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2016


第1章

三角函数

三角函数的有关概念

掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线,能够
利用三角函数的定义求三角函数值,利用三角函数线判断三 角函数的符号,借助三角函数线求三角函数的定义域.

已知角α的终边经过点P(3m,-4m)(m≠0),
求sin α,cos α,tan α的值. [分析] 利用三角函数定义求值,注意对m进行分类讨论.

[解 ]

r= ( 3m) 2+(- 4m) 2=5|m|,

若 m>0,则 r=5m, α 为第四象限角. y - 4m 4 sin α= = =- ; 5 r 5m x 3m 3 cos α= = = ; r 5m 5 y - 4m 4 tan α= = =- . 3 x 3m 若 m<0,则 r=-5m, α 为第二象限角.

y - 4m 4 sin α= = = ; r - 5m 5 x 3m 3 cos α= = =- ; 5 r - 5m y - 4m 4 tan α= = =- . 3 x 3m
[点评 ] 利用三角函数的定义求三角函数值要考虑角 α 终

边可能在的位置,即要考虑三角函数值符号问题,同时注 意应用“勾股数 ”等解题以减少运算.

三角变换中的求值问题 利用同角三角函数关系、诱导公式以及三角函数的图象和 性 质,求含有未知角的三角函数式的值,是三角变换中的一 类

重要题型,它解法灵活,技巧性强,对三角恒等变形能力 有
较高的要求.深入分析已知与未知的内在联系,用分析、 综

合、方程等思想方法进行转化,是解题的基本策略.

已知 sin α、cos α 是关于 x 的方程 8x2+6mx+2m+1 1 1 =0 的两根,求 + 的值. sin α cos α [分析] 利用sin α+cos α与sin α、cos α的联系可确定方程

中的m.
[解 ] ∵ sin α、 cos α 是方程 8x2+6mx+2m+ 1= 0 的两根 , 2m+1 3m ∴ sin α+ cos α=- , sin αcos α= . 4 8 2m+1 3m 2 ∴ (- ) - 2× = 1,整理得 4 8

9m2- 8m-20= 0,即 (9m+10)(m- 2)=0. 10 ∴ m=- 或 m= 2. 9 又 sin α、 cos α 为实根,∴ Δ=36m2- 32(2m+ 1)≥0. 即 9m2-16m- 8≥0,∴m= 2 不合题意,舍去. 10 故 m=- . 9 3m - sin α+ cos α 4 - 6m 1 1 ∴ + = = = sin α cos α sin αcos α 2m+1 2m+1 8

10 - 6×(- ) 9 60 = =- . 10 11 2× (- )+1 9

[点评]

同角三角函数的基本关系式主要考查 利 用公 式

进行恒等变形的技能,以及基本运算能力,特别突出 推

理、计算的考查.

三角函数式的化简和证明 化简三角函数式,证明三角恒等式或条件等式,是三角变换 中 的一个基本题型.许多三角函数问题,常需要先将三角函数 式 化简,再研究其图象和性质,许多三角等式的证明 过程, 也 就是三角函数式的化简过程.因此,三角函数式的 化简是 三 角函数问题的解题基础.充分观察三角函数式的结构特点,利 用同角三角函数关系及诱导公式,通过变异为同,化切为弦,高 次降幂等手段,对三角函数式进行恒等变形,是三角函数 式 化简和证明的解题关键.

1+sin α+cos α+2sin αcos α 化简 . 1+sin α+cos α

[分析] 分子要分组分解出因式(1+sin α+cos α),才能分 子、分母约分化简.
[解 ] 原式 ( sin2α+ cos2α+ 2sin αcos α)+( sin α+ cos α) = 1+ sin α+ cos α ( sin α+ cos α) 2+( sin α+ cos α) = 1+ sin α+ cos α ( sin α+ cos α)( 1+ sin α+ cos α) = = sin α+ cos α . 1+ sin α+ cos α

[点评] 三角变形要注意“1”的变换,如1=sin2α+cos2α, 1=tan 45°等.

三角函数的图象和性质
三角函数作为中学阶段所学的基本初等函数之一,在考查时 往往与后面的知识相联系,着重考查三角函数的几大性质.

解答此类问题时,时常用到数形结合、分类讨论、化归转化
等数学思想,知识体系相对较复杂,是我们学习的一个重中

之重,应引起足够重视.

π π 已知函数 y=asin(2x+ )+ b 在 x∈[0, ]上的值域 6 2 为 [- 5, 1],求 a、 b 的值.
[分析] π 由于 y=asin(2x+ )+b 含参数 a, 因此需先由 x 的 6

π 范围确定 sin(2x+ )的范围,再根据 a 的符号,讨论 a、b 6 的取值.

π π π 7π π [解 ] ∵ x∈ [0, ],∴2x+ ∈ [ , ],sin(2x+ )∈[- 2 6 6 6 6 1 , 1]. 2 a+b=1, ? ? ? ?a=4, ∴当 a> 0 时,? a 解得? ?b=- 3. - + b=- 5, ? ? ? 2 1 ? ? ?-2a+b=1, ?a=- 4, 当 a< 0 时,? 解得? ? ?b=- 1. ? a + b =- 5 , ? ∴ a、 b 的取值分别是 4、- 3 或-4、-1.

[点评]

π 本题是先由定义域确定正弦函数 y=sin(2x+ ) 6

的值域, 但整个函数的最值的取得与 a 的正、 负有关系, 故对 a 进行分类讨论.

函数y=Asin(ωx+φ)的图象及图象变换
关于函数 y= Asin(ωx+ φ)有两种基本的计算问题:一种 是根据已知条件求函数解析式,其中 A 是振幅,可由函 2π 数的最值确定,ω 可结合函数的周期公式 T= 确定, φ ω 是初相,可令函数值为最值确定;另一种题型是给出函 数解析式,作图或探讨性质.

π 5π 7π 函数 y= tan - sin sin( + 2x), x∈ R. 4 4 4 求:(1)函数的最大值、最小值; (2)函数的最小正周期; (3)函数的单调区间; 2 π (4)函数的图象可由函数 y= cos(2x- ),x∈ R 的图象经 2 2 过怎样的变换得到?

[分析]

先将原函数进行恒等变形,化为y=Asin(ωx+φ)

+B的形式,即可求解.

[解 ] 原函数可化简为 2 π 2 π y= 1+ sin [2π+ (2x- )]= 1+ sin(2x- ). 2 4 2 4 π π π (1)当 sin(2x- )= 1, 2x- = + 2kπ(k∈ Z), 4 4 2 3π 2 即 x= + kπ(k∈ Z)时, ymax= 1+ ; 8 2 π π 3π 当 sin(2x- )=-1,2x- = + 2kπ(k∈ Z), 4 4 2 7π 2 即 x= + kπ(k∈ Z)时, ymin= 1- . 8 2

(2)函数的最小正周期为 T= π. π π π (3)由- +2kπ≤2x- ≤ + 2kπ(k∈ Z), 2 4 2 π 3π 得- +kπ≤x≤ + kπ(k∈ Z); 8 8 π π 3π 由 + 2kπ≤2x- ≤ + 2kπ(k∈ Z), 2 4 2 3π 7π 得 + kπ≤x≤ + kπ(k∈ Z). 8 8 π 3π 所以函数在区间[- + kπ, + kπ](k∈ Z)上是单调递增函 8 8 3π 7π 数,在区间 [ + kπ, + kπ](k∈ Z)上是单调递减函数 . 8 8

2 π 2 π 2 (4)y= cos(2x- )= cos( - 2x)= sin 2x. 2 2 2 2 2 2 π 函数的图象可由 y= sin 2x 的图象向右平移 个单位长度, 2 8 再向上平移 1 个单位长度而得到.

[ 点评 ] 函数的最大 ( 小 ) 值是反映函数特征的一个重要性 质,求函数的最大(小)值,思想性强,方法灵活多变,是数 学解题中的一个难点.对三角函数而言,求最大 (小)值的常 用方法有换元法,单调法,有界法,几何法,不等式法,图 象法等,解题过程中要根据函数解析式的结构特点适当选 取,同时要注意函数的定义域及函数式的恒等变形.

三角函数模型的应用问题
三角函数是刻画周期现象的重要数学模型,在解决实际 问题时要注意搜集数据,作出相应的“散点图 ”,通过观 察散点图并进行函数拟合而获得具体的数学模型,最后 利用这个函数模型解决实际问题.

估计某一天的白昼时间的小时数 D(t)可由下式计算: k 2π D(t)= sin (t-79)+12,其中 t 表示某天的序号,t=0 表示 2 365 1 月 1 日,依此类推,常数 k 与某地所处的纬度有关. (1)如在波士顿,k=6,试画出函数当 0≤t≤365 时的图象; (2)在波士顿哪一天白天时间最长?哪一天最短? (3)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过 10.5 小时 ?

[分析]

本题为三角函数应用题,可按如下四步进行:审题

→建模→解模→还原评价.

2π 2π [解 ] (1)先用五点法作出 f(t)=3sin (t- 79)的简图, 由 (t 365 365 2π - 79)= 0 及 (t-79)=2π,得 t=79 及 t= 444,列出下表: 365 t f(t) 79 0 170 3 262 0 353 -3 444 0

2π 若 t= 0, f(0)=3sin (- 79)= 3sin(- 1.36)≈- 2.9. 365 ∵ f(x)的周期为 365.

∴ f(365)≈- 2.9,将 f(x), t∈ [0, 365]图象向上平移 12 个单位,得 D(t)的图象如图所示.

(2)白昼时间最长的一天即 D(t)取最大值一天,此时 t= 170 对应的是 6 月 20 日 (闰年除外),类似地, t= 353 时 D(t)取最小值,即 12 月 20 日白昼最短.

(3)D(t)>10.5, 2π 即 3sin (t- 79)+ 12>10.5, 365 2π 3 3sin (t- 79)>- , t∈[0, 365], 365 2 ∴ 49≤t<292, 292- 49=243. 约有 243 天的白昼时间超过 10.5 小时.

[点评]

本题考查三角函数y=Asin(ωx+φ)的实际应用.把实

际问题转化成三角函数的问题,借助函数的图象来求解.



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