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摩擦角



摩擦角 一、摩擦角 1、全反力:接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称 全反力,一般用R表示,亦称接触反力。 2、摩擦角:全反力与支持力的最大夹角称摩擦角,一 般用φm表示。 此时,要么物体已经滑动,必有:φm = arctgμ(μ 为动摩擦因素),称动摩擦力角;要么物体达到最大运 动趋势,必有:φms = arctgμs(μs为静摩擦因素), 称静摩擦角。通常处理为φm = φm

s 。 3、引入全反力和摩擦角的意义:使分析处理物体受力 时更方便、更简捷。

【例1】在田径比赛、摩托车赛、自行车赛等运动项 目中,当通过弯道时,运动员必须倾斜与路面保持 一定的角度θ才能顺利通过弯道,这就是运动员的弯 道技术。路面的弯道半径越小,运动员的速度越快, 运动员的倾斜角就越大。设在摩托车比赛中,摩托 车与路面间的摩擦因数为μ,试求摩托车所能达到的 最大倾角。

分析:运动员要稳定地平动,路面对摩托车的力必 须通过整体的重心,所以静摩擦力F1与支持力F2 的夹角等于运动员与路面的倾斜角度。而路面对 摩托车整体的力F是F1和F2的合力,由图知 F1= F2tanθ=mg tanθ 对摩托车的最大静摩擦力为 Fm=μF2=μmg 则摩托车不倾倒的条件是 F1≤Fm 化简得 θ≤arctanμ 所以摩托车所能达到的最大倾角为 θm= arctanμ。

【例2】1999年,中国首次北极科学考察队乘坐我 国自行研制的“雪龙”号科学考察船。“雪龙” 号科学考察船不仅采用特殊的材料,而且船体的 结构也满足一定的条件,以对付北极地区的冰块 和冰层。它是靠本身的重力压碎周围的冰块,同 时又将碎冰块挤向船底,如果碎冰块仍挤在冰层 与船体之间,船体由于受到巨大的侧压力而可能 解体。为此,船体与竖直方向之间必须有一倾角α。 设船体与冰块之间的动摩擦因数为μ。试问使压碎 的冰块能被挤压向船底,α角应满足的条件。

分析:冰块受到三个力:冰层对冰块的水平向后的挤压力, 船体对冰块的侧压力F,以及沿船体方向的摩擦力(冰块 的重力和浮力可以忽略)。将F分解,如图 FN = F1=Fcosα Ff =μFN 能使压碎的冰块被挤压向船底必须满足的条件为F2>Ff ,有 Fsinα>μ Fcosα 化简得 α>arctanμ

【例3】物体放在水平面上,用与水平方向成 30°的力拉物体时,物体匀速前进。若此 力大小不变,改为沿水平方向拉物体,物 体仍能匀速前进,求物体与水平面之间的 动摩擦因素μ。

答案:引进全反力R ,对物体两个平衡状态进行受 力分析,再进行矢量平移,得到图18中的左图和 中间图(注意:重力G是不变的,而全反力R的方 向不变、F的大小不变),φm指摩擦角。 再将两图重叠成图的右图。由于灰色的三角形是一 个顶角为30°的等腰三角形,其顶角的角平分线 必垂直底边……故有:φm = 15°。 最后,μ= tgφm=0.268。

【例4】结构均匀的梯子AB,靠在 光滑竖直墙上,已知梯子长为L, 重为G,与地面间的动摩擦因数 为μ, (1)求梯子不滑动,梯子与水平 地面夹角θ的最小值θ0; (2)当θ=θ0时,一重为P的人沿 梯子缓慢向上,他上到什么位置, 梯子开始滑动?

本题也有两种解法:解法一是根据物体的平衡条件求解, 这是常规解法;另一解法是分析出它临界条件θ 0 再引入摩擦角解。 解法一: (1)如图 2 所示,平衡条件可得: N
1

N 1 ? f ? ?N N ?G N 1 ? L sin ? 0 ? G ?
由上述 3 式可解得: ? 0 ? tg 2?
?1

N

L cos? 0 2

G θ 0 f 图2 书 N1 1 馆 P N G θ 0 f 图3 N1

(2)如图 3 所示,由平衡条件可得:

N 1 ? f ? ?N N ?G?P

L L N 1 ? L sin ? 0 ? G ? cos? 0 ? P ? ( ? x ) cos? 0 2 2
由上述 3 式可解得: x ? L / 2

?
G θ 0 图4 F

解法二:(1) (引入摩擦角)如图 4 所示, ? 条件可得: 所以有

? tg ?1? ,由平衡

L cos ? 0 ? L ? sin ? 0 ? tg? 2

? 0 ? tg ?1 2?

N1

(2)如图 5 所示,将梯子和人的重力用其等效重力代替 G ? , 当等效重力的重心还在梯子重心下面时梯子还不会滑倒,当 等效重力的重心还在梯子重心上面时梯子就会滑倒,所以当 人上到梯子一半即 L/2 时,梯子开始滑动。

?
G θ 0 图5 书 F

【例 5】如图所示,两块固定的木板 A 、 B之间夹着一块长方体的木块C,C重为 6N,A、B对C的压力大小都是10N,今 对C施加以一外力F,将C从两板间水平 匀速拉出,求 F 的大小和方向,已知 C 和A、B间的动摩擦系数为0.4。

【例6】如图所示,质量m = 5kg的物体置于一 粗糙斜面上,并用一平行斜面的、大小F = 30N的推力推物体,使物体能够沿斜面向上匀 速运动,而斜面体始终静止。已知斜面的质量 M = 10kg ,倾角为30°,重力加速度g = 10m/s2 ,求地面对斜面体的摩擦力大小。

解答:本题旨在显示整体法的解题的优越性 。 法一,隔离法。简要介绍…… 法二,整体法。注意,滑块和斜面随有相对 运动,但从平衡的角度看,它们是完全等价 的,可以看成一个整体。 做整体的受力分析时,内力不加考虑。受力 分析比较简单,列水平方向平衡方程很容易 解地面摩擦力。 答案:26.0N 。

【例7】如图所示,一质量为m=1㎏的小物块 P静止在倾角为θ=30°的斜面上,用平行于 斜面底边的力F=5N推小物块,使小物块恰好 在斜面上匀速运动,试求小物块与斜面间的 滑动摩擦因数(g取10m/s2)。
F P

θ

【例 8】如图所示,水平面上固定着带
孔的两个挡板,一平板穿过挡板的孔匀速向 右运动,槽中间有一木块置于平板上,质量 为 m,已知木板左、右两侧面光滑,底面与 平板之间摩擦因数为 μ0, 当用力 F 沿槽方向 匀速拉动物体时, 拉力 F 与摩擦力 μmg 大小 关系是( ) A、F>μmg B、F=μmg C、F<μmg D、无法确定 F

【例9】一个质量m=20kg的钢件,架在两根完全相同 的平行长直圆柱上,如图所示.钢件的重心与两柱等 距,两柱的轴线在同一水平面内,圆柱的半径r= 0.025m,钢件与圆柱间的动摩擦因数μ=0.20.两圆 柱各绕自己的轴线作转向相反的转动,角速度ω= 40rad/s.若沿平行于柱轴的方向施力推着钢件作速 度为v0=0.050m/s的匀速运动,推力是多大?设钢件 左右受光滑导槽限制(图中未画出),不发生 横向运动.

解:

f k ? N ? ? ? 20N. 1 (cos? ? cot? ? ) 20

F ? 2fK cos? ? 20N

【例10】在一个与水平面成α角的粗糙斜面上放 着一个物体A,它系于一个不可伸长的细绳上, 绳子的另一端B通过小孔C穿出底面,如图,开始 时A、C等高。当A开始缓慢下滑时,适当地拉动 绳端B,使A在斜面上划过一个半圆到达C.求A 和斜面之间的动摩擦因数μ.

解:因为摩擦力方向与相对运动方向相反,所以 物体所受摩擦力方向应沿圆弧切线方向,如图所示, 其大小为 f=μN=μmgcosα 因为物体缓慢滑动,物体在每个位置均可看作处于平 衡状态,设绳的方向与A、C夹角为θ ,在垂直于绳的 方向上:

mg sinα·cosθ=μmg cosα·cosθ μ= tgα

【例11】两本书A、B交叉叠放在一起,放在 光滑水平桌面上,设每页书的质量为5克,两 本书均为200页,纸与纸之间的摩擦因数为 0.3,A固定不动,用水平力把B抽出来,求水 平力F的最小值。

解析:以B为书为研究对象。设抽出每一页的 水平力依次为T1、T2、T3……Tn(从上至 下),它们分别等于各页上、下两面所受的总 摩擦力。对于第一页:T1=μmg对于第二页 :T2=μ?2mg+μ?3mg=(2+3)μmg对于第 三页:T3=μ?4mg+μ?5mg= (4+5)μmg……………对于第n页:Tn=[(2n2)+(2n-1)]μmgF≥[1+2+3+……+(2n-1)] μmg= [(2n-1)(2n)]μmg即F≥ [(2×2001)(2×200)]×0.3×5×10-3×9.8=1173N按 照这样大的力,绝大多数同学无法把课本分开 的。点评:本题既涉及摩擦力的基本概念,处理过程中还涉及巧用
数学,破关制胜的技术特点,考查知识和能力的含量高,是一道经典 好题。同时也是最贴近学生生活的问题。

二、转动平衡 1、特征:物体无转动加速度。 2、条件:Σ M= 0 ,或ΣM+ =ΣM如果物体静止,肯定会同时满足两种平衡(力平 衡,力矩平衡),因此用两种思路均可解题。 3、非共点力的合成大小和方向:遵从一条直线 矢量合成法则。 作用点:先假定一个等效作用点,然后让所有 的平行力对这个作用点的和力矩为零。

【例12】如图所示,一个半径为R的均质金属球上 固定着一根长为L的轻质细杆,细杆的左端用铰链 与墙壁相连,球下边垫上一块木板后,细杆恰好水 平,而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木 板之间有摩擦(已知摩擦因素为μ),所以要将木 板从球下面向右抽出时,至少需要大小为F的水平 拉力。试问:现要将木板继续向左插进一些,至少 需要多大的水平推力?

解说:这是一个典型的力矩平衡的例题。 以球和杆为对象,研究其对转轴 O 的转动 平衡,设木板拉出时给球体的摩擦力为 f , 支持力为 N ,重力为 G ,力矩平衡方程为: f R + N(R + L)= G(R + L) ① 球和板已相对滑动,故:f = μN ② 解①②可得:f =
?G (R ? L) R ? L ? ?R

再看木板的平衡,F = f 。 同理,木板插进去时,球体和木板之间的摩擦 f′=
R ? L ? ?R F 。 R ? L ? ?R ?G (R ? L) = F′。 R ? L ? ?R

答案:



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