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1993年第三十四届IMO试题(不含答案)



第三十四届(1993 年) 土耳其 伊斯坦布尔(Istanbul,Turkey)
1. 设 f(x)=xn+5xn-1+3,其中 n 是大于 1 的整数。求证:f(x)不能表示成系数为整数 的两个非常量的多项式的积。 (爱尔兰) 2. 设 D 是锐角三角形 ABC 内一点,使得 ?ADB ? ?ACB ? (a) 求出比例
AB ? CD 。 AC ? BD<

br />
?
2

且 AC· BD=AD· BC

(b) 求证:过 C 点的△ACD 和△BCD 的外接圆的切线垂直。 (英国) 3. 在一个无限大的棋盘上以如下方式做游戏。开始时棋盘中的一个 n× n 的框上 整齐地摆放着 n2 个棋子(每个小方格上放着一个棋子) ,游戏的每一步都是在水 平或者竖直方向上跨越一个棋子而 跳到一个空格子上去,并同时取走所跨越过 的棋子。 试找出所有的 n 值使得游戏以只留一个棋子在棋盘上而结束。 (芬兰) 4. 对于平面上的三个点 P、Q、R,我们定义 m(PQR)是△PQR 三条高中的最短 的一条的长度。 (如果 P、Q、R 共线,我们规定 m(PQR)=0。 ) 求证:对于平面上的四个点 A、B、C、X,m(ABC)≤m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)。 (马其顿) 5. 是否存在一个函数 f:N→N,使得对于所有 n∈N 都有 f(1)=2,f(f(n))=f(n)+n, f(n)<f(n+1)?(德国) 6. 在一个圆上有 n(n>1)盏灯为 L0,…,Ln-1。我们定义 Ln+k=Lk。 (一盏灯在任 何时候要么开,要么关。 )按要求执行步骤 s0,s1,…:在步骤 si,如果 Li-1 亮着, 那么就关掉或打开 Li,否则什么事都不做。开始时所有灯都亮着。说明: (a) 存在一个正整数 M(n)使其在经过 M(n)步后所有灯再次全亮; (b) 如果 n=2k,我们可以取 M(n) = n2-1; (c) 如果 n=2k+1,我们可以取 M(n) = n2-n-1; (荷兰)



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