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2014年福建高考文、理科压轴题的评析与别解



2 0 1 4 年第 6 期 

福建 中学数 学 

1 9  

以 陈题为 背景 改 编 的试题 还 有理 9 ,理 1 1 ,文 
1 3等 .  

成分 .命制以数学文化为背景 的试题 ,有利于考生 
展现 数学 素养 和感 受数 学学科 深 厚 的文化 底蕴 .  <

br />
4 以生活实际为背景的试题 
数 学来 源 于 生活 ,对 数 学 的考 查 也应 该 回归 生  活 .以 生活 实 际 为 背景 的试 题 是 对考 生“ 综合能力”   的考 查 ,解 决 此类 问题 还 需 要较 好 的阅读 和 理 解 材 

例 7( 理 1 5 )若集合 { a , b , C , d } ={ 1 , 2 , 3 , 4 } ,  
且下 列 四个关 系 :  

①a =1 ; ②b ≠1 ; ③c :2;④ d≠4 有 且只有 一  个是 正确 的 , 则符合 条 件 的有序 数组 ( a, b, C , d ) 的个  数是— — .   评析 例 7源 于数 学逻 辑推 理 中的经 典名题 “ 特  尔斐 城 的少女 ” ,对于 逻辑 推理 问题 ,考 生从 小学 就  开 始有 所 接触 ,入 手 并不 困难 .本 题 用简 明扼 要 的 

料 的能力 .高考中此类试题背景 的选择应注重试题  命 制 的公 平 性原 则 ,也应 选择 贴 合 生活实 际的背景 .   例 6( 理 l 8 )为 回馈 顾 客 ,某商 场 拟通 过摸 球 
兑 奖 的方式 对 1 0 0 0 位 顾 客进 行 奖励 ,规 定 :每位 顾  客 从 一个 装 有 4 个标 有面 值 的球 的袋 中一 次性 随 机 

摸 出 2个球 ,球上所标的面值之和为该顾客所获的  奖励额 .   (I)若袋 中所 装 的 4 个球 中有 一 个所 标 的面  值为 5 0 元 ,其余 3个均 为 1 ( ) 元 ,求 :  
( i )顾客 所 获 的奖励 额 为 6 0元 的概 率 ;   ( i i )顾 客所 获 的奖励 额 的分 布列 及数 学 期望 ;   ( I I ) 商场对 奖 励 总额 的预 算是 6 0 0 0 0 元 ,并  规 定 袋 中 的 4个球 只 能 由标有 面值 1 O元和 5 O元 的  两种 球组 成 ,或标有 面值 2 0元 和 4 0元 的 两种 球 组  成 .为 了使 顾 客得 到 的奖 励 总额 尽 可 能 符合 商 场 的 

集合语言对条件进行表述 ,对考 生的集合与简易逻  辑 的相 关知识 进行 了考 查 .   此类试 题常 出现于 数学竞赛 和 自主 招 生考 试  中 .如 2 0 0 7年武汉 大 学 自主 招 生考试 的试 题 :运 动 
会 上 , 甲、 乙 、 丙三名 同学 各获 得 一枚 奖 牌 ,其 中 

人得金牌 ,一人得银牌 ,一人得铜牌 ,王老师 曾   猜测 “ 甲得金 牌 ,乙不 得金 牌 ,丙 不得铜 牌” ,结果 王 


老 师只 猜 对 了一 人 ,那么 甲、 乙、 丙 分别 获得 什 么  奖牌 ? 此外 ,2 0 1 0年 武汉大 学 自主招 生考试 、2 0 0 9   年 上海 交通 大 学 自主招 生考试 中也 出现 过 类 似 的试 
题.   6思 考 

预 算且每位顾客所获 的奖励 额相对均衡 ,请对袋 中   的 4个球 的面值 给 出一 个合适 的设计 ,并 说 明理 由.   评 析 例 6以 生活 中实 际情 境为 背景 ,考 查古 典  概 型 ,离 散 型 随机 变 量 的 分 布列 ,数 学 期望 和 方 差  等相 关知识 .从生活语言出 发,利用数字特征 ( 期  望 、 方差 ) 的 实 际含 义 设 置 第 ( Ⅱ) 问 ,对 考 生 的  阅读 理解 能 力和 知识 应 用能 力提 出了较高 的要求 .   5 以数学文化为背景的试题  数学文化 ,一方面包含数学名题 、数学思想等  内涵 ;另一方面还体现 了数学史、数学美等人文的 

基 于 上 述 分 析 ,笔 者提 出 两 个 值 得 思 考 的 问 
题:  

( 1 )高考 试题 的命 制强 调原 创性 ,如 是 ,若 试 

卷 中出现数量较多的、简单改造 自 教材 或陈题背景  的试 题 ,妥否 ?  
( 2 ) 由于 考 生对 熟悉 的试 题 背景有 心理 上 的优  势 , 因此 ,某 些 特 定 背景 的选 择 是 否会 影 响考 试 的 
公 平 性?  

2 0 1 4年福建 高考文 、理科压轴题 的评析 与别解 
黄耿跃 
l试题 呈 现 

福建省泉州第一中学 ( 3 6 2 0 0 0 )  
( Ⅱ)证 明 :当 X >0时 , X  < e   ;  

( 理2 0 )已知函数 f ( x ) = e   一 a x( a 为常数)的 
图象 与 Y轴 交于 点  , 曲线 J , =f( x ) 在 点 A处 的切 线  斜率为 一 1.   (I ) 求 a的值 及 函数 . f ( x ) 的极 值 ;  

( 1 1 I )证 明 :对任 意给 定 的正数 C,总存 在  ,  

使得当 X ∈ (  , + o O ) 时,恒有 X   < c e   .   ( 文2 2 )已知函数 f ( x ) = e   一 a x( a 为常数)的 
图象 与 Y轴 交于 点 A, 曲线 Y=f ( x ) 在 点  处 的切线 

2 0  

福建中学数学 

2 0 1 4 年第6 期 

斜率为 一 1 .  
(I )求 a的值及 函数 f ( x ) 的极 值 ;   ( I I )证 明 :当 X >0时 ,X   <e   ;   ( Ⅲ)证 明 :对 任意 给 定 的正数 C,总存 在  ,  

所以 “ (   ) =   在( 0, 2 ) 上单 调递 增 ,在 ( 2, + 。 O )  
e 

上单 调递减 .  

所 以 当  >0 时,   (   )   :  ( 2 ) :   <1 ,所 以命 
C 

使得 当 X ∈( X   , + ∞) 时 ,恒 有 X <c e  .   2 试题 评析   理 2 0 、文 2 2分别 是 2 0 1 4年福 建省 高 考理科 、   文科 的最 后一 大题 ,它们 的区别只 是在 第 ( Ⅲ)问 ,   这 使 得 两道 题 目的解 法 基 本相 似 .这 两 道 试题 的第 

题成 立 .  

( Ⅲ)对任意 给 定 的正数 C ,总存 在 X   使 得 当  X∈ ( X   , + o o ) 时 ,恒 有 X   <c e   对 任 意 给 定 的正 数 
e 

c,总存 在  ,使得 当 ∈(  , +。 。 ) 时 ,恒有  <c.  
令  (   ) :   ,则 , ( x ) :  
e   x 当“ , (   ) :— 2
— —

( I )问均属常规问题 ,考查求参数的值及函数 的   极 值 ,对 大部 分 的考 生来 讲 ,都能 拿 到一定 的分 数 ;  
第 ( Ⅱ) ( Ⅲ)问都 是 不等 式 的证 明 问题 ,第 ( I l 1 )   问 的设 问与证 明都 比第 ( Ⅱ) 问更有 难度 .  

,  
e 






_
e  



>0时 ,得 0 <   <2,  

命题者命制这 两道试题 的意 图,一线老师都是 
心 知肚 明 的 ,即期 望通 过 后 两步 的设 问 ,能 起到 区  分 不 同思 维 层 次考 生 的作 用 ,同 时也 想让 这 道 试题 
起到 压轴 作 用 ,为 整份卷 子 画龙 点 睛 .  

当   ) :   ; < 0 时,得 < 0 或 > 2 ,  
e 
2  


所以“ (   ) =   在( 0 , 2 ) 上 单调递 增 ,在 ( 一 。 。 , 0 ) ,  
e 

事 实 上 ,在命 题 过 程 中很 容 易 陷 入一 个 误 区 ,  

( 2, + 。 。 ) 上 单调递 减 ( 如 图) .  

即“ 一厢情愿 的单相思” , 对此笔者深有体会 . 为什么  这样 讲 呢 ?原 因是 当命 题 者命 制 出一道 试 题 后 ,对  试题 考 查 的知识 目标 、能力 目标 都做 了充 分 的预设 ,  
对 试题 的各种 参 数 如 难度 、 区分度 也 做 了充 分 的估 

①当 c >   时 ,因为 “ (   )  
e  e 

在  ( 0 , + 。 。 ) 恒成 

计 ,但 经 常 是 事与 愿违 .如 今 年福 建省 高 考 的上述  两 道数 学 试 题 ,命 题 者对 试 题 难度 、 知识 点 考 查 、   能 力考 查 、 数 学思 想 方法 考 查 等 的预 设 ,可 以从标  准 答 案得 到佐 证 .解 题 的 思路 是构 造 差 函数 ,再进  

立,  

所 以存在 X 0 =0 使得命 题 成立 ;  

② 当  :   时,   (   )  
e‘   e‘ 。  

在 ∈( 2 , + 。 。 ) 恒成立,  

行含参讨论 .如果从标准答案求解问题的角度切入 ,   确 实 是有 点 难 度 ,也 可达 到 命 题者 的考查 设 想 .但  笔 者通 过 研 究 发现 ,如 果采 用 构造 商 函数 的方 法 求  解 ,那 问题 就变 得 很 简 单 ,与 试题 压 轴 的 味道 相 去 
甚 远 ,因为 它避 开 了求 导完 , 再 求导 的复杂 过程 .由  于 两 道题 目解 法 上 的相 似 ,所 以本文 只 提 供理 科 题 

所 以存在 x 0 =2 使得 命题 成立 ;  

③ 当0 <c <   时 , 由于 u ( x ) 在x ∈( 2, + ∞) 是 单 
e 

调递 减 的 ,且 u ( x )  ( 0,  ) ,  
e 

的筒解 .  
3 试题 别解 
2  

因为 c ∈ ( 0 ,   ) ,所 以必存 在 
e 

( 2, + 。 。 ) ,使得 

U ( X o ) =C,所 以存在  使得命 题 成立 ;  
e’  

( Ⅱ)当  >0时 ,   <e   营 当  > 0时 ,  
2   '   2  

<1 ,  

综合① ②③ 可得 :命 题成 立 .  

令“ ( x ) =   ,则 “   ( x ) =  
e’  
, , 、 , 一 y2  

( x > 0 ) ,  
e  

4答案点评  标 准 答 案提 供 了三种 解 法 .解 法 一 ,构造 差 函  数然后进行含参讨论 ,但过程复杂、繁琐 ,不易理  解 ;解 法 二 、三取 特 例 ,过程 相 对 简洁 ,但 考 生不 
易 想到 .笔者 也 一 直在 思考 ,既然 标准 答 案最 后也  指 出 了,对 C 可采 用不 同的分类 方式 , 但 为什 么 不采 

当  (   ) = 兰  
e 
, ,   — v2  

> 0时 ,得 0 <   <2,  

当甜   (   ) ==   — = _   一< 0时 ,得 >2,  

用构造商函数的角度提供参考答案呢?  



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