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高三数学测试题15—参数方程和极坐标方程[



2002-2003 学 年 度 上 学 期

高中学生学科素质训练
高三数学测试题—参数方程和极坐标方程(15
一、选择题(本题每小题 5 分,共 60 分)

? x ? 3t 2 ? 2, ? (0 ? t ? 5) 表示的曲线是 1.参数方程 ? ?y ? t 2 ?1 ?
A.线段 B.双曲线的一支 C.圆弧 D.射线





? ? ? ? x ?| cos 2 ? sin 2 | (0 ? ? ? 2? ) 2.参数方程 ? 表示 ? 1 ? y ? (1 ? sin ? ) ? 2 ?
A.双曲线一支,这支过点(1,





1 1 ) B.抛物线的一部分,这部分过点(1, ) 2 2 1 1 C.双曲线的一支,这支过点(-1, ) D.抛物线的一部分,这部分过点(-1, ) 2 2
3.极坐标方程 ? ?
2 2

?

2

? arcsin ? ( ? ? 0) 化为直角坐标方程的形式是
B. y ?





A. x ? y ? x ? 0 C. y ? ? ? ( x ? 1)

? x(1 ? x)

2 D. 2 x ? ? 1 ? 4 y ? 1

4.在极坐标系中,如果等边三角形的两个顶点是 A(2, 坐标可能是 A. (4,

5? ? ) ,B(2, ) ,那么顶点 C 的 4 4
( ) D.(3, ? )

3? ) 4
2 2

B. (2 3,

3? ) 4

C. ( 2 3 , ? )

5.已知动圆方程 x ? y ? x sin 2? ? 2 2 ? y sin(? ? 是 A.椭圆

?
4

,那么圆心的轨迹 ) ? 0(? 为参数) ( D.抛物线的一部分 )

B.椭圆的一部分

C.抛物线

81

6.已知集合 A ? {( x, y) | ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1}, B ? {( x, y) | y ? y ? ?1} , C ? {( ? ,? ) | ? ? 2 cos? , x x?2

??

s ?x ? 1 ? c o ? k? , k ? Z }, D ? {( x, y ) | ? ,? ? k? , k ? Z } , 下列等式成立的是 ( ? 4 ?y ? s i n
B.B=D
2 2



A.A=B

C.A=C

D.B=C

7.点 P(x,y)是曲线 3x ? 4 y ? 6 x ? 8 y ? 5 ? 0 上的点,则 z ? x ? 2 y 的最大值和最小 值分别是 A.7,-1
2

( B.5,1
2 2 2



C.7,1

D.4,-1 ( D.5 ( D. ) )

8.实数 x、y 满足 3x ? 2 y ? 6 x, 则x ? y 的最大值是 A.2 9.曲线 ? ? 0,? ? A. B.4 C.

?
4

9 2

( ? ? 0) 和 ? ? 5 所围成的图形的面积是
B.

5? 2

25? 2

C.

25? 6

25? 8

2 2

10.直线 ? ?
2 2

1 与圆 ? ? 2 cos? (c ? 0) 相切的条件是 a cos? ? b sin?
2 2 2 2



A. b c ? 2ac ? 1 B. b c ? ac ? 1 11.直线 ? sin(? ? ? ) ? a和? ? A.平行

C. a c ? 2bc ? 1 D. a c ? bc ? 1 ( D.斜交 ) )

?
2

? ? 的位置关系是
C.垂直

B.重合

12.已知直线 l 的方程 ? ?

1 ,直线 l ? 与 l 关于极点对称,则 l ? 的方程为( cos? ? sin? 1 1 A. ? ? B. ? ? sin? ? cos? cos? ? sin? 1 ?1 C. ? ? D. ? ? sin? ? cos? sin? ? cos?

二、填空题(本题每小题 4 分,共 16 分)

? x ? 2(sec2 ? ? 1) ? ? 13. 由参数方程 ? , (? ? ? ? ) 给出的曲线在直角坐标下的普通方程是 2 2 ? y ? 2tg?
14.在满足方程 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2 的所有实数对(x,y)中,xy 的最大值为
2 2

.

最小值为

.

82

15.在极坐标系中,以 ( ,

a ? a ) 为圆心, 为半径的圆的方程为 2 2 2

.

16.长为 3a 的线段的端点分别在 x、y 轴上滑动,M 为 AB 的一个三等分点,则 M 的轨迹方 程是 . 三、解答题(本题 17—21 小题每小题 12 分,22 小题 14 分,共 74 分)

? x ? m ? 2 cos? 3 17.已知椭圆 C1 : ? (? 为参数)及抛物线 C 2 : y 2 ? 6( x ? ).当C1 ? C 2 ? ? 时, 2 ? y ? 3 sin ?
求 m 的取值范围.

83

18. 求椭圆 ? 坐标.

? x ? 2 cos? , (0 ? ? ? ? ) 上的点 P 到直线 x ? y ? 4 ? 0 的最大距离及此时 P 点的 ? y ? sin ?

84

19.求以 y 轴为准线,顶点在曲线 曲线.

x2 y2 ? ? 1 上的抛物线焦点的轨迹方程,并指出是什么 a2 b2

85

20.已知 P? 为直线 x ? y ? 1 ? 0 上任意一点,连 P? O 并延长至 P,使| P? O|·|OP|=4,求 P 点的轨迹.

86

21.已知抛物线 C1 : y ? x ? 7 与圆 C 2 : x ? y ? 5 .
2 2 2

(1)求证:C1 与 C2 无交点; (2)过点 P(a,0)作与 x 轴不垂直的直线 l 交 C1 于 A、D 两点,交 C2 于 B、C 两点, 且|AB|=|CD|,求 a 的取值范围.

87

22.A、B 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上两点,且 OA⊥OB, a2 b2

(1)求证

1 1 为定值; ? 2 | OA | | OB | 2

(2)求证直线恒切于一定圆; (3)试求

1 1 的最值. ? | OA | | OB |

88

高三数学测试题参考答
十五、参数方程和极坐标方程
一、1.A 消参后,得 x ? 3 y ? 5 ? 0(?1 ?

y ? 24)

2. B 3. B 4. B 5. D 圆心轨迹的参数方程为:

1 ? 1 1 ? x ? 2 sin 2? 2 ? x ? sin ? cos? ? ,消去参数得 y ? 1 ? 2 x(? ? x ? ) . , 即? ? 2 2 ? y ? ? 2 sin(? ? ? ) ? y ? ?(sin ? ? cos? ) ? 4 ?
6. B 集合 B 与 D 都是曲线: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1( x ? 0, x ? 2). 7. 将原方程配方,得 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 4 3
2 2

令即 ?

? x ? 1 ? 2 cos? ? y ? 1 ? 3 sin ?

, 则x ? 2 y ? 3 ? 4 sin(? ?

?
6

),? 当 sin(? ?

?
6

) ? 1 时 ( x ? 2 y ) max ? 7 ;
6 2 2 sin ? ,代入 x ? y 2

当 sin( ? ? 得 x2 二、13.

?
6

) ? ?1时, ( x ? 2 y) min ? ?1 . 8.B 令 x ? 1 ? cos? , y ?

1 9 ? y 2 ? ? (cos? ? 2) 2 ? .当cos? ? 1时, ( x 2 ? y 2 ) max ? 4 . 9.D 10.A 11.C 12.D 2 2

y?

1 2 ( x ? x) 消参可得 2

14. 最大值为 9,最小值为 1.

15. ?

? a sin? .利用直角三角形

的边、角关系. 16.

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1或 2 ? 2 ? 1 利用定比分点坐标公式. 4a 2 a a 4a

三、17.解:将椭圆 C1 的参数方程代入 C2:

3 y 2 ? 6( x ? ). 整理得 3 sin 2 ? ? 6(m ? 2 cos? ? 3 ) 2 2

2 2 ?1 ? cos2 ? ? 2m ? 4 cos? ? 3 也即 (cos? ? 2) ? 8 ? 2m. ?1 ? (cos? ? 2) ? 9,

?1 ? 8 ? 2m ? 9.解之 ?

1 7 1 7 ? m ? . ?当C1 ? C 2 ? ?时, m ? [? , ]. 2 2 2 2

18. 解: ∵椭圆上的点 P(2 cos? , sin? )(0 ? ? ? ? ) 到直线 x ?

y ? 4 ? 0 的距离 d ? | 2 cos? ? sin? ? 4 |
5
89

?

| 5 sin(? ? ? ) ? 4 | 5

.其中sin ? ?

2 5

, cos? ?

1 5

. 当 sin(? ? ? ) ? 1时,即? ?

?
2

? ? 时,

? d max ?

5?4 5

, 此时 cos? ? ? sin ? ? ?

2 5

, sin ? ? cos? ?

1 5

,? P(?

4 5 5 , ). 5 5

19.解:依题意,抛物线的顶点坐标为 ?

? x0 ? a sec? ,∵y 轴为准线,? 顶点( x0 , y 0 ) 到准线的距离为 ? y 0 ? btg?

p ?| a sec? | . ∴焦点到准线的距离 p ? 2 | a sec? |, 又焦点与顶 2
点的横坐标同号,设焦点为(x,y) ,则 ?

? x ? 2a sec? ? y ? btg?

,消去θ ,

得焦点的轨迹方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 .表示双曲线 4a 2 b
2 , cos? ? sin?

20.解:以原点 O 为极点,Ox 为极轴,建立极坐标系,则直线方程化为极坐标方程为: ? ?

设 P?( ? ?,? ) 、P( ? ,? ) , 由已知 ? ? ? ? ? 4,即? ? ? 4 .代入直线的极坐标方程得:? ? 4 cos? ? 4 sin? ,

?

化为直角坐标方程: ( x ? 2)

2

? ( y ? 2) 2 ? 8. (除去原点).
2

21.解: (1)两方程联立,消去 y,得 x

? x ? 2 ? 0,? ? ? 1 ? 4 ? 2 ? ?7 ? 0,? 两曲线无交点.

(2)设直线 l

? x ? a ? t cos? 2 2 2 :? (t 为参数)代入 y ? x ? 7.得t sin ? ? t cos? ? a ? 7 ? 0 . y ? t sin ? ?
① 且 t1 ? t 2 ?

则 ? 1 ? cos2 ? ? 4(a ? 7) sin 2 ? ? 0,

cos? . 将 l 的方程代入 x 2 ? y 2 ? 5 ,得 2 sin ?

t 2 ? 2at cos? ? a 2 ? 5 ? 0.

2 ? ? ? 2 ? 4a 2 c o s ? ? 4(a 2 ? 5) ? 0 ,② 且 t1 ? t 2 ? ?2a cos? ,由

|AB|=|CD|,∴AB 与 BC 的中点必重合,? t1 ? t 2 ? t1 ? t 2 .即 ? ?

cos? 1 ? ?2a cos? ? sin 2 ? ? ? 2a sin 2 ?

(? cos?

1 4 ? 27 ? (a ? 7) ? 0, ? ?1 ? ? 2a 2a ?a ? ? , ? 0). ③ 将③分别代入①和②,得: ? ?? 2 ?4a 2 (1 ? 1 ) ? a 2 ? 5 ? 0. ?? 10 ? a ? 0. ? ? 2a ?

又由③ ?

1 1 1 ? 1 ? a ? ? ,? ?10 ? a ? ? . 2a 2 2
90

22.解(1)将椭圆 b

2

x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2 化为极坐标方程得: ? 2 ?
2
2 2

a 2b 2 . b 2 cos2 ? ? a 2 sin 2 ?

设 A( ? ,? ), ( ? ,? ? ? ),? OA | 2 ? ? 2 ? | 1 2 1

a 2b 2 a 2b 2 2 . , | OB | 2 ? ? 2 ? 2 2 2 2 b cos ? ? a sin ? b sin ? ? a 2 cos2 ?

?

1 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ? 2 2 [b 2 cos2 ? ? a 2 sin 2 ? ? b 2 sin 2 ? ? a 2 cos2 ? ] 2 2 | OA | | OB | ?1 ? 2 a b
1 a2 ? b2 (a 2 ? b 2 ) ? 2 2 =定值. a 2b 2 a b

?

(2)? OA ? OB,? ? AOB 是直角三角形. ? AB | 2 ?| OA | 2 ? | OB | 2 |

?

b 2 sin 2 ? ? a 2 cos2 ? ? b 2 cos2 ? ? a 2 sin 2 ? a 2b 2 a 2b 2 ? a 2b 2 2 ? 2 2 2 2 2 2 b cos ? ? a sin ? b sin ? ? a cos ? (b cos2 ? ? a 2 sin 2 ? )(b 2 sin 2 ? ? a 2 cos2 ? )
2 2

?

a 2 b 2 (a 2 ? b 2 ) .过 O 作 OH⊥AB 则 OH 为点 O 到 AB 的距离. (b 2 cos2 ? ? a 2 sin 2 ? )(b 2 sin ? ? a 2 cos2 ? )
ab b cos ? ? a sin ?
2 2 2 2

?

ab b sin ? ? a 2 cos2 ?
2 2 2 2 2 2

?| OH |?

| OA || OB | ?1 ? 2 ? ? | AB | | AB |

ab a 2 ? b 2 b cos ? ? a sin ? ? b sin ? ? a cos ?
2 2 2 2

?

ab a ? b2
2

(定

值). ∴直线 AB 恒切于一定圆:圆心为 O(0,0) ,半径 r ?

ab a2 ? b2

,方程为 x 2 ? y 2 ?

a 2b 2 a2 ? b2

(3)由 ? 2 ?

a2 ? b2 1 1 1 1 得 ? ? ? 2 2 2 2 b cos ? ? a sin ? | OA | | OB | ?1 ? 2

?
?

1 [ b 2 cos2 ? ? a 2 sin 2 ? ? b 2 sin 2 ? ? a 2 cos2 ? ] ab
1 [( b 2 cos2 ? ? a 2 sin 2 ? ? b 2 sin 2 ? ? a 2 cos2 ? ) 2 ] 2 ab
1

?

1 2 (a ? b 2 ? 4a 2 b 2 ? (a 2 ? b 2 ) 2 sin 2 2? ) 2 . ab
的最大值为

1

?当sin 2 2? ? 1,即sin 2? ? ?1 时,也就是 ? ? ? 或 3? 时, 1 ? 1
4 4 | OA |
1

| OB |

1 2 1 2 [ a ? b 2 ? 4a 2 b 2 ? ( a 2 ? b 2 ) 2 ] 2 ? 2(a 2 ? b 2 ) . 当 sin 2? ? 0,即sin 2? ? 0,? ? 0 ab ab

91

1 1 的最小值为 1 [a 2 ? b 2 ? 2a 2 b 2 ] 2 ? a ? b . 或 ?时, ? ab ab | OA | | OB |
1

92



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