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河北衡水中学2016高三内部数学试题



衡水中学 2016 届高三测试(一) 数学试题

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的,选出正确选项填在答题卡相应位置. 1、已知是虚数单位, m 和 n 都是实数,且 m(1 ? i ) ? 11 ? ni ,则 ( A. B. ? i C.1

m ? ni

2009 ) 等于( m ? ni



D.-1

2、若函 数 y ? f ( x )的图象和 y ? sin( x ? A. cos( x ?

?
4

)的图象关于点 P (

?
4

,0)对称, 则f ( x ) 的 表 达 式 是

?
4

)

B. ? cos( x ?

?
4

)

C. ? cos( x ?

?
4

)

D. cos( x ?

?
4

) 1 的最小整数 n 125

3、已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn。则满足不等式|Sn-n-6|< 是 ( A.5 D.8 4、阅读右面的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为 A. ) B.6 C. 7





13 21 8 13 B. C. D. 21 13 13 8

5、一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正 三角形,则这个几何体的外接球的表面积为 ( )

8? 3 16? C. 4 3 D. 3 ?x ? 0 ? 6、.设点 P(x,y)满足条件 ? y ? 0 ,点 Q(a,b)满足 OP ? OQ ? 1 恒成立,其中 O 是原点, a ? 0, b ? 0 , ? y ? 2x ? 2 ?
A. 2 3? B. 则 Q 点的轨迹所围成图形的面积是( )

A.

1 2

B.1

C.2

D.4

7、已知在 ?ABC 中 AB ? 3, ?A ? 60。 , ?A 的平分线 AD 交边 BC 于点 D,且 AD ? ? AC ?

uuu r

uuu r

r 1 uuu AB(? ? R ) ,则 6

AD 的长为( (A)

)

3 2

(B) 3

(C) 1

(D)

2

8.如图的倒三角形数阵满足: (1)第行的, n 个数,分别 是, 3 , 5 ,?, 2n ? 1 ; (2)从第二行起,各行中的每 一个数都等于它肩上的两数之和; (3)数阵共有 n 行.问: 当 n ? 2012 时,第 32 行的第 17 个数是( A. 237 B. 236 ? 2012 C. 236 ) D.

232

9.如果关于 x 的一元二次方程 x 2 ? 2 ? a ? 3? x ? b 2 ? 9 ? 0 中, a 、 b 分别是两次投掷骰子所得的点数,则该二次 方程有两个正根的概率 P ? ( A. ) C.

1 18

B.

1 9

1 6

D.

13 18

10.设直线与球 O 有且只有一个公共点 P,从直线 l 出发的两个半平面 ? , ? 截球 O 的两个截面圆的半径分别为 1 和 3 ,二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 A. 4? B. 16?

5? ,则球 O 的表面积为( 6
D. 112?

)

C. 28?

x2 y 2 0 ? 的一点, F1, 11、动点 P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 上异于椭圆顶点 ? ? a, F2 为椭圆的两个焦点, a b
动圆 C 与线段 F1P, F1F2 的延长线及线段 PF2 相切,则圆心 C 的轨迹为除去坐标轴上的点的( ) A.一条直线 B.双曲线右支 C.抛物线 D.椭圆

12、定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? ?

log ( x ? 1), x ? [0,1) ? ? 1 2 ? ?1? | x ? 3 |, x ? [1, ??)

?a

,则关于 x 的函数

F ( x) ? f ( x) ? a(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为(
A. 2 ? 1 二、填空题
a

B. 1 ? 2

a

C. 2

?1

D. 1 ? 2

?a

13.已知 (2 x ? x

. ) 的展开式中,二项式系数最大的项的值等于 1120 ,则实数 x 的值为 1 14. 用 max{a, b 两个数中的最大数, 设 f ( x) ? max{x 2, x } ( x ? ) , 那么由函数 y ? f ( x) 的图象、 b} 表示 a, 4 1 x 轴、直线 x ? 和直线 x ? 2 所围成的封闭图形的面积是 . 4 15. 已知
x a 2 2 ? y2 b2 ? 1( a ? b ? 0) ,M,N 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上任意一点,且直线 PM、PN 的斜率分别

lg x 8

为 k1,k2(k1 k2≠0) ,若 k1 ? k 2 的最小值为 1,则椭圆的离心率为



16.已知 ( x ?
2

1 5x
3

)5 的展开式中的常数项为 T,f(x)是以 T 为周期的偶函数,且当 x∈[0,1]时, f ( x) ? x ,
.

若在区间[-1,3]内,函数 g(x)= f ( x) ? kx ? k 有 4 个零点,则实数 k 的取值范围是 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分 12 分)△ABC 的三个内角 A,B,C 依次成等差数列. 2 (I)若 sin B= sinAsinC,试判断△ABC 的形状; (Ⅱ)若△ABC 为钝角三角形,且 a>c,试求 sin 2

C A A 1 ? 3 sin cos ? 的取值范围 2 2 2 2

18、(本小题满分 12 分)在平面 xoy 内,不等式 x

2

?x ? 2 y ? 0 确 ? y 2 ? 4 确定的平面区域为 U ,不等式组 ? x ? 3 y ? 0 ?

定的平面区域为 V . (Ⅰ)定义横、纵坐标为整数的点为“整点 ”. 在区域 U 任取 3 个整点 , 求这些整点 中恰有 2 个整点 在区域 V .. .. .. .. 的概率; (Ⅱ)在区域 U 每次任取个点 ,连续取 3 次,得到 3 个点 ,记这 3 个点 在区域 V 的个数为 X ,求 X 的分布列 . . . 和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图, D, E 分别是正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的棱 AA1 、 B1C1 的中点,且棱 AA1 ? 8 , AB ? 4 . (Ⅰ)求证: A1 E // 平面 BDC1 ; (Ⅱ)在棱 AA1 上是否存在一点 M ,使二面角 M ? BC1 ? B1 的大小为 60? ,若存在,求 AM 的长,若不存在, 说明理由。

20.已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为

的椭圆过点(



) .

(1)求椭圆的方程; (2)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P,Q 两点,满足直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列,求△OPQ 面积的取值范围.

21、(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ln x ? (1)当 a ? b ?

1 2 ax ? bx. 2

1 时,求函数 f ( x) 的最大值; 2 1 a (2)令 F ( x) ? f ( x) ? ax 2 ? bx ? , (0 ? x ? 3) 2 x 1 其图象上任意一点 P ( x0 , y0 ) 处切线的斜率 k ≤ 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2 2 (3)当 a ? 0 , b ? ?1 ,方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,求正数 m 的值.

22、4-1(几何证明选讲) (本小题 10 分) 如图, ?ABC 内接于⊙ O , AB 是⊙ O 的直径, PA 是过点 A 的直线, 且 ?PAC ? ?ABC . (Ⅰ) 求证: PA 是⊙ O 的切线; (Ⅱ) 如 果 弦 CD 交 AB 于 点 E ,

AC ? 8 ,

P

C

CE : ED ? 6 : 5 ,

AE : EB ? 2 : 3 , 求 sin ?BCE .
23.选修 4-4:坐标系与参数方程
A E

.

O

B

在直角坐标系 xOy 中, 过点 P (

3 3 , ) 作倾斜角为 ? 的 2 2

直 线 与 曲 线
D

C : x 2 ? y 2 ? 1 相交于不同的两点 M , N .
(Ⅰ) 写出直线的参数方程;

(Ⅱ) 求

1 1 ? 的取值范围. PM PN

24.选修 4-5:不等式选讲 设不等式 2 x ? 1 ? 1 的解集为 M , 且 a ? M , b ? M . (Ⅰ) 试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小; (Ⅱ) 设 max A 表示数集 A 中的最大数, 且 h ? max ?

? 2 ? a

,

a?b ab

,

2 ? ? , 求 h 的范围. b?

25、实验班附加 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? bx 2 ? cx ? d ,设曲线 y ? f ( x) 在与 x 轴交点处的切线为 y ? 4 x ? 12 , f ?( x) 为 3 f ( x) 的导函数,满足 f ?(2 ? x) ? f ?( x) .

(Ⅰ)设 g ( x) ? x

f ?( x) , m ? 0 ,求函数 g ( x) 在 [0, m] 上的最大值;

(Ⅱ)设 h( x) ? ln f ?( x) ,若对一切 x ? [0, 1] ,不等式 h( x ? 1 ? t ) ? h(2 x ? 2) 恒成立,求实数的取值范围.

ABCDD

AAAAD

AB 14.

13. x ? 1或x ?

1 10

35 12

15.

3 ? 1? 16. ? 0, ? 2 ? 4?

17. 18. 解: (Ⅰ)依题可知平面区域 U 的整点为: (0, 0), (0, ?1), (0, ?2), ( ?1, 0), ( ?2, 0), ( ?1, ?1) 共有 13 个,上述整 点在平面区域 V 的为: (0, 0), (1, 0), (2, 0) 共有 3 个, ∴P ?
1 C32C10 15 ? . 3 C13 143

……………………………………………………………(4 分)

(Ⅱ)依题可得,平面区域 U 的面积为 ? ? 22 ? 4? ,

1 ? 2 . 8 2 1 1 ? 2 3 ? 1, 得 ? ? ? ,也可用向量的夹角公式求 ? ). (设扇形区域中心角为 ? ,则 tan ? ? 1 1 4 1? ? 2 3 ? 1 ? ,随机变量 X 的可能取值为: 0,1, 2,3 . 在区域 U 任取 1 个点,则该点在区域 V 的概率为 8? 8 1 343 1 1 147 1 P( X ? 0) ? (1 ? )3 ? P( X ? 1) ? C3 ? ( )(1 ? ) 2 ? , , 8 512 8 8 512 1 1 21 1 1 3 P( X ? 2) ? C32 ? ( ) 2 (1 ? ) ? P( X ? 3) ? C3 ? ( )3 ? , , 8 8 512 8 512 ∴ X 的分布列为 0 1 2 3 X 343 147 21 1 P 512 512 512 512 343 147 21 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? .………………(12 分) ∴ X 的数学期望: E ( X ) ? 0 ? 512 512 512 512 8 1 3 ? 1? (或者: X ~ B? 3, ? ,故 E ( X ) ? np ? 3 ? ? ). 8 8 ? 8?
平面区域 V 与平面区域 U 相交部分的面积为 ? ? ? 2 ? 19、

解】 【法一】 (Ⅰ)在线段 BC1 上取中点 F ,连结 EF 、 DF . 则 EF // DA1 ,且 EF ? DA1 ,∴ EFDA1 是平行四边形??3′ ∴ A1 E // FD ,又 A1 E ? 平面 BDC1 , FD ? 平面 BDC1 , ∴ A1 E // 平面 BDC1 .??5′ (Ⅱ)由 A1 E ? B1C1 , A1 E ? CC1 ,得 A1 E ? 平面 CBB1C1 . 过点 E 作 EH ? BC1 于 H ,连结 A1 H . 则 ?A1 HE 为二面角 A1 ? BC1 ? B1 的平面角??8′ 在 Rt ?BB1C1 中,由 BB1 ? 8 , B1C1 ? 4 得

8 5 4 5 ,∴ EH ? ,又 A1 E ? 2 3 , 5 5 AE 15 ∴ tan?A1 HE ? 1 ? ? 3 ,∴ ?A1 HE ? 60? .??11′ EH 2 ∴ M 在棱 AA1 上时,二面角 M ? BC1 ? B1 总大于 60? .
BC1 边上的高为
故棱 AA1 上不存在使二面角 M ? BC1 ? B1 的大小为 60? 的点 M . ??12′ 【法二】建立如图所示的空间直角坐标系,

则 B ? ?2,0,0 ? 、 D ? 2, 4,0 ? 、 A1 ? 2,8,0 ? 、 C1 0,8, 2 3 、 C1 ? ?2,8,0 ? 、 E ?1,8, 3 . ???? ? ???? ????? ??? ? ???? ∴ DB ? ? ?4, ?4,0 ? 、 DC1 ? ?2, 4, 2 3 、 A1 E ? ?3,0, 3 、 A1 B ? ? ?4, ?8,0 ? 、 A1C1 ? ?2,0, 2 3 、 ???? ? ???? BB1 ? ? 0,8,0 ? 、 BC1 ? 2,8, 2 3 .??4′

?

?

?

?

? ?

? ?

?

?

?

?

? ???? ? 1 ??? DB ? DC1 且 A1 E ? 平面 BDC1 , 2 ∴ A1 E // 平面 BDC1 .??5′ ?? ???? ?? ????? ?? ? 3 ? (Ⅱ)取 m ? ? 3, ? ,则 m ? A1 B ? 0 , m ? A1C1 ? 0 . ,1 ? ? 2 ? ? ? ?? ???? ?? ????? ?? ∴ m ? A1 B , m ? A1C1 ,即 m 为面 A1 BC1 的一个法向量???7′ ? ? ???? ? ???? ? 同理,取 n ? ? 3,0,1 ,则 n ? BB1 ? 0 , n ? BC1 ? 0 . ? ???? ? ???? ? ? ∴ n ? BB1 , n ? BC1 , n 为平面 B1 BC1 的一个法向量??9′ ?? ? ?? ? m?n 2 2 15 cos ? m, n? ? ?? ? ? ? ? arctan ,∴二面角 M ? BC1 ? B1 为 arccos . 2 19 19 m?n
(Ⅰ)∵ A1 E ?

????

?

?

?

?

15 ? 3 ,∴二面角 M ? BC1 ? B1 大于 60? . ??11′ 2 ∴ M 在棱 AA1 上时,二面角 M ? BC1 ? B1 总大于 60? .
又∵ 故棱 AA1 上不存在使二面角 M ? BC1 ? B1 的大小为 60? 的点 M . ??12′ 20. 解答:解: (1)由题意可设椭圆方程为 (a>b>0) ,则





所以,椭圆方程为



(2)由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0, 故可设直线 l 的方程为 y=kx+m(m≠0) ,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 由
2 2

消去 y 得
2

(1+4k )x +8kmx+4(m ﹣1)=0, 2 2 2 2 2 2 2 则△ =64k b ﹣16(1+4k b ) (b ﹣1)=16(4k ﹣m +1)>0, 且 ,
2


2

故 y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=k x1x2+km(x1+x2)+m . 因为直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列, 所以 =k ,
2



+m =0,又 m≠0,

2

所以 k =,即 k=

2



由于直线 OP,OQ 的斜率存在,且△ >0,得 2 2 0<m <2 且 m ≠1. 设 d 为点 O 到直线 l 的距离, 则 S△ OPQ=d|PQ|=|x1﹣x2||m|= 所以 S△ OPQ 的取值范围为(0,1) . ,

21.

1 2 x0 ? x0 ) max , x0 ? (0,3] 2 1 2 1 1 当 x 0 ? 1 时, ? x 0 ? x0 取得最大值 ,所以 a ≥ ???8 分 2 2 2 2 (3)因为方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,
所以 a ≥ (?

因为 h(1) ? 0 ,所以方程(*)的解为 x2 ? 1 ,即

m ? m 2 ? 4m 1 ? 1 ,解得 m ? ?????12 分 2 2

22. (Ⅰ)证明: AB 为直径,? ?ACB ?

?
2

, ?CAB ? ?ABC ?

?
2



? ?PAC ? ?ABC ? ?PAC ? ?CAB ?

?
2

? PA ? AB, AB 为直径,? PA 为圆的切线 ???????? 4 分
(Ⅱ) CE ? 6k , ED ? 5k , , AE ? 2m, EB ? 3m

? AE ? EB ? CE ? ED ? m ? 5k

BD 3m ? ? BD ? 4 5 8 6k BC 2 25m 2 ? 64 3k 2 5 ? ?CEB ∽ ?AED ? ? ? ( ) 2 ? m ? 2, k ? 2 2 m 5 AD 25m ? 80 BD 4 5 2 5 ? ? ? AB ? 10, BD ? 4 5 在直角三角形 ADB 中 sin ?BAD ? AB 10 5

? ?AEC ∽ ?DEB ?

? ?BCE ? ?BAD ? sin ?BCE ?
? 3 x ? ? t cos ? ? ? 2 23. (Ⅰ) ? ? y ? 3 ? t sin ? ? 2 ? ? 3 x ? ? t cos ? ? ? 2 (Ⅱ) ? ? y ? 3 ? t sin ? ? 2 ?

2 5 ???????? 10 分 5

(t 为参数)?????????????? 4 分

(t 为参数)代入 x 2 ? y 2 ? 1 ,得

t 2 ? ( 3 cos ? ? 3 sin ? )t ? 2 ? 0 , ? ? 0 ? sin(? ?

?
6

)?

6 3

24.(Ⅰ) M ? ?x | 0 ? x ? 1 ? , a, b ? M ,

1 1 1 1 t ?t ( 3 cos ? ? 3 sin ? ) ? ? ? ? ? 1 2 ? ? 3 sin(? ? ) ? PM PN t1 t 2 t1 t 2 2 6
? 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1 ab ? 1 ? a ? b ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0

?

2, 3

?

??10 分

? ab ? 1 ? a ? b
(Ⅱ) h ?

??????????????? 4 分

2 a

,h ?

a?b ab

,h ?

2 b

h3 ?

4(a ? b) 4(a 2 ? b 2 ) 4 ? 2ab ? ? ?8 ab ab ab

h ? ?2,?? ? ???????????????? 10 分
25、 (Ⅰ) f ?( x) ? x ? 2bx ? c , ? f ?(2 ? x) ? f ?( x) ,
2

? 函数 y ? f ?( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,则 b ? ?1 .

? 直线 y ? 4 x ? 12 与 x 轴的交点为 (3, 0) ,? f (3) ? 0 ,且 f ?(3) ? 4 ,
即 9 ? 9b ? 3c ? d ? 0 ,且 9 ? 6b ? c ? 4 ,解得 c ? 1 , d ? ?3 . 则 f ( x) ?

1 3 x ? x2 ? x ? 3 . 3
2 ? ? x ? x, x ? 1, 2 ? ? x ? x , x ? 1.

故 f ?( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 , g ( x) ? x ( x ? 1) 2 ? x x ? 1 ? ?

其图像如图所示.当 x 2 ? x ? (ⅰ)当 0 ? m ?

1? 2 1 时, x ? ,根据图像得: 2 4

1 时, g ( x) 最大值为 m ? m 2 ; 2

(ⅱ)当

1 1? 2 1 时, g ( x) 最大值为 ; ?m? 2 2 4 1? 2 时, g ( x) 最大值为 m 2 ? m . ???????????8 分 2
2

(ⅲ)当 m ?

(Ⅱ)方法一: h( x) ? ln( x ? 1) ? 2 ln x ? 1 ,则 h( x ? 1 ? t ) ? 2 ln x ? t ,

h(2 x ? 2) ? 2 ln 2 x ? 1 ,

? 当 x ? [0, 1] 时, 2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ,

? 不等式 2 ln x ? t ? 2 ln 2 x ? 1 恒成立等价于 x ? t ? 2 x ? 1 且 x ? t 恒成立,
由 x ? t ? 2 x ? 1 恒成立,得 ? x ? 1 ? t ? 3 x ? 1 恒成立,

? 当 x ? [0, 1] 时, 3 x ? 1 ? [1, 4] , ? x ? 1? [?2, ?1] , ? ?1 ? t ? 1 ,
又? 当 x ? [0, 1] 时,由 x ? t 恒成立,得 t ? [0,1] , 因此,实数的取值范围是 ?1 ? t ? 0 .??????????????12 分

y 2 1 ?1

O

1

1? 2 2

2 x

方法二: (数形结合法)作出函数 y ? 2 x ? 1, x ? [0, 1] 的图像,其图像为线段 AB (如图) ,

? y ? x ? t 的图像过点 A 时, t ? ?1 或 t ? 1 , ? 要使不等式 x ? t ? 2 x ? 1 对 x ? [0, 1] 恒成立,
必须 ?1 ? t ? 1 , 又? 当函数 h( x ? 1 ? t ) 有意义时, x ? t ,

? 当 x ? [0, 1] 时,由 x ? t 恒成立,得 t ? [0,1] ,
因此,实数的取值范围是 ?1 ? t ? 0 . ?????????????12 分

方法三:? h( x) ? ln( x ? 1) 2 , h( x) 的定义域是 {x x ? 1} ,

? 要使 h( x ? 1 ? t ) 恒有意义,必须 t ? x 恒成立,

? x ? [0, 1] ,? t ? [0,1] ,即 t ? 0 或 t ? 1 . ①
由 h( x ? 1 ? t ) ? h(2 x ? 2) 得 ( x ? t ) ? (2 x ? 1) ,
2 2

即 3 x ? (4 ? 2t ) x ? 1 ? t ? 0 对 x ? [0, 1] 恒成立,
2 2

令 ? ( x) ? 3 x ? (4 ? 2t ) x ? 1 ? t , ? ( x) 的对称轴为 x ? ?
2 2

2?t , 3

2?t ? ? 2?t ? 2?t ? 1, ? 0, ?0 ? ? ? 1, ?? ?? 则有 ? 或 或 3 3 ? ? 3 ? ?? ? (4 ? 2t ) 2 ? 4 ? 3 ? (1 ? t 2 ) ? 0 ? ?? (0) ? 0 ?? (1) ? 0 ?
解得 ?1 ? t ? 1 . ② 综合①、②,实数的取值范围是 ?1 ? t ? 0 . ????????????12 分

y

4B 3 2 A 1 ? 2 ?1O 1 2 3 4 x



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