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高一数学函数的零点1


§3.1.1 函数的零点

福建省厦门第六中学

郭祯

一、问题情境:
问题1:下列二次函数的图象和相应二次方程的 根有何关系?
(1)y=x2-2x-3 与 x2-2x-3=0 (2)y=x2-2x+1 与 x2-2x+1=0 (3)y=x2-2x+3 与 x2-2x+3=0 引申:二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象和相 应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何关 系?

结论: 二次函数图象与x轴交点的横坐标
就是相应方程的实数根。
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1、求下列方程的根

2、画出下列函数的图象

①x ? 2 x ? 3 ? 0
2

①y ? x 2 ? 2 x ? 3
y -1 3 x

方程有两个不同的实数根

x1 ? ?1 ,x2 ? 3;

②x 2 ? 2 x ? 1 ? 0
方程有两个相同的实数根

②y ? x 2 ? 2 x ? 1
y 1 1 y 3 x

x1 ? x2 ? 1 ;

③x 2 ? 2 x ? 3 ? 0
方程x 2 ? 2 x ? 3 ? 0没有实数根;

③y ? x 2 ? 2 x ? 3

1 通过观察,你能得到上面三个一 元二次方程的根与其相应的二次 函数的图象有什么关系吗?

x

三个一元二次方程的根就是与其相对应的 二次函数与x轴交点的横坐标

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二次函数零点个数的判定:
??0 ??0 ??0

?b ? b 2 ? 4ac x1 ,2 ? 2a

b x1 ? x2 ? ? 2a

无实数根

b f ( x ) 的值为 0 的实 零点:一般地, y= ?b ? b ? 4使函数 ac ? 零点 无零点 2a a y? f ( x) 的零点 数 x2称为函数
2

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二、讲授新知
1、函数零点的概念:
对于函数 函数

y ? f ( x) ,我们把使 f ( x) ? 0 y ? f ( x) 的零点。

的实数x叫做

2、函数零点的意义:

函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 的实数根,也就 是函数 y ? f ( x) 的图象与x轴 的交点的横坐标。

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?

所以:

方程 函数

f ( x) ? 0
y ? f ( x) f ( x)

有实数根 的图象与x轴有交点

? ?

函数 y ?

有零点.

例1:求下列函数的零点:

(1) y ? ? x2 ? x ? 20

(2) y ? ( x ? 2)( x ? 3x ? 2)
2 2

(3) y ? e x ? 1
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4、函数

y ? f ( x)零点的求法:

(1) (代数法) 求方程 f ( x) ? 0 的实数根; (2) (几何法)可以将它与函数

y ? f ( x)

的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.

例2.已知函数y=x2-2x-1 (1)判断该函数零点的个数,并说明理由;

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例2.已知函数y=x -2x-1

2

(1)判断该函数零点的个数,并说明理由;
(-1 (2)它在区间( 2 ,, 1) 3)上存在零点吗?

y

-1

o

2

3

x

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若f(a)· f(b)<0,则二次函数y=f(x)在 区间(a,b)上有零点.
y
y a o b x

a
o

b

x

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若f(a)· f(b)<0,则二次函数y=f(x)在 区间(a,b)上有零点.
y y

a
o

b

x

a o b

x

若函数y=f(x)在区间 (a,b)上的图象是 一条不间断的曲线,且f(a) · f(b)<0,则 函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.
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y

y 0 a

0 a

b x

b

x

y

0a

b

x
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例3:试证明函数f(x)=x3+x2+1在区间(-2,-1) 上有零点. 证明: ∵ f(-2)=-3<0, f(-1)=1>0 ∴ f(-2) · f(-1)<0 又∵ 函数f(x)在区间( -2,-1 )上的图象是不间 断的,



函数f(x)在区间(-2,-1)上存在零点.

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例4:已知函数

y ? x2 ? ax ? 2

(1) 证明:函数有两个零点。 (2)若函数在区间

?0,2?

有零点,求a的取值范围。

例5:若关于x的方程 3x2 ? 5x ? a ? 0的一根在(-2,0)内, 另一根在(1,3)内,求a的取值范围。

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例6 求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数。
法一

解:用计算器或计算机作出 x 、 f ( x) 的对应值表和图象

x
f ( x)
y 5 4 3 2 1 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

? 4 ? 1 .3

1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2

由上表和右图可得, f (2) ? 0 , f (3) ? 0,即

说明这个函数在区间? 2,3? f (2) ? f (3) ? 0 ,

由于函数 f ( x) 在定义域 ? 0, ?? ? 内 内有零点。
3 4 5 x

是增函数,所以它仅有一个零点。

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例6 求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数。
法二

解:由已知得,即求方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0 的根;

方程变形为: ln x 令

? ?2 x ? 6

y
6

y1 ? ln x

y2 ,

? ?2 x ? 6

由图可得两函数图象只有一个公共点,

y1 ? ln x
1

所以函数有一个零点。

o

3

x

y2 ? ?2 x ? 6
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例7:已知f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ? a,求a取何值
2

①有两个零点,②3个零点,③4个零点
y ? a
y
4

x ?1

2

y y? ?a a

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y ? a
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三、练习应用
1、观察下面函数 y ? f ( x) 的图象 (1)在区间 ? a, b? 上 有 (有/无)零点;f (a)?f (b) < 0
(“<”或“>”) (2)在区间 b, c (“<”或“>”) (3)在区间 c, d (“<”或“>”)

? ?

上 上

无 有

(有/无)零点;f (b)?f (c) > 0 (有/无)零点;f (b)?f (c) > 0

?

?

y

a

0

b

c

d

x
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2 2、函数 f ( x) ? ln x ? 的零点所在的大致区间是( x



A、(1,2)

B、(2,3)

C、(3,4)

D、(e,+∞)

3、若方程 2ax 2 ? x ? 1 ? 0 在(0,1)内恰有一
解,则

a

的取值范围是



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四、小结:
函数y=f(x)的零点

函数y=f(x) 的图 象与x轴交点的 横坐标

方程f(x)=0
的实数根




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四、小结:
1、对于函数y ? f ( x),我们把使f ( x) ? 0的实数x叫做 函数y ? f ( x)的 零点。

2、 如果函数 y ? f ( x) 在区间? a, b ?上的图象是连续不断的一条曲线,
并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 内有零点,
即存在 c ? ? a, b ? ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。

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们能带得了的。”乔氏说:“东西不多,就几斤粉末和几把毛刷。你若不想去就不用去了!”说罢了轻轻笑一笑,对耿老爹、耿英和小青 说:“到底是大伢子了,不愿意跟着我们娘儿们转悠啊!”又点一点耿直的小鼻头,笑着说:“不像你,还就像一个跟屁虫一样呢!”小 青一边洗刷锅碗,一边偷眼瞧见耿正出门儿去了。他会去哪里呢?小青的脑瓜儿飞快地转着对啦,一定是那里,那个他特别喜欢的小树林! 洗刷完锅碗瓢盆儿后,小青对耿英说:“英妹子,你不是想多要一些绣花的图样吗,我和姆妈的手里并没有多少。这样吧,今儿个后晌正 好有时间,我去前街的绣铺里给你多找一些回来。你和直子弟弟陪同我姆妈一起上街去买那些东西吧,顺便多转悠一会儿。我是本地人, 对上街转悠并不是多么感兴趣呢。”耿英想想也是,就感激地对小青说:“有劳姐姐费心,一定多给我找一些回来啊!”看到小青似乎有 些心不在焉的样子,一边胡乱地点头答应着,一边打开柜子取了件什么小东西揣在怀里就急匆匆地出门去了,耿英的心里不禁“咯噔”了 一下。她皱着眉头想一想,实在想不出个所以然来,但又总感觉这事情好像有些个不对头呢。莫不是她和哥哥早就商量好了,要一起去哪 里说话去?又一想,这绝对不可能啊,哥哥怎么可能忘记了绣儿姐姐呢!带着满腹的狐疑和不解,耿英和弟弟陪同乔氏一起上街去了。106 第三十六回 乔氏得知耿家事|(乔氏好心助开店,遭到拒绝悲哭夫;劝解饮泪思亲人,乔氏得知耿家事。)耿老爹的身体日益好起来,五 间新屋里亮上的石灰泥也早已经完全干透了。于是,耿老爹就开始考虑进行屋内刷白了。无奈乔氏一再阻拦,说屋内刷白的事情不着急, 一定要耿老爹多休养一些日子再说。耿正明白爹爹的心情,就私下里对他说:“爹,娘娘说得对,你是应该多休养一些日子的。不过,我 和英子,还有小直子都早就歇息好了,老这样闲着也没有意思。这样吧,现在地里还没有长出多少新鲜蔬菜呢,从明儿个开始,我们三个 还是继续做一些贩卖水果的生意,你就只管放心地在家里休养着吧。”耿老爹说:“行啊,那你们就先这么着做着吧。爹再休养几天也好, 以前可是从来不生病呢。”晚上临睡前,耿老爹问耿英和耿直:“你俩可愿意从明儿个开始再做一些贩卖水果的生意?”俩人都说:“早 就歇息好了,还是再做吧,多多少少的能赚点儿总比闲待着要强一些呢!”耿英还特别嘱咐耿老爹:“爹,我们不在家的时候,你不要睡 地铺了,在床上歇着啊!”耿老爹点头答应,说:“好,我一定睡床上歇着!”第二天的早饭桌上,耿老爹把耿正的这个打算告诉了乔氏。 乔氏想一想说:“这样倒也行的。不过啊,正伢子,你们三个可不要着急上火,能赚多少算多少。等



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