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2014届海淀高三上学期期中考试数学理试题(WORD版含答案)



海淀区高三年级第一学期期中练习 数学(理科) 2013.11
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 1.已知集合 A ? {?1,1,2} , B ?

{x | x ? 1 ? 0} ,则 A ? B ? ( A. {?1,1, 2} B. {1, 2} ) C. f ( x) ? 2 x ) C. D. f ( x) ? tan x ) D. {2}

C. {?1,2}

2.下列函数中,值域为 (0, ??) 的函数是( A. f ( x ) ? x B. f ( x) ? ln x

3. 在 ?ABC 中,若 tan A ? ?2 ,则 cos A =( A.

2 5 5 ??? ??? ? ? 4. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 O(0,0), A(0,1), B(1, ?2), C(m,0) ,若 OB / / AC ,则实数 m 的值
B. ? D. ? 为( ) B. ? C.

5 5

5 5

2 5 5

1 2 2 5.若 a ?R ,则“ a ? a ”是“ a ? 1 ”的()
A. ?2 A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件
n

1 2

D. 2

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 (3n ? 13) ,则数列的前 n 项和 S n 的最小值是() A. S 3 B. S 4 C.

S5

D. S 6

π ? ? sin x, x ? [ ?1,0), 1 1 2 7.已知 a ? 0 ,函数 f ( x ) ? ? 若 f (t ? ) ? ? ,则实数 t 的取值范围为() 3 2 ?ax 2 ? ax ? 1, x ? [0, ??), ?

2 A. [? ,0) 3
8.已知函数 f ( x ) ?

B. [?1,0)

C. [2,3)

D. (0, ??)

① ? 是 f ( x) 的一个周期;

sin x ? cos x ,在下列给出结论中: sin x cos x
? 对称; 4

② f ( x) 的图象关于直线 x ?

? ③ f ( x) 在 (? ,0) 上单调递减. 2
其中,正确结论的个数为() A. 0 个 B.1 个 C. 2 个 D. 3 个

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. ? (2 x ? 1)dx ? ___________.
0 1

10. 已知数列 {an } 为等比数列,若 a1 ? a3 ? 5, a2 ? a4 ? 10 ,则公比 q ? ____________. 11. 已知 a ? log 2 5,2b ? 3, c ? log3 2 ,则 a, b, c 的大小关系为____________. 12.函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0,|? |?

π ) 的图象如图所示,则 2

? ? ______________, ? ? __________.

y

1
??? ? ??? ? ??? ? 13.已知 ?ABC 是正三角形, a ? AC ? ? AB 与向量 AC 的夹角 若
90? ,则实数 ? 的取值范围是__________
O

3

x





14.定义在 (0, ??) 上的函数 f ( x ) 满足:①当 x ? [1,3) 时, f ( x) ? 1? | x ? 2 | ;② f (3x) ? 3 f ( x) .设关于

x 的函数 F ( x) ? f ( x)? a的零点从小到大依次为 x1 , x2 ,?, xn ,? .若 a ? 1 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? ;若
,则 x1 ? x2 ? ? ? x2n ? ________________. a ? (1, 3) 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。 15.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , A ? 60? , 3b ? 2c, S?ABC ? (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求 sin B 的值. 16. (本小题满分 14 分)

3 3 . 2

π 已知函数 f ( x ) ? 3cos4 x ? 2cos 2(2 x ? ) ?1 . 4
(I)求 f ( x ) 的最小正周期;

π π (II)求 f ( x ) 在区间 [ ? , ] 上的取值范围. 6 4
17.(本小题满分 13 分)

如图,已知点 A(11,0) ,直线 x ? t ( ?1 ? t ? 11) 与函数 y ? x ? 1 的图象交于点 P ,与 x 轴交于

y
点 H ,记 ?APH 的面积为 f (t ) . (I)求函数 f (t ) 的解析式;
O H A P

x

(II)求函数 f (t ) 的最大值. 18.(本小题满分 13 分) 已知数列 {a n } 满足:① a2 ? 0 ;②对于任意正整数 p, q 都有 a p ? aq ? 2 p ? q 成立. (I)求 a1 的值; (II)求数列 {a n } 的通项公式; (III)若 bn ? (an ? 1) ,求数列 {bn } 的前 n 项和.
2

19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2a ln x(a ? 0) . (I)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (II)求 f ( x) 的单调区间; (III)若 f ( x) ? 0 在区间 [1,e] 上恒成立,求实数 a 的取值范围. 20.(本小题满分 13 分)

? an , an ? 3l , l ? N* , ? 已 知 数 列 {an } 的 首 项 a1 ? a, 其 中 a ? N , an ?1 ? ? 3 令 集 合 ? a ? 1 , a ? 3l , l ? N* . n ? n
*

A ? { x | x? n a, N* . } ? n
(I)若 a4 是数列 {an } 中首次为 1 的项,请写出所有这样数列的前三项; (II)求证: {1,2,3} ? A ; (III)当 a ? 2014 时,求集合 A 中元素个数 Card ( A) 的最大值.

参考答案 一. 选择题 1.A 2.C 3.B 4.C 5.B 6.B 7.D 8.C 二、填空题 9.2 10.2 11.
三、解答题 1. 解:(Ⅰ)由 A ? 60? 和 S?ABC ? 所以 bc ? 6 , 又 3b ? 2c, 所以 b ? 2, c ? 3 . (Ⅱ)因为 b ? 2, c ? 3 , A ? 60? , 由余弦定理 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 可得 ------------------------------------7 分 ------------------------------------9 分 ------------------------------------5 分

a ? b ? c 12.

2π π 3 ,6

13. . ? ? 2

14. 答案:14; 6(3n ? 1)

3 3 1 3 3 可得 bc sin 60? ? , ---------------------------2 分 2 2 2 --------------------------------------3 分

a 2 ? 22 ? 32 ? 6 ? 7 ,即 a ? 7 .
由正弦定理

a b 可得------------------------------------11 分 ? sin A sin B

7 2 ,------------------------------------12 分 ? ? sin B sin 60
所以 sin B ? 2.

21 .------------------------------------13 分 7

π 解:(I) f ( x) ? 3 cos4 x ? cos(4 x ? ) ------------------------------------2 分 2
? 3 cos 4 x ? sin 4 x ------------------------------------4 分

π ? 2sin(4 x ? ) ------------------------------------6 分 3 π f ( x ) 最小正周期为 T ? ,------------------------------------8 分 2 π π 4π π π (II)因为 ? ? x ? ,所以 ? ? 4 x ? ? -----------------------------------10 分 6 4 3 3 3 3 π 所以 ? ? sin(4 x ? ) ? 1 -----------------------------------12 分 2 3

π 所以 ? 3 ? 2sin(4 x ? ) ? 2 , 3
所以 f ( x ) 取值范围为 [ ? 3,2] . 3. 解:(I)由已知 AH ? 11 ? t , PH ? t ? 1 分

-----------------------------------13 分 ------------------------------------14 分 -------------------------------------1

1 所以 ?APH 的面积为 f (t ) ? (11 ? t ) t ? 1, ?1 ? t ? 11 . ---------------------4 分 2 1 1 1 t ? 1 ? ? (11 ? t ) ? (II)解法 1. f '(t ) ? ? 2 2 2 t ?1 3(3 ? t ) ? -------------------------------------7 分 4 t ?1
由 f '(t ) ? 0 得 t ? 3 , 函数 f (t ) 与 f '(t ) 在定义域上的情况下表: -------------------------------------8 分

t
f '(t )
f (t )

(?1,3)
+ ↗

3 0 极大值

(3,11)
?

↘ -----------------------------------12 分

所以当 t ? 3 时,函数 f (t ) 取得最大值 8.

------------------------------------13 分

1 1 (11 ? t )2 (t ? 1), ?1 ? t ? 11 解法 2.由 f (t ) ? (11 ? t ) t ? 1 ? 2 2
设 g (t ) ? (11 ? t )2 (t ? 1), ?1 ? t ? 11 , -------------------------------------6 分

则 g '(t ) ? ?2(11 ? t )(t ? 1) ? (11 ? t )2 ? (t ? 11)(t ? 11 ? 2t ? 2) ? 3(t ? 3)(t ? 11) .-------7 分 函数 g (t ) 与 g '(t ) 在定义域上的情况下表:

t
g '(t )
g (t )

(?1,3)
+ ↗

3 0 极大值

(3,11)
?

↘ ------------------------------------11 分

所以当 t ? 3 时,函数 g (t ) 取得最大值, 所以当 t ? 3 时,函数 f (t ) 取得最大值

-----------------------------------12 分

1 g (3) ? 8 .------------------------------------13 分 2
-------------------------------2 分

4. 解:(I)由②可得 a1 ? a1 ? 22 , a1 ? a2 ? 23

由①可得 a1 ? 2 . (II)由②可得 a1 ? an ? 2n ?1 , 所以数列 {a n } 的通项公式 an ? 2n . (III)由(II)可得 bn ? (an ? 1)2 ? 4n ? 2n?1 ? 1 ,

-------------------------------3 分 ------------------------------6 分 ------------------------------7 分

易得 {4n },{2n?1} 分别为公比是 4 和 2 的等比数列,------------------------------8 分 由等比数列求和公式可得 Sn ?

4(1 ? 4n ) 4(1 ? 2n ) 1 ? ? n ? (4n ?1 ? 16) ? 2n ? 2 ? n .--13 分 1? 4 1? 2 3

5. 解:(I)因为 a ? 1 , f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 2ln x ,

2 x2 ? 4 x ? 2 ( x ? 0) , x f (1) ? ?3 , f '(1) ? 0 , 所以切线方程为 y ? ?3 .
所以 f '( x) ? (II) f '( x) ?

------------------------------1 分 ------------------------------3 分 ------------------------------4 分 ----------------------------5 分 ------------------------------6 分

2 x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2a 2( x ? 1)( x ? a) ? ( x ? 0) , x x

由 f '( x) ? 0 得 x1 ? a, x2 ? 1 ,

当 0 ? a ? 1 时,在 x ? (0, a) 或 x? (1, ??) 时 f '( x) ? 0 ,在 x ? (a,1) 时 f '( x) ? 0 , 所以 f ( x) 的单调增区间是 (0, a) 和 (1, ??) ,单调减区间是 (a,1) ; ---------------7 分 当 a ? 1 时,在 x? (0, ??) 时 f '( x) ? 0 ,所以 f ( x) 的单调增区间是 (0, ??) ;-----8 分 当 a ? 1 时,在 x ? (0,1) 或 x ? (a, ??) 时 f '( x) ? 0 ,在 x ? (1, a) 时 f '( x) ? 0 . 所以 f ( x) 的单调增区间是 (0,1) 和 (a, ??) ,单调减区间是 (1, a ) . ---------------10 分 (III)由(II)可知 f ( x) 在区间 [1,e] 上只可能有极小值点, 所以 f ( x) 在区间 [1,e] 上的最大值在区间的端点处取到,-------------------------12 分 即有 f (1) ? 1 ? 2(a ? 1) ? 0 且 f (e) ? e2 ? 2( a ? 1)e ? 2a ? 0 ,

e 2 ? 2e . ---------------------14 分 2e ? 2 6. 解 : ( I ) 27,9,3 ; 8,9,3 ; --------------------------------------3 分 1 (II)若 ak 被 3 除余 1,则由已知可得 ak ?1 ? ak ? 1 , ak ?2 ? ak ? 2, ak ?3 ? (ak ? 2) ; 3 1 1 若 ak 被 3 除余 2,则由已知可得 ak ?1 ? ak ? 1 , ak ?2 ? (ak ? 1) , ak ?3 ? (ak ? 1) ? 1 ; 3 3 1 1 若 ak 被 3 除余 0,则由已知可得 ak ?1 ? ak , ak ?3 ? ak ? 2 ; 3 3 1 所以 ak ?3 ? ak ? 2 , 3
解得 a ?

6,2,3.

1 2 所以 ak ? ak ?3 ? ak ? ( ak ? 2) ? (ak ? 3) 3 3
所以,对于数列 {an } 中的任意一项 ak ,“若 ak ? 3 ,则 ak ? ak ?3 ”. 因为 ak ? N* ,所以 ak ? ak ?3 ? 1 . 所以数列 {an } 中必存在某一项 am ? 3 (否则会与上述结论矛盾!) 若 am ? 3 ,则 am?1 ? 1, am?2 ? 2 ;若 am ? 2 ,则 am?1 ? 3, am?2 ? 1 ,若 am ? 1 ,则 am?1 ? 2, am?2 ? 3 , 由递推关系易得 {1,2,3} ? A . 分 (III)集合 A 中元素个数 Card ( A) 的最大值为 21. 由已知递推关系可推得数列 {an } 满足: 当 am ?{1,2,3} 时,总有 an ? an ?3 成立,其中 n ? m, m ? 1, m ? 2,? . 下面考虑当 a1 ? a ? 2014 时,数列 {an } 中大于 3 的各项: 按逆序排列各项,构成的数列记为 {bn } ,由(I)可得 b1 ? 6 或 9, 由(II)的证明过程可知数列 {bn } 的项满足: ---------------------------------------8

bn ?3 ? bn ,且当 bn 是 3 的倍数时,若使 bn ?3 ? bn 最小,需使 bn?2 ? bn?1 ? 1 ? bn ? 2 ,
所以,满足 bn ?3 ? bn 最小的数列 {bn } 中, b3 ? 4 或 7,且 b3k ? 3b3k ?3 ? 2 , 所以 b3k ? 1 ? 3(b3( k ?1) ? 1) ,所以数列 {b3k ? 1} 是首项为 4 ? 1 或 7 ? 1 的公比为 3 的等比数列, 所以 b3k ? 1 ? (4 ? 1) ? 3k ?1 或 b3k ? 1 ? (7 ? 1) ? 3k ?1 ,即 b3k ? 3k ? 1 或 b3k ? 2 ? 3k ? 1 , 因为 36 ? 2014 ? 37 ,所以,当 a ? 2014 时, k 的最大值是 6, 所以 a1 ? b18 ,所以集合 A 重元素个数 Card ( A) 的最大值为 21.---------------13 分



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