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三角函数化简与求值策略



19 三角函数化简与求值策略
1 1.若 sin(π +α )=- ,则 cos α =________. 2 答案 解析 ± 3 2

1 1 由 sin(π +α )=- ,得-sin α =- , 2 2 1 即 sin α = , 2 ∴cos α =± 1-sin α =±
2

3 . 2

/>2.设 tan α ,tan β 是方程 x2 -3x+2=0 的两根,则 tan(α +β )的值为________. 答案 解析 -3

tan α +tan β =3,tan α ?tan β =2, tan α +tan β 所以 tan(α +β )= =-3. 1-tan α ?tan β 3.sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)?cos(110°-x)的值为________. 答案 解析 2 2 sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)cos(110°-x)

=sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)[-cos(70°+x)] =sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)sin(x-20°) =sin(65°-x+x-20°) 2 . 2 sin 47°-sin 17°cos 30° 4. 的值是________. cos 17° 1 答案 2 sin(30°+17°)-sin 17°cos 30° 解析 原式= cos 17° sin 30°cos 17°+cos 30°sin 17°-sin 17°cos 30° = cos 17° sin 30°cos 17° 1 = =sin 30°= . cos 17° 2 =sin 45°= 5. 若 0<α < 答案 5 3 9 π π π 1 π β 3 β , - <β <0, cos ? +α ?= , cos? - ?= , 则 cos?α + ?=________. 2 2 ?4 ? 3 ?4 2 ? 3 ? 2?

解析

∵cos

?π +α ?=1,0<α <π , ?4 ? 3 2

π 2 2 ∴sin? +α ?= . ?4 ? 3 π β 3 π 又∵cos? - ?= ,- <β <0, ?4 2 ? 3 2 π β 6 ∴sin? - ?= , ?4 2 ? 3 β ? ? ?? π +α ? -?π -β ?? ∴cos α + =cos ? 2? ?? 4 ? ? 4 2 ?? π π β ? π π β ? ? ? =cos +α cos - +sin? +α ?sin? - ? ?4 ? ?4 2 ? ?4 ? ?4 2 ? 1 3 2 2 6 5 3 = ? + ? = . 3 3 3 3 9 6.(2014?课标全国Ⅰ改编)设 α ∈(0, -β =________. π 答案 2 解析 由 tan α = 1+sin β sin α 1+sin β 得 = , cos β cos α cos β π π 1+sin β ),β ∈(0, ),且 tan α = ,则 2α 2 2 cos β

即 sin α cos β =cos α +cos α sin β , π ∴sin(α -β )=cos α =sin( -α ). 2 π π ∵α ∈(0, ),β ∈(0, ), 2 2 π π π π ∴α -β ∈(- , ), -α ∈(0, ), 2 2 2 2 π π ∴由 sin(α -β )=sin( -α ),得 α -β = -α , 2 2 π ∴2α -β = . 2 sin 2α +cos2 (π -α ) 7.已知 tan α =2,则 的值为________. 1+cos 2α 5 答案 2 sin 2α +cos2 (π -α ) 2sin α cos α +cos2 α 解析 = 1+cos 2α 2cos2 α 2sin α +cos α 1 5 = =tan α + = . 2cos α 2 2 cos 2α 1+tan α 8. ? 的值为________. 1+sin 2α 1-tan α 答案 1

sin α 1+ cos α -sin α cos α 解析 原式= ? (sin α +cos α )2 sin α 1- cos α cos α -sin α sin α +cos α = ? =1. sin α +cos α cos α -sin α 7 9.已知 sin θ +cos θ = ,θ ∈(0,π ),则 tan θ =________. 13 12 答案 - 5 7 解析 方法一 因为 sin θ +cos θ = ,θ ∈(0,π ), 13 49 所以(sin θ +cos θ )2 =1+2sin θ cos θ = , 169 60 所以 sin θ cos θ =- . 169 7 60 由根与系数的关系,知 sin θ ,cos θ 是方程 x2 - x- =0 的两根, 13 169 12 5 所以 x1 = ,x2 =- . 13 13 60 又 sin θ cos θ =- <0, 169
2 2

所以 sin θ >0,cos θ <0. 12 5 所以 sin θ = ,cos θ =- . 13 13 sin θ 12 所以 tan θ = =- . cos θ 5 方法二 同法一,得 sin θ cos θ =- 60 , 169

sin θ cos θ 60 所以 =- . 2 2 sin θ +cos θ 169 tan θ 60 齐次化切,得 2 =- , tan θ +1 169 即 60tan2 θ +169tan θ +60=0, 12 5 解得 tan θ =- 或 tan θ =- . 5 12 又 θ ∈(0,π ),sin θ +cos θ = sin θ cos θ =- 所以 θ ∈( 60 <0. 169 7 >0, 13

π 3π 12 , ),所以 tan θ =- . 2 4 5 4 π 10.已知 sin θ +cos θ = (0<θ < ),则 sin θ -cos θ 的值为________. 3 4 答案 - 2 3

解析

4 ∵sin θ +cos θ = , 3 16 , 9

∴(sin θ +cos θ )2 =1+2cos θ sin θ = 7 ∴2cos θ cos θ = , 9 7 2 2 ∴(sin θ -cos θ ) =1- = , 9 9

π 2 ),∴sin θ <cos θ ,∴sin θ -cos θ =- . 4 3 1 13 π 11.已知 cos α = ,cos(α -β )= ,且 0<β <α < . 7 14 2 又 θ ∈(0, (1)求 tan 2α 的值; (2)求 β . 解 1 π (1)由 cos α = ,0<α < ,得 7 2 1 4 3 1-( )2 = . 7 7

sin α = 1-cos2 α = ∴tan α =

sin α 4 3 7 = ? =4 3, cos α 7 1 2tan α 2?4 3 8 3 于是 tan 2α = = =- . 1-tan2 α 1-(4 3)2 47 π π (2)由 0<β <α < ,得 0<α -β < , 2 2 13 又∵cos(α -β )= , 14 ∴sin(α -β )= 1-cos2 (α -β )= 由 β =α -(α -β ), 得 cos β =cos[α -(α -β )] =cos α cos(α -β )+sin α sin(α -β ) 1 13 4 3 3 3 1 = ? + ? = , 7 14 7 14 2 π ∴β = . 3 1-( 13 2 3 3 )= . 14 14



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