( x) ? ?3x ? m(?2 ? x ? 0) 6 4 6 4 1 3 有两个不同的交点,即 x 3 ? x 2 ? 2 x ? m ? 0 在 ?? 2,0? 上有两个不同的实数解。设 6 4 1 3 1 3 ? ( x) ? x 3 ? x 2 ? 2 x ? m ,则 ? ?( x) ? x 2 ? x ? 2 , 由 ? ?( x) ? 0 的 x ? 4 或 x ? ?1 ,当 x ? (?2,?1) 6 4 2 2
12

时 ? ?( x) ? 0 ,于是 ? ( x) 在 ?? 2,?1? 上递增;当 x ? (?1,0) 时 ? ?( x) ? 0 ,于是 ? ( x) 在 ?? 1,0? 上递减. 依
? 13 3 ? ( ?2) ? 0 ? 题意有 ? 13 13 ∴实数 m 的取值范围是 0 ? m ? ? ? ?0?m? 12 ?? (?1) ? 0 ? ? m ? 12 12 ? ? ( 0) ? 0 ? m?0 ? ? ? ? ? m?? 1

.

例15、解:⑴f '(x)=3x2+2bx+c,由题知 f '(1)=0 ? 3+2b+c=0,f(1)=-1 ? 1+b+c+2 =-1∴b=1,c=-5,f(x)=x3+x2-5x+2,f'(x)=3x2+2x-5 f(x)在[- ,1]为减函数,f (x)在(1,+∞)为增函数∴b=1,c=-5符合题意 ⑵即方程: x 2 ? x ?5 ?
k ?2 恰有三个不同的实解:x3+x2-5x+2=k(x≠0) x 5 3
5 3

即当 x≠0时,f (x)的图象与直线 y=k 恰有三个不同的交点,由⑴知 f (x)在 [??, ? ] 为增函数,
5 3 229 2∴ ?1? k ? 且 k≠2 27

f (x)在 [? ,1] 为减函数,f (x)在(1,+∞)为增函数,又 f (? ) ?

5 3

229 ,f (1)=-1,f (2)= 27

例 16、解: (1)由题意

f ?(1 ? 2 ) ? 0 ? 1 ? 2 ? 2 1 ? 2 ? a ? 0 ? 即 a ? ?1 此时当 x ? 1 ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,

?

?

f ?( x) ? x 2 ? 2 x ? a ? 当 x ? 1 ? 2 时, f ( x) 取得极值, ? 所以

2

?

?

f (1 ? 2 ) 是函数 f ( x) 的最小值。 1 3 1 x ? x 2 ? 3 x ? b ? 0 , b ? x 3 ? x 2 ? 3 x ……8 分 (2)设 f ( x) ? g ( x) ,则 3 3 1 3 2 设 F ( x) ? x ? x ? 3x , G ( x) ? b F ?( x) ? x 2 ? 2x ? 3 ,令 F ?( x) ? x 2 ? 2x ? 3 ? 0 解得 x ? ?1 或 x ? 3 列表 3 如下: 3 (3,4) x (?3,?1) (?1,3) ?3
?1 4

F ?( x) F ( x)

?
?9

0
5 3

__

0
?9

+
? 20 3

? 函数 F ( x) 在 (?3,?1) 和 (3,4) 上是增函数,在 (?1,3) 上是减函数。 5 当 x ? ?1 时, F ( x) 有极大值 F ( ?1) ? ;当 x ? 3 时, F ( x) 有极小值 F (3) ? ?9 3 ? 函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有两个公共点,? 函数 F ( x) 与 G ( x) 的图象有两个公共点 20 5 20 5 ?? ?b? ? b ? (? , ) ? ?? 9? 或 b ? ?9 3 3 3 3 题型三答案: 例 17、解: (1)由题意得: f '( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 3a( x ?1)( x ? 3),(a ? 0) ∴在 (??,1) 上 f '( x) ? 0 ;在 (1,3) 上 f '( x) ? 0 ;在 (3, ??) 上 f '( x) ? 0 因此 f ( x) 在 x0 ? 1 处取得极小值 ?4

∴ a ? b ? c ? ?4 ①, f '(1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ②, f '(3) ? 27a ? 6b ? c ? 0 ③

13

? a ? ?1 ? 由①②③联立得: ?b ? 6 ,∴ f ( x) ? ? x3 ? 6x2 ? 9x ? c ? ?9 ?

(2)设切点 Q (t , f (t )) , y ? f (t ) ? f , (t )( x ? t ) y ? (?3t 2 ? 12t ? 9)( x ? t ) ? (?t 3 ? 6t 2 ? 9t ) ? (?3t 2 ? 12t ? 9) x ? t (3t 2 ?12t ? 9) ? t (t 2 ? 6t ? 9) ? (?3t 2 ? 12t ? 9) x ? t (2t 2 ? 6t ) 过 (?1, m)

m ? (?3t 2 ? 12t ? 9)(?1) ? 2t 3 ? 6t 2 g (t ) ? 2t 3 ? 2t 2 ?12t ? 9 ? m ? 0 令 g '(t ) ? 6t 2 ? 6t ?12 ? 6(t 2 ? t ? 2) ? 0 , 求得: t ? ?1, t ? 2 ,方程 g (t ) ? 0 有三个根。 ? g (?1) ? 0 ??2 ? 3 ? 12 ? 9 ? m ? 0 ?m ? 16 需: ? ?? ?? ? g (2) ? 0 ?16 ? 12 ? 24 ? 9 ? m ? 0 ?m ? ?11 故: ?11 ? m ? 16 ;因此所求实数 m 的范围为: (?11,16)
例 18、解: (1)∵函数 f ( x) 在 x ? 2 时取得一个极值,且 f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 4 , ? f ?(2) ? 12 ? 4a ? 4 ? 0 ,? a ? 2 ? f ?( x) ? 3x2 ? 4x ? 4 ? (3x ? 2)( x ? 2) . 2 2 2 ? x ? ? 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0, x ? ? 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0, ? ? x ? 2 时, 3 3 3 2 2 f ?( x) ? 0 , ? f ( x) 在 (??, ? ],[2, ??) 上都是增函数,在 [ ? , 2] 上是减函数. ∴使 f ( x) 3 3 2 在区间 [t , 2] 上是单调函数的 t 的取值范围是 [? , 2) 3 3 2 2 (2) 由 (1) 知 f ( x) ? x ? 2x ? 4x . 设切点为 P( x0 , y0 ) , 则切线的斜率 k ? f ?( x0 ) ? 3x0 ? 4x0 ? 4 ,
3 2 2 所以切线方程为: y ? ( x0 ? 2x0 ? 4x0 ) ? (3x0 ? 4x0 ? 4)( x ? x0 ) .将点 A(2, c) 代人上述方程,整理得:

3 2 2x0 ? 8x0 ? 8x0 ? 8 ? c ? 0 . 3 2 ∵经过点 A(2, c)(c ? ?8) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,∴方程 2x0 ? 8x0 ? 8x0 ? 8 ? c ? 0 有三个 3 2 设 g ( x0 ) ? 2x0 ? 8x0 ? 8x0 ? 8 ? c ,则 2 2 2 2 g ?( x0 ) ? 6 x0 ? 16 x0 ? 8 ? 0 ? x0 ? 或x0 ? 2 ,g ( x0 ) 在 (??, ) 上单调递增, 在 ( , 2) 上单调递减, 3 3 3 2 ? 280 ? g极大 ? g ( ) ? 0, ? c ? ?8 . 在 (2, ??) 上单调递增, 故 ? 得: ? 3 27 ? g极小 ? g (2) ? 0, ?

不同的实根.

题型四答案: 例 19、解: (1)根据导数的几何意义知 f ( x) ? g`( x) ? x2 ? ax ? b 由已知-2,4 是方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的 ??2 ? 4 ? ?a ?a ? ?2 两个实根由韦达定理, ? ∴? , f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 8 0 ??2 ? 4 ? ?b ?b ? 8 (2) g ( x) 在区间 ? ?1,3? 上是单调递减函数,所以在 ? ?1,3? 区间上恒有
2 2

3 2

f ( x) ? g`( x) ? x ? ax ? b ? 0 ,即 f ( x) ? x ? ax ? b ? 0 在 ? ?1,3? 区间上恒成立 n

? f (?1) ? 0 ?a ? b ? 1 ?a ? b ? 1 这只需满足 ? 即可,也即 ? 而 a 2 ? b 2 可视为平面区域 ? 内的点到原点距 ? f (3) ? 0 ?b ? 3a ? 9 ?b ? 3a ? 9
14

?a ? ?2 离的平方由图知当 ? 时, a 2 ? b2 有最小值 13; ?b ? 3 1 例 20、解: (1)? f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b 由题意得 3 4 11 ? ? 1 ? 2a ? 4 ? ? 11 ? a ? ?1, b ? 3 f ?( x) ? ?4且f (1) ? ? ? ?1 3 ? ?a ?b ? ? 3 ?3 1 ? f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 x f ?( x) ? ( x ? 1)(x ? 3) 令 f ?( x) ? 0得x1 ? ?1, x2 ? 3 3 由此可知 x (?1,3) (3,??) (??,?1) -1 3 f ?( x ) + 0 - 0 + 5 f ( x) ↗ 极大值 ↘ 极小值-9 ↗ 3 5 ?当x ? ?1 时 f ( x) 取极大值 3 (2)? y ? f ( x)在[?1,2] 上是减函数 ? f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b ? 0在[?1,2] 上恒成立 ? f ?(?1) ? 0 ?1 ? 2a ? b ? 0 ? 2a ? b ? 1 ? 0 ?? ?? 即? ? f ?(2) ? 0 ?4 ? 4a ? b ? 0 ?4a ? b ? 4 ? 0

y

P 1 O 1 x

作出不等式组表示的平面区域如图 1 3 当直线 z ? a ? b 经过点 P(? ,2) 时 z ? a ? b 取最小值 2 2 例 21、解:(I)由图象在 (2, f (2)) 处的切线与 x 轴平行, 知 f ?(2) ? 0 ,∴ n ? ?3m ① …………3 分 又 n ? m ,故 n ? 0 , m ? 0 . ………… 4 分 (II)令 f ?( x) ? 3mx2 ? 2nx ? 3mx2 ? 6mx ? 0 , 得 x ? 0或 x ? 2 …………………… 6 分 x ? 0 易证 是 f ( x) 的极大值点, x ? 2 是极小值点(如图). ………… 7 分 令 f ( x) ? f (0) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 3 . …………………………………………8 分 分类:(I)当 0 ? m ? 3 时, f ( x) max ? f (0) ? 0 ,∴ m ? n 2 ? 0 . ② 1 由①,②解得 m ? ,符合前提 0 ? m ? 3 . 9 (II)当 m ? 3 时, f ( x) max ? f (m) ? m4 ? m2 n ,∴ m 4 ? m 2 n ? m ? n 2 . ③ 由①,③得 m 3 ? 3m 2 ? 9m ? 1 ? 0 . 记 g (m) ? m3 ? 3m 2 ? 9m ? 1, ∵ g ?(m) ? 3m2 ? 6m ? 9 ? 3(m ? 1) 2 ? 6 ? 0 , ∴ g (m) 在 R 上是增函数,又 m ? 3 ,∴ g (m) ? g (3) ? 26 ? 0 , 1 ∴ g (m) ? 0 在 3, ?? 上无实数根.综上, m 的值为 m ? . 9 题型五答案:

?

?

a ,由导数的几何意义得 f ?(2) ? 3 ,于是 a ? ?8 .由切点 P(2, f (2)) 在 x2 直线 y ? 3x ? 1 上可得 ?2 ? b ? 7 ,解得 b ? 9 .

例 22、解: (Ⅰ) f ?( x) ? 1 ?

15

所以函数 f ( x) 的解析式为 f ( x ) ? x ? (Ⅱ)解: f ?( x) ? 1 ?

8 ?9. x

a . x2 当 a ? 0 时,显然 f ?( x) ? 0 ( x ? 0 ) .这时 f ( x) 在 (??, 0) , (0, ??) 上内是增函数.

当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? a . 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x) 的变化情况如下表: x (0, a ) (??, ? a ) ? a (? a ,0) ( a , ??) a f ?( x ) + 0 - - 0 + f ( x) ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ 所以 f ( x) 在 (??, ? a ) , ( a , ??) 内是增函数,在 (? a ,0) , (0, ??) 内是减函数. 1 1 1 (Ⅲ)解:由(Ⅱ)知, f ( x) 在 [ ,1] 上的最大值为 f ( ) 与 f (1) 的较大者,对于任意的 a ? [ , 2] , 4 4 2 39 ? 1 ? 1 1 ? f ( ) ? 10 ?b ? ? 4a 不等式 f ( x) ? 10 在 [ ,1] 上恒成立,当且仅当 ? 4 ,即 ? ,对任意的 a ? [ , 2] 成 4 4 2 ? ? ? f (1) ? 10 ?b ? 9 ? a 7 7 立.从而得 b ? ,所以满足条件的 b 的取值范围是 (??, ] . 4 4 科网 例 23、解: (1) f ( x) ? 1 x3 ? ax 2 ? bx ? 1, ? f ?( x) ? x2 ? 2ax ? b, 由题意? f ?(1) ? 1 ? 2a ? b ? 1, 3 ? b ? 2a. ① ? f ( x)有极值,?方程f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b ? 0有两个不等实根 . ② ?? ? 4a2 ? 4b ? 0, ?a2 ? b ? 0. 2 由①、②可得, a ? 2a ? 0. ?a ? ?2或a ? 0. 故 a ? (??,?2) ? (0,??) (2)存在 a ? ? 8 . 由(1)可知 f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b, 令f ?( x) ? 0 , 3
? x1 ? ? a ? a 2 ? 2a , x2 ? ? a ? a 2 ? 2a .

x

(??, x1 )
+ 单调增

x1
0 极大值

( x1 , x2 )
- 单调减

x2
0 极小值

( x 2 ? ?)
+ 单调增

f ?( x) f ( x)

? x ? x 2时, f ( x)取极小值 , 则f ( x 2 ) ?

1 3 2 x 2 ? ax 2 ? 2ax 2 ? 1 ? 1 , 3

2 若x2 ? 0, 即 ? a ? a 2 ? 2a ? 0, 则a ? 0(舍). ? x2 ? 0或x2 ? 3ax2 ? 6a ? 0 . 2 2 若x2 ? 3ax2 ? 6a ? 0, 又f ?( x2 ) ? 0,? x2 ? 2ax2 ? 2a ? 0,? ax2 ? 4a ? 0.

a ? 0,

? x2 ? 4,

??a ? a 2 ? 2a ? 4

? a ? ? 8 ? ?2. 3

8 ? 存在实数 a ? ? , 使得函数 f ( x) 的极小值为 1. 3 ?d ? 0 ?d ? 0 1 ? ? 2 例 24、解: (1) f '( x) ? ax ? x ? c , f (0) ? 0, f '(1) ? 0 ,? ?a ? 1 ? c ? 0 ,即 ?c ? 1 ? a , ? ? 2 ? 2 ? 2
2 从而 f '( x) ? ax ?

1 1 x? ?a。 2 2

f '( x) ? 0 在 R 上恒成立,? ?

?a ? 0 ? 1 1 , ? ? ? 4a ( ? a ) ? 0 ? ? 4 2

16

?a ? 0 ? ? 即 ?(a ? 1 ) 2 ? 0 ,解得 a ? ? 4

1 1 ? ,c ? ,d ? 0 。 4 4 1 2 1 1 3 2 b 1 (2)由(1)知, f '( x) ? x ? x ? , h( x) ? x ? bx ? ? , 4 2 4 4 2 4 1 2 1 1 3 2 b 1 ∴不等式 f ' ( x) ? h( x) ? 0 化为 x ? x ? ? x ? bx ? ? ? 0 , 4 2 4 4 2 4 1 b 1 2 即 x ? ( ? b) x ? ? 0 ,∴ ( x ? )( x ? b) ? 0 2 2 2 1 1 (a)若 b ? ,则不等式 f ' ( x) ? h( x) ? 0 解为 ? x ? b ; 2 2 1 (b)若 b ? ,则不等式 f ' ( x) ? h( x) ? 0 解为空集; 2 1 1 (c)若 b ? ,则不等式 f ' ( x) ? h( x) ? 0 解为 b ? x ? 。 2 2 2 3 例 25、解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? ? x( x ?1) ? ? x ? 2x2 ? x ,得 f (2) ? ?2 ,且 f ?( x) ? ?3x2 ? 4 x ?1, f ?(2) ? ?5 .
? 2) 处的切线方程是 y ? 2 ? ?5( x ? 2) ,整理得 所以,曲线 y ? ? x( x ?1)2 在点 (2, 5x ? y ? 8 ? 0 . (Ⅱ)解: f ( x) ? ? x( x ? a)2 ? ? x3 ? 2ax2 ? a2 x f ?( x) ? ?3x2 ? 4ax ? a2 ? ?(3x ? a)( x ? a) . a 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 或 x ? a .由于 a ? 0 ,以下分两种情况讨论. 3 (1)若 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?( x ) 的正负如下表:

x
f ?( x )

a? ? ? ?∞, ? 3? ? ?

a 3
0

?a ? ? ,a ? ?3 ?

a
0

(a,∞ ? )

?

?

a 4 ?a? ?a? 处取得极小值 f ? ? ,且 f ? ? ? ? a3 ; 3 27 ?3? ?3? 函数 f ( x) 在 x ? a 处取得极大值 f (a ) ,且 f (a) ? 0 . (2)若 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?( x ) 的正负如下表:

因此,函数 f ( x) 在 x ?

x
f ?( x )

? ?∞,a ?
?

a
0

? a? ? a, ? ? 3? ?

a 3
0

?a ? ? ∞? ? , ?3 ? ?

因此,函数 f ( x) 在 x ? a 处取得极小值 f (a ) ,且 f (a) ? 0 ; a 4 ?a? ?a? 函数 f ( x) 在 x ? 处取得极大值 f ? ? ,且 f ? ? ? ? a3 . 3 27 ?3? ?3? a (Ⅲ)证明:由 a ? 3 ,得 ? 1 ,当 k ???1 , 0? 时, k ? cos x ≤ 1, k 2 ? cos2 x ≤1 . 3 由(Ⅱ)知, f ( x) 在 ? ?∞, 1? 上是减函数,要使 f (k ? cos x) ≥ f (k 2 ? cos2 x) , x ? R 只要 k ? cos x ≤ k 2 ? cos2 x( x ? R) 即 cos2 x ? cos x ≤ k 2 ? k ( x ? R)
2



1? 1 ,则函数 g ( x) 在 R 上的最大值为 2 . 设 g ( x) ? cos2 x ? cos x ? ? ? cos x ? ? ?

要使①式恒成立,必须 k ? k ≥ 2 ,即 k ≥ 2 或 k ≤ ?1 .所以,在区间 ??1 , 0? 上存在 k ? ?1 ,使得
2

?

2?

4

f (k ? cos x) ≥ f (k 2 ? cos2 x) 对任意的 x ? R 恒成立.
17

18



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