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2012高中数学 1.4.2正弦函数余弦函数的性质教案 新人教A版必修4


§1.4.2 正弦函数余弦函数的性质
【教材分析】 《正弦函数和余弦函数的性质》 是普通高中课程标准实验教材必修4中的内容, 是正弦 函数和余弦函数图像的继续, 本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数 和余弦函数的性质。 【教学目标】 1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质;会求含有 sin x, cos x 的三角式的 性质;会应用正、余弦的值域来求函数 y = a sin x + b( a ≠ 0) 和函数

y = a cos 2 x + b cos x + c (a ≠ 0) 的值域
2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中,渗透数形结合的思想,形成发现问题、 提出问题、解决问题的能力,养成良好的数学学习习惯. 3. 在解决问题的过程中,体验克服困难取得成功的喜悦. 【教学重点难点】 教学重点:正弦函数和余弦函数的性质。 教学难点:应用正、余弦的定义域、值域来求含有 sin x, cos x 的函数的值域 【学情分析】 知识结构:在函数中我们学习了如何研究函数,对于正弦函数余弦函数图像的学习使学 生已经具备了一定的绘图技能,类比推理画出图象,并通过观察图象,总结性质的能力。 心理特征:高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式,并了解了三角函数的周期性, 但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强;能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确 的知识。但在处理问题时学生考虑问题不深入,往往会造成错误的结果。 【教学方法】 1.学案导学:见后面的学案。 2.新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精 讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 【课前准备】 1.学生的学习准备:预习“正弦函数和余弦函数的性质” ,初步把握性质的推导。 2.教师的教学准备:课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展学案。 【课时安排】1 课时 【教学过程】 预习检查、 一、预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。 导入、展示目标。 二、复 习导入、展示目标。 (一)问题情境 复习:如何作出正弦函数、余弦函数的图象? 生:描点法(几何法、五点法) ,图象变换法。并要求学生回忆哪五个关键点 引入:研究一个函数的性质从哪几个方面考虑? 生:定义域、值域、单调性、周期性、对称性等

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1

提出本节课学习目标——定义域与值域 (二)探索研究 给出正弦、余弦函数的图象,让学生观察,并思考下列问题:

1.定义域 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R (或 (?∞,+∞) ). 2.值域 (1)值域 因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度, 所以 | sin x |≤ 1, | cos x |≤ 1 , 即 ? 1 ≤ sin x ≤ 1,?1 ≤ cos x ≤ 1 也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是 [?1,1] . (2)最值 正弦函数 y = sin x, x ∈ R ①当且仅当 x =

π
2

+ 2kπ , k ∈ Z 时,取得最大值 1

+ 2kπ , k ∈ Z 时,取得最小值 ? 1 2 余弦函数 y = cos x, x ∈ R
②当且仅当 x = ? ①当且仅当 x = 2kπ , k ∈ Z 时,取得最大值 1 ②当且仅当 x = 2kπ + π , k ∈ Z 时,取得最小值 ? 1 3.周期性 由 sin( x + 2kπ ) = sin x, cos( x + 2kπ ) = cos x, ( k ∈ Z ) 知: 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的. 定义:对于函数 f ( x ) ,如果存在一个非零常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一个值时, : 都有 f ( x + T ) = f ( x ) ,那么函数 f ( x ) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. 由此可知, 2π ,4π , L ,?2π ,?4π , L ,2kπ ( k ∈ Z , k ≠ 0) 都是这两个函数的周期. 对于一个周期函数 f ( x ) ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小 正数就叫做 f ( x ) 的最小正周期. 根据上述定义,可知:正弦函数、余弦函数都是周期函数, 2kπ ( k ∈ Z , k ≠ 0 ) 都是它的 周期,最小正周期是 2π . 4.奇偶性
用心 爱心 专心 2

π

由 sin( ? x) = ? sin x, cos( ? x ) = cos x 可知: y = sin x ( x ∈ R )为奇函数,其图象关于原点 O 对称

y = cos x ( x ∈ R )为偶函数,其图象关于 y 轴对称
5.对称性 正弦函数 y = sin x ( x ∈ R ) 的对称中心是 ( kπ , 0 )( k ∈ Z ) , 对称轴是直线 x = kπ +

π
2

(k ∈ Z ) ;
? ?

余弦函数 y = cos x ( x ∈ R ) 的对称中心是 ? kπ + 对称轴是直线 x = kπ ( k ∈ Z )

π

? , 0?(k ∈ Z ) , 2 ?

对称中心为图象与 (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线,

x 轴(中轴线)的交点).
6.单调性 从 y = sin x, x ∈ [ ? 当 x ∈ [?

π 3

, ] 时,曲线逐渐上升, sin x 的值由 ? 1 增大到 1 2 2 π 3 当 x ∈ [ , π ] 时,曲线逐渐下降, sin x 的值由 1 减小到 ? 1 2 2
结合上述周期性可知: 正弦函数在每一个闭区间 [ ?

π π

, π ] 的图象上可看出: 2 2

+ 2kπ ](k ∈ Z ) 上都是增函数,其值从 ? 1 增大 2 2 π 3 到 1 ;在每一个闭区间 [ + 2kπ , π + 2kπ ](k ∈ Z ) 上都是减函数,其值从 1 减小到 ? 1 . 2 2 余弦函数在每一个闭区间 [ 2kπ ? π ,2kπ ](k ∈ Z ) 上都是增函数,其值从 ? 1 增加到 1 ;余
弦函数在每一个闭区间 [ 2kπ ,2kπ + π ](k ∈ Z ) 上都是减函数,其值从 1 减小到 ? 1 . 三、例题分析
π

π

+ 2kπ ,

π

例 1、求函数 y=sin(2x+ )的单调增区间.
3

解析:求函数的单调增区间时,应把三角函数符号后面的角看成一个整体,采用换元的 方法,化归到正、余弦函数的单调性.

π
解:令 z=2x+



?

π
2

3

,函数 y=sinz 的单调增区间为[ ?

π
2

+2 k π ,

π
2

+ 2kπ ].

+2kπ ≤2x+

π


π
2

3

+ 2 kπ 得

?

故函数 y=sinz 的单调增区间为 [ ? 点评: 整体思想”解题 “
π

5π π + kπ , + kπ ](k∈Z) 12 12

5π π + kπ ≤x≤ + kπ 12 12

变式训练 1. 求函数 y=sin(-2x+ .
3

)的单调增区间

π

π
,函数 y=sinz 的单调减区间为[

解:令 z=-2x+
3

2
用心 爱心 专心

+2 k π ,

3π + 2 kπ ] 2
3

π

故函数 sin(-2x+
3

)的单调增区间为[ ?

例 2:判断函数 f ( x ) = sin( x +

3 4

3π ) 的奇偶性 2

7π π ? kπ , ? ? kπ ](k∈Z) . 12 12

解析: 判断函数的奇偶性, 首先要看定义域是否关于原点对称, 然后再看 f ( x ) 与 f ( ? x) 的关系,对(1)用诱导公式化简后,更便于判断. 解:∵ f ( x ) = sin( x +

3π 3x ) = ? cos , 2 4 3x 3x ∴ f ( ? x ) = ? cos( ? ) = ? cos 4 4 3 3π 所以函数 f ( x ) = sin( x + ) 为偶函数. 4 2 3 4

点评:判断函数的奇偶性时, 判断“定义域是否关于原点对称”是必须的步骤. 变式训练 2. f ( x) = lg(sin x + 1 + sin 2 x ) . 解:函数的定义域为 R,

f (? x) = lg[sin(? x) + 1 + sin 2 x ] = lg(? sin x + 1 + sin 2 x )
= lg(sin x + 1 + sin 2 x ) ?1 = ? lg(sin x + 1 + sin 2 x ) = ? f ( x) 所以函数 f ( x) = lg(sin x + 1 + sin 2 x )为奇函数.
0 0

例 3. 比较 sin250 、sin260 的大小 . 解析:通过诱导公式把角度化为同一单调区间,利用正弦函数单调性比较大小

π
解:∵y=sinx 在[

2
0 0

+2kπ ,

3π + 2kπ ](k∈Z) ,上是单调减函数, 2
0 0



250 <260 ∴ sin250 >sin260

点评:比较同名的三角函数值的大小,找到单 调区间,运用单调性即可,若比较复杂, 先化间;比较不同名的三角函数值的大小,应先化为同名的三角函数值,再进行比较. 变式训练 3. cos .
15π 14π 、cos 8 9

解:cos

15π 14π > cos 8 9

由学生分析,得到结论,其他学生帮助补充、纠正完成。 反思总结,当堂检测。 五、反思总结,当堂检测。 教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。 课堂小结: 1、数学知识:正、余弦函数的图象性质,并会运用性质解决有关问题 2、数学思想方法:数形结合、整体思想。 达标检测: 一、选择题 1.函数 y =

2 sin 2 x 的奇偶数性为(

).

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4

A.

奇函数

B. 偶函数

C.既奇又偶函数 2.下列函数在 [

D. 非奇非偶函数 )

π
2

, π ] 上是增函数的是(

A. y=sinx

B. y=cosx

C. y=sin2x 3.下列四个函数中,既是 ? 0, A. y = sin x C. y = cos x 二、填空题

D. y=cos2x

? ?

π?

? 上的增函数,又是以 π 为周期的偶函数的是( 2?
B. y = sin 2 x D. y = cos 2 x

).

4.把下列各等式成立的序号写在后面的横线上。 ① cos x =

2

② 2sin x = 3

③ sin x ? 5sin x + 6 = 0
2

④ cos x = 0.5
2

__________________________________________________________ 5.不等式 sin x ≥ ? 三、解答题 6.求出数 y = sin x ?
2 的解集是______________________. 2

?π 1 ? ? x ? , x ∈ [ ?2π , 2π ] 的单调递增区间. ?3 2 ?

参考答案:1、A 5、 [ ?

2、D

3、A 6、 [

4、④

π
4

+ 2k π < x <

5π + 2 kπ ] 5

5π , 2π ] 3

六、发导学案、布置预习。 发导学案、布置预习。 如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x = ? 七、板书设计 正弦函数和余弦函数的性质 一、正弦函数的性质 例1

π
对称,求 a 的值.

8

二、余弦函数的性质 例2 定义域、值域、单调、奇偶、周期对称 例3 八、教学反思 (1)根据学生学习知识的发展过程,在推导性质的过程中让学生自己先独思考,然后小 组交流,再来纠正学生错误结论,充分体现了学生的主体性,让学生活起来。 (2)关注学生的表达,表现,学生的情感需求,课堂明显就活跃,学生的积极性完全被
用心 爱心 专心 5

调动起来, 很多学生想表达自己的想法。 这对这些学生的后续学习的积极性是非常有帮助的。 (3)判断题、例题的选择都是根据我们以往对学生的了解而设置的,帮助学生辨析,缩 短认识这些知识的时间,减少再出现类似错误的人数,在学生学习困惑时给与帮助。

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