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2013年广东省华师附中、广东实验中学、广雅中学及深圳中学高三上学期期末联考文科数学试题与答案



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广东省高三上学期期末四校联考文科数学 命题学校:广东实验中学 一、选择题: 1. 若复数 z ? ( x2 ?1) ? ( x ?1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为 ( A. ?1 B. 0 C. 1 命题人:杨庆元 )

D. ?1 或 1

? x2 ? 1 ? 0 1.A;解析:由 ?

? x ? ?1 故选 A ? x ?1 ? 0
2. 已知集合 M ? ?1, 2,3? , N ? ?2,3, 4? ,则 A. M ? N B. N ? M C. M ? N ? ?2,3? D. M ? N ? ?1,4? 2.C;解析: M ? N ? ?1,2,3? ??2,3,4? ? ?2,3? ,故选 C. 3. 某学校有教师 150 人,其中高级教师 15 人,中级教师 45 人,初级教师 90 人. 现按职称分层抽样选出 30 名教师 参加教工代表大会,则选出的高、中、初级教师的人数分别为 A. 5,10,15 B. 3,9,18 C. 3,10,17 D. 5,9,16

3.B; 解析:高:中:初=15:45:90=1:3:6 4. “ ? ?

?
6

”是“ cos 2? ?

1 ”的 2

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 4.A;解析: 当 ? ?

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?

6 3 1 ? ? 反之,当 cos 2? ? 时,有 2? ? 2k? ? ? ? ? k? ? ? k ? Z ? , 2 3 6
或 2? ? 2k? ?

时, cos 2? ? cos

?

?

1 , 2

?

3

? ? ? k? ?

?

6

? k ? Z ? ,故应选 A.
2

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

y2 ? 1 的离心率为 5.已知 m 是两个正数 2 , 8 的等比中项,则圆锥曲线 x ? m
A.

3 5 或 2 2
2

B.

3 2

C. 5

D.

3 或 5 2

5.D;解析: m ? 16 ? m ? ?4 ,故选择 D。 6. 函数 y ? 2 cos ( x ?
2

?
4

) ? 1是
B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

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6.A;解析:因为 y ? 2cos 2 ( x ?

?

2? ?? ? ? ? ,所以选 A. ) ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x 为奇函数, T ? 2 4 2? ?

7.甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图 所示,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 A.63 7.A B.64 C.65 D.66

8.设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? A、3 8.B; 9.如图所示,已知三棱柱 ABC ? A B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 1 B、4 C、5 D、6

ABC 上的射影 D 为 BC 的中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为(
(A)



3 4

(B)

5 4

(C)

7 4

(D)

3 4

9.D;解: 连结 A1 D, AD, 易知 ?A1 AB 为异面直线 AB 与 CC1 所成的角,则 cos ?A1 AB ? cos ?A1 AD cos ?DAB ? 故选 D;

3 , 4

10.下图展示了一个由区间(0,1)到实数集 R 的映射过程:区间(0,1)中的实数 m 对应数轴上的点 M ,如图 1; 将线段 AB 围成一个圆,使两端点 A, B 恰好重合,如图 2;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在 y 轴上, 点 A 的坐标为(0,1) ,如图 3.图 3 中直线 AM 与 x 轴交于点 N ( n, 0) ,则 m 的像就是 n ,记作 f (m) ? n 。则在下 列说法中正确命题的个数为 ( )



?1 ? ?1? f ? ? ? 1 ;② f ( x) 为奇函数;③ f ( x) 在其定义域内单调递增;④ f ( x) 的图像关于点 ? , 0 ? 对称。 ?2 ? ?4?
B.2 C.3 D.4

A.1

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10.B;解析:仅有③④正确。 二、填空题: 11. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案: 。。 。
第1个 第2个 第3个

则第 n 个图案中有白色地面砖的块数是 可知共有 6n-2(n-1)=4n+2 个白色图案。 12. 已知向量 a ? (e +
x

(

)

11. 4 ? .解析:将第 n 个图案先看做是 n 个第 1 个图案,则共有 6n 个白色图案,再结合第 n 个图案, n 2

?

? ? ? x2 , x), b ? (1, t ) ,若函数 f ( x) ? a ? b 在区间 (?1,1) 上存在增区间,则 t 的取值范围为 ? 2
x

_________. 12. (??, e ? 1) ;解析: f ( x) ? e ?

x2 ? tx, x ? (?1,1) , 2 f '( x) ? ex ? x ? t ,函数在 ( x1 , x2 ) ? (? 1,1)上单调递增,故 ex ? x ? t, x ? ( x1, x2 ) 时恒成立,故 e ? 1 ? t

13.若

?
4

?x?

?
2

,则函数 y ? tan 2x tan3 x 的最大值为



13.-8;解:令 tan x ? t , ?

?
4

?x?

?
2

?t ? 1,

? y ? tan 2 x tan 3 x ?

2 tan 4 x 2t 4 2 2 2 ? ? ? ? ? ?8 . 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ? tan x 1 ? t ? ( 2? ) ? ? t4 t2 t 2 4 4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分为 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

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16 解析: (Ⅰ)∵ f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2x , ∴函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? .

3 ? sin 2 x ? 1 , 6 2 3 2 3 ? ? ?? ∴ f ( x ) 在区间 ? ? , ? 上的最大值为 1,最小值为 ? . 2 ? 6 2?
(Ⅱ)由 ?

?

?x?

?

??

?

? 2 x ? ? ,∴ ?

17. (本小题满分 12 分) 袋子中放有大小和形状相同的小球若干个, 其中标号为 0 的小球 1 个, 标号为 1 的小球 1 个, 标号为 2 的小球 n 个. 已 1 知从袋子中随机抽取 1 个小球,取到标号是 2 的小球的概率是 . 2 (1)求 n 的值; (2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球, 记第一次取出的小球标号为 a, 第二次取出的小球标号为 b.记事件 A 表示 “a+b=2” ,求事件 A 的概率.

n 1 17.解:(1)由题意可知: = ,解得 n=2. 1+1+n 2
(2) 不放回地随机抽取 2 个小球的所有等可能基本事件为:(0,1),(0,21),(0,22),(1,0),(1,21),(1,22),(21,0), (21,1),(21,22),(22,0),(22,1),(22,21),共 12 个, 事件 A 包含的基本事件为:(0,21),(0,22),(21,0),(22,0),共 4 个. 4 1 ∴P(A)= = . 12 3

18. (本小题满分 14 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, PD ? 平面ABCD , PD ? 6, E, F 分别为 PB, AB 中点。 (1)证明: BC ? 平面PDC ; (2)求三棱锥 P ? DEF 的体积。 18.解: (1) PD ? 平面ABCD, BC ? 平面ABCD ? PD ? BC ????2 分 又底面 ABCD 是正方形,故 BC ? CD ?????.4 分 PD, DC 相交????5 分 故 BC ? 平面PDC ????.6 分

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(2) E为PB中点 ,故 P, B 两点到平面 DEF 的距离相等???8 分 故 VP?DEF ? VB?DEF ? VE ? BDF ????12 分

1 PD ? 3 且 EE '// PD ,又 PD ? 平面ABCD 2 1 故 EE ' ? 平面ABCD ,又 S ?BDF ? ? 4 ? 2 ? 4 2 1 故 VP ? DEF ? VE ? BDF ? ? 4 ? 3 ? 4 ???14 分 3
设 BD 中点 E ' ,则 EE ' ? 19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (Ⅰ) 若点(1, ?

1 3 x ? ax 2 ? bx (a, b ? R) 。 3

11 )在函数 y ? f (x) 图象上且函数在该点处的切线斜率为-4,求 y ? f (x) 的极大值; 3

(Ⅱ)若 y ? f (x) 在区间[-1,2]上是单调减函数,求 a ? b 的最小值。 19 解:(Ⅰ)∵ f ?( x) ? x ? 2ax ? b ,
2

1分

∴ 由题意可知: f ?(1) ? ?4 且 f (1) ? ?

11 , 3
3分

?1 ? 2a ? b ? ?4, ?a ? ?1 ? ∴ ?1 , 11 得: ? ?b ? 3 ?3 ? a ? b ? ? 3 , ? 1 3 2 2 ∴ f ( x ) ? x ? x ? 3 x , f ?( x) ? x ? 2x ? 3 ? ( x ? 1)(x ? 3) . 3 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3 , 令
由此可知: X

f ?(x) f (x)

(-∞,-1) + ↗

-1 0

(-1, 3) -

3 0

(3, +∞) + ↗

f (x) 极大值
5 3

5 3



f (x) 极小值
6分

∴ 当 x=-1 时, f(x)取极大值

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(Ⅱ) ∵ y ? f (x) 在区间[-1,2]上是单调减函数, ∴ f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b ? 0 在区间[-1,2]上恒成立. 根据二次函数图象可知 f ?(?1) ? 0 且 f ?(2) ? 0 , 即: ? 7分

?1 ? 2a ? b ? 0, ?2a ? b ? 1 ? 0, 也即 ? ?4 ? 4a ? b ? 0, ?4a ? b ? 4 ? 0.

9分 11 分 2a+b-1=0 13 分 14 分 -2 o 4 P(- 1 , 2) 2 2 a z=a+b b 4a-b+4=0

作出不等式组表示的平面区域如图:

1 当直线 z ? a ? b 经过交点 P(- , 2)时, 2

z ? a ? b 取得最小值 z ? ?

1 3 ?2? , 2 2

3 ∴ z ? a ? b 取得最小值为 2
20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F (? 2,0) ,离心率 e= ,M、N 是椭圆上的的动点。 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆标准方程; (Ⅱ) 设动点 P 满足: ? OM ? 2ON , 直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ? OP 为定值?,若存在,求出 F1 , F2 的坐标,若不存在,说明理由。 (Ⅲ)若 M 在第一象限,且点 M , N 关于原点对称,点 M 在 x 轴上的射影为 A ,连接 NA 并延长交椭圆于点 B , 证明: MN ? MB ;

??? ?

???? ?

????

1 , 是否存在定点 F1 , F2 , 问: 使得 PF1 ? PF2 2

?c ? 2 ? 20.解: (Ⅰ)由题设可知: ? c 2 ? a ? 2, c ? 2 ???????????2 分 ? ? 2 ?a
故 b ? a ? c ? 2 ???????????3 分
2 2 2

故椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ? 1 ???????????4 分 4 2

(Ⅱ)设 P( xp , yP ), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,由 OP ? OM ? 2ON 可得:

??? ?

???? ?

????

? xP ? x1 ? 2 x2 .............① ???????????5 分 ? ? yP ? y1 ? 2 y2
由直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?

1 可得: 2

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y1 y2 1 ? ? ,即 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0............② ???????????6 分 x1 x2 2
2 2 2 2 2 2 由①②可得: xP ? 2 yP ? ? x1 ? 2 x2 ? ? 2 ? y1 ? 2 y2 ? ? ( x1 ? 2 y1 ) ? ( x2 ? 2 y2 ) 2 2

2 2 2 2 M、N 是椭圆上,故 x1 ? 2 y1 ? 4, x2 ? 2 y2 ? 4
2 2 xP yP ? ? 1 ?????..8 分 故 x ? 2 y ? 8 ,即 8 4

2 P

2 P

由椭圆定义可知存在两个定点 F (?2,0), F2 (2,0) ,使得动点 P 到两定点距离和为定值 4 2 ; 1 ????????????.9 分; (Ⅲ)设 M ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由题设可知 x1 ? 0, y1 ? 0, x2 ? 0, y2 ? 0, x1 ? x2 , A( x1 ,0), N (? x1 , ? y1 ) ???..10 分 由题设可知 l AB 斜率存在且满足 k NA ? k NB ?

y1 y ?y ? 2 1 ????.③ 2 x1 x2 ? x1

kMN ? kMB ? 1 ?

y1 y2 ? y1 ? ? 1.........④ ???????12 分 x1 x2 ? x1

将③代入④可得:

kMN ? kMB ? 1 ?

2 2( y2 ? y1 ) y2 ? y1 ( x 2 ? 2 y2 ) ? ( x12 ? 2 y12 ) ??⑤????.13 分 ? ?1 ? 2 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x12 2 x2 y 2 ( x2 ? 2 y2 ) ? ( x12 ? 2 y12 ) 4?4 ? ? 1 ,故 kMN ? kMB ? 1 ? 2 ? 2 ?0 2 2 4 2 x2 ? x1 x2 ? x12

点 M , B 在椭圆

所以 kMN ? kMB ? 1 ? 0?kMN ? kMB ? ?1? MN ? MB ????14 分

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? , an ?

?n ? ?n (n ? 1, 2,...) ,其中 ? , ? 是方程 x2 ? x ?1 ? 0 的两个根. ? ??

(1)证明:对任意正整数 n ,都有 an?2 ? an?1 ? an ; (2)若数列 ?an ? 中的项都是正整数,试证明:任意相邻两项的最大公约数均为 1; 21.证明: (1) ? , ? 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的两个根,
2

第 八 页 共 八 页

?? n+2 ? ?? n ?1 ? ? n ? ? ? ? ? n+2 ? ? ? n ?1 ? ? n ? ? ? ? ? ? 故对任意正整数 n , an ? 2 ? (an ?1 ? an ) ? ? ??

?

? n ?? 2 ? ? ? 1? ? ? ? ??

n

??

2

? ? ? 1?

?

0?0 ?0 ? ??

故 an?2 ? an?1 ? an ; (2)由(1)与更相减损术可得:对任意正整数 n ,

? an?2 , an?1 ? ? ? an?1 ? an , an?1 ? ? ? an , an?1 ??? an , an?1 ? ? ?a2 , a1 ? ? ?a2 ,1? ? 1
故命题成立;



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