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两条直线位置关系


11.3 两条直线位置关系
一、教学内容分析 本小节的内容大致可以分为两部分: 一是两条直线的交点、 位置关系;二是两条直线的夹角.预计需要三课时:第一课时, 两 条直线的交点和位置关系 ; 第二课时 , 两条直线的夹角 ; 第三 课时,两直线的位置关系与夹角公式的应用. 在初中平面几何中研究过两条直线的关系 . 在本小节的教 学中,我们用代数方法,在平面直角坐标系中,研究怎样用直 线的方程来判断两条直线的位置关系,体现了解析几何用方程 研究曲线的基本思想. 本小节的重点是由直线方程求两条直线的交点、两条直线 位置关系的判断,以及根据直线方程求两条直线夹角的方法.在 认识直线与直线方程的对应关系的基础上,抓住“形与数”的 对应,理解求两条直线的交点就是求它们的方程的公共解,将 两条直线位置关系的问题转化为相应的二元一次方程组的解的 个数问题,由此得出两条直线的三种位置关系:相交、平行、 重合,对于相应的二元一次方程组就是:有唯一解、无解、无 数多个解.

然后对两直线相交的情况作定量的研究,规定两条相交直 线所交成的锐角或直角为两条相交直线的夹角,通过分析两条 相交直线的图形的几何性质,联想两条直线的夹角与两条直线 的方向向量的夹角的关系,推导出两条直线的夹角公式. 本小节的难点是启发学生把研究两直线的位置关系问题转 化为考查它们的方程组成的方程组的解的问题,以及两条直线 的夹角公式的推导.突破难点的关键是:建立新旧知识的联系, 寻找新知识的生长点,利用数形结合使学生理解“形与数”之 间的联系,以及利用数量关系处理几何关系的方法. 对直线方程的系数中含有未知数的两直线的位置关系的分 类讨论是本小节的一个重点问题,也是一个难点问题. 二、教学目标设计 理解两条直线的交点就是它们所对应的一次方程组的解, 会求两条相交直线的交点;掌握根据方程组解的情况判断两条 直线平行、相交或重合的方法;理解两条直线的位置关系在它 们的方向向量及其法向量的关系上的反映,理解“形”与“数” 之间的联系.通过对两直线位置关系的讨论,运用已有知识解决 新问题的能力,提高运用数形结合、分类讨论等思想方法的能 力.

三、教学重点及难点 求两条直线的交点,掌握判断两条直线的位置关系的方法;两 条直线的位置关系与相应的方程组的解的个数之间的对应. 四、教学用具准备 多媒体设备 五、教学流程设计
情境引入

两条直线的位置关系 (相交、平行、重合)

两条直 线的交 点坐标

问题引出如何用 直线方程判断两 直线的位置关系

两条直线的位 置关系与方程 组的解的关系

运用与深化(概念辨析、例题解析、巩固练习、问题拓展)

课堂小结并布置作业

六、教学过程设计

一、情境设置,导入新课
用大屏幕打出直角坐标系中的两条直线,移动两条直线,

让学生观察这两条直线的位置关系. 思考并回答下列问题 1、平面上两条直线有几种位置关系?各有什么几何特征? 解答:两条直线有三种位置关系:相交、平行、重合. 从几何特征上看:相交 ? 有唯一的公共点;平行 ? 没有公 共点;重合 ? 至少有两个公共点,进而有无数个公共点. [说明] 通过教具演示,增强直观性,帮助学生迅速准确地发现 两条直线的关系,由此引出新课,为进一步的研究作好铺垫.并 指出,垂直是相交的一种特殊情况. 2、在直角坐标系中,这三种位置关系在直线方程上是怎样 体现的呢? [说明] 通过对已有相关知识的回顾,自然地提出此问题(暂不 要学生回答) ,给出下面的引例,引导学生来到新知识的生成场 景中.让学生带着问题学习,明确了本节课的学习目标,促进学 生学习的主动性.

二、学习新课
关于两直线的交点、位置关系 1、概念引入 引例:解下列方程组:

?2 x ? 6 y ? 3 ? 0 ?2 x ? 6 y ? 0 ?3x ? 4 y ? 2 ? 0 ? ? (1) ? ; (2) ? ; (3) ? 1 1. 1 1 y ? x? y ? x? ?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ? 3 2 3 2 ? ?

然后,请你回答:上述方程组所表示的两条直线的交点个 数?如果两直线相交于一点,这一点与这两条直线的方程有何 关系? 解答:由直线方程的概念,我们知道 方程组(1)有唯一的解 ?
? x ? ?2 ,两条直线有且只有一个 ?y ? 2

公共点为 (?2,2) ; 方程组(2)有无数组解,两条直线有无数个公共点; 方程组(3)无解,两条直线无公共点. [说明] ①启发学生观察,并得出如下结论:方程组(1)~(3) 的解的个数与其表示的两条直线的交点个数是相同的;方程组 (1)的解就是两条直线的交点坐标.并根据上述实例,引导学 生由特殊到一般,从具体到抽象归纳出两条直线的位置关系与 方程组的解的关系.②在探索概念阶段, 让学生经历从直观到 抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程,使得学生对 概念的认识不断深入. 2、概念形成 一般地,设两条直线的方程分别为
l1 : a1 x ? b1 y ? c1 ? 0 ( a1 , b1 不全为零)??①
l 2 : a2 x ? b2 y ? c2 ? 0 ( a 2 , b2 不全为零)??②

两条相交直线的交点坐标 思考并回答:如何求直线 l1 、 l 2 的交点? 解答:由直线与直线方程的对应关系,若两条直线相交, 由于交点同时在两条直线上,则交点的坐标一定是两个方程的

唯一公共解,反之,若两个二元一次方程只有一个公共解,那么 以这个解为坐标的点必是两条直线的交点.由此得出直线 l1 、 l 2 交点的求法: 联立 l1 与 l 2 的方程: ? 即为直线 l1 、 l 2 交点.
? 两条直线的位置关系与方程组的解的个数之间的关系
?a1 x ? b1 y ? c ? 0 ??(Ⅰ),此方程组的解, ?a 2 x ? b2 y ? c ? 0

思考并回答:由方程①②如何判断直线 l1 、l 2 的位置关系? 解答:由引例分析、归纳出:直线 l1 、 l 2 的三种位置关系: 相交、平行、重合,对于直线 l1 、l 2 的方程联立的方程组是:有 唯一解、无解、无数多个解.因此我们可以通过讨论方程组的 解的个数得出直线 l1 、 l 2 的位置关系. 联立 l1 与 l 2 的方程,得方程组: ?
a1 a2 b1 b2 ?a1 x ? b1 y ? c ? 0 ?(Ⅰ),此方 ?a 2 x ? b2 y ? c ? 0

程组的解的个数与直线 l1 、 l 2 交点的个数一致.计算由方程的系 数构成的行列式: D ?
a1 b1

, Dx ?

? c1 ? c2

b1 b2

, Dy ?

a1 a2

? c1 ? c2

.则

Dx ? ?x ? D ? ? 0 时,方程组(Ⅰ)有唯一的解为 ? 当D ? ,此 D a 2 b2 ?y ? y ? D ? ? Dx D y ? 时 l1 、 l 2 相交于一点,交点坐标是 ? ? D , D ? ?. ? ? a b 当 D ? 1 1 ? 0 且 Dx , Dy 中至少有一个不为零时,方程组 a 2 b2

(Ⅰ)无解,此时 l1 、 l 2 没有公共点,即直线 l1 与 l 2 平行.

当 D ? Dx ? Dy ? 0 时, 方程组(Ⅰ)有无穷多个解, 此时 l1 、l 2 有无数多个公共点,即直线 l1 与 l 2 重合. [说明]①这个问题是本节课的中心议题,应引导全班学生积极 思维,让多一点学生发表意见,形成“高潮” ;②指出:在平面

几何中,我们研究两直线的位置关系时,不考虑两条直线重合 的情况,而在解析几何中,由于两个不同的方程可以表示同一 条直线,我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究.
? 回到引例

请学生用上述结论,判断引例中三组直线的位置关系. [说明] ①与引例前后呼应.本环节的设计目的是使学生初步掌 握判断直线位置关系的方法:通过计算由直线方程的系数构成 的行列式 D 、Dx、Dy 的值,判断两直线的平行、重合、相交. ② 通过引例(2) (3)指出,前提条件是直线方程为一般形式. 3、概念的辨析
? 两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系:

l1 与 l 2 相交 ? 方程组(Ⅰ)有唯一解 ? D ? 0 即 a1b2 ? a2 b1 ;

l1 与 l 2 平行 ? 方程组 ( Ⅰ ) 无解 ? D ? 0 且 Dx , Dy 中至少有

一个不为零;
l1 与 l 2 重合 ? 方程组(Ⅰ)有无穷多解 ? D ? Dx ? Dy ? 0 .
? D?
a1 a2 b1 b2 ? 0 时, l1 与 l 2 平行或重合,即 D ? a1 a2 b1 b2 ?0是

l1 与 l 2 平行的必要非充分条件.换言之, a2 b1 ? a1b2

l1 ∥ l 2 ;若

两条直线不重合,则 a1b2 ? a2b1 ? l1 // l 2 . [说明] 引导学生得出:①两条直线的位置关系,可以通过计 算系数构成的行列式得到;②对易出错的概念进行反思. 4、例题分析 例 1 已知直线 l1 :y ? ? x ? 与 l 2 :2x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 , 求实数 a 的 值,使直线 l1 与 l 2 平行.(补充例题) 解:先把直线 l1 的方程化为一般形式 l1 : ax ? 3 y ? 1 ? 0 .
a 3 1 3

? l1 // l 2 ,由 D ? 0 ,∴ a(a ? 1) ? 6 ? 0 ,解得 a ? ?3 或 a ? 2 ,

当 a ? ?3时 两方程化为 ? 3x ? 3 y ? 1 ? 0 与 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 显然平行; 当 a ? 2时,两方程化为 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 与 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 两直线重合. ∴ a ? 2 不符合,∴ a ? ?3 即为所求. [说明]①学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆, 将学生容易忽略的环节,设置在补充的例题练习中,以便达到 强化训练的目的.②强调 D ? 0 是两直线平行的必要条件,求得 的字母取值可能使两直线平行,也可能是重合,注意检验. 例 2 讨论直线下列各组直线之间的位置关系. (课本 p17 例 2) (1) l1 : x ? m 2 y ? 6 ? 0 与 l 2 : (m ? 2) x ? 3my ? 2m ? 0 ;
(2) l1 : y ? 1 ? k1 ( x ? 3) 与 l 2 : y ? 1 ? k 2 ( x ? 3) .

[说明]①及时巩固重点内容, 使学生在课堂上就能掌握.同时强 调规范的书写和表达是否简洁.通过对例题的讲解, 在解题步骤 和方法上为学生起示范作用,并及时归纳总结,培养学生分析、 思考,以及严谨认真的数学学习习惯;②小题(2)是直线方程的 点斜式,需要先化为直线方程的一般形式. 例 3 求经过原点且经过直线 l1 : x ? 2 y ? 2 ? 0 与直线 l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点的直线方程. 解:解方程组: ?
?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?x ? 2 得? ,∴ l1 与 l 2 的交点是 (2,2) , ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 2 设经过原点的直线方程为 y ? kx ,把点 (2,2) 代入,得 k ? 1 ,

所以,所求的直线方程为 y ? x . [说明]例题的设计遵循了从了解到理解,从掌握到应用,由浅 入深,循序渐进的不同层次要求. 3x ? y ? 2 ? 0 , 2x ? y ? 3 ? 0 , mx ? y ? 0 , l2 : 例 4 若三条直线 l1 : l3 : 当 m 为何值时,三条直线不能构成三角形?(补充例题) 解:三条直线不能构成三角形 ? 三条直线交于同一点或其中至 少有两条直线平行. (1)若三条直线交于同一点时, 解方程组 ?
?3x ? y ? 2 ? 0 ? x ? ?1 , 得? ,即 l1 与 l 2 的交点是( ? 1,?1 ) , ?2 x ? y ? 3 ? 0 ? y ? ?1

把点( ? 1,?1 )代入直线 l 3 的方程得 m ? ?1 . (2)若其中至少有两条直线平行时, 由 l1 // l 2 得: m ? ?3 ; 由 l2 // l3 得: m ? 2 , 综上:当 m ? ?1 或 m ? ?3 或 m ? 2 时三条直线不能构成三角形. [说明]①本例为直线位置关系的综合运用,涉及到求直线的交 点及直线的平行或重合时,系数应满足的条件,因此, 需要分类 讨论的思想方法.②解决三条直线交于一点的问题时,一般先求 出其中两条直线的交点,再根据此交点也在第三条直线上, 列式 求解. 5.问题拓展
? 从向量的角度,两条直线的三种位置关系有怎样的体现呢?

l1 与 l 2 的一个方向向量分别是 d1 = (b1 ,?a1 ) , d 2 = (b2 ,?a2 ) ; 一

个法向量分别是 n1 = (a1 , b1 ) , n2 = (a2 , b2 ) .则 l1 与 l 2 有如下关系: 相交 ? d1 不平行 d 2 ? d1 不垂直 n2 ? a2b1 ? a1b2 ? 0 ; 平行 ? d1 平行 d 2 ? d1 垂直 n2 ? a2b1 ? a1b2 ? 0 ; 重合 ? d1 平行 d 2 ? d1 垂直 n2 ? a2b1 ? a1b2 ? 0 .
? 三种位置关系可以用直线的斜率表示吗?

由于不是所有的直线都有斜率,因此需要按“斜率存在、 斜率不存在”分类讨论. 若至少有一条直线的斜率不存在,则设此直线方程为
x ? x1 ,通过图示观察,易知其关系.

若两直线的斜率都存在,直线方程可以化为 l1 : y ? k1 x ? d1 ,
l 2 : y ? k 2 x ? d 2 ,则有

① l1 // l 2 ? k1 ? k 2 且 d1 ? d 2 ; ② l1 和 l 2 重合 ? k1 ? k 2 且 d1 ? d 2 ; ③ l1 和 l 2 相交 ? k1 ? k 2 . [说明] 判断直线位置关系的方法并不唯一,可以从行列式、向 量、斜率三个不同角度考虑,使用时要注意方法上的选择.一般 情况,采用计算行列式的方法比较单纯,这种方法更具一般性, 便于使用,是本节课学习的重点.

三、巩固练习
练习 11.3(1) [说明] 进一步强化判断两条直线位置关系的方法, 反馈学生对 知识的掌握情况,评价学生对学习目标的落实程度.

四、课堂小结
本课我们主要学习了哪些知识?应当注意什么?运用了那 些思想方法? ① 知识点:本节课主要学习了两条直线的位置关系的判定 方法,求两条直线的交点坐标的方法.讨论了已知两直线 的位置关系,求字母系数值的方法. 解决问题时,注意区分两条直线平行与重合满足的条件. ② 数学思想方法:类比、转化、数形结合思想,特殊到一 般的方法. [说明] 引导学生从知识内容和思想方法两个方面进行小结, 使

学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识,反思、巩固所用 到的数学方法,达到巩固知识,明确方法的目的.

五、作业布置
1、书面作业:习题 11.3 ----2,3,4,5,6,7,8,9 2、思考题:设直线的方程为 (2m ? 1)x ? (3m ? 2)y ? 18m ? 5? 0,求证: 不论 m 为何值,所给的直线经过一定点. 解 方法一: 取 m=0,1 得: ?
? x ? 2y ? 5 ? 0 ?x ? 3 ?? ,把交点坐标(3,4) ?3 x ? y ? 13 ? 0 ? y ? 4

代入原方程,可知对于任意 m, 原方程均成立, 即不论 m 为何值,所给的直线经过一定点(3,4). 方法二:对于任意实数 m,关于 x, y 的方程 (2m ? 1) x ? (3m ? 2) y ?18m ? 5 ? 0 的解都相同 ? (2 x ? 3 y ? 18)m ? ( x ? 2 y ? 5) ? 0 对于任意实数 m 恒成立, 得: ?
? x ? 2y ? 5 ? 0 ?x ? 3 , , 解得? ?y ? 4 ?2 x ? 3 y ? 18 ? 0

即不论 m 为何值,所给的直线经过一定点(3,4). [说明]①作业布置 1 是课本习题, 通过它来反馈知识掌握效果, 巩固所学知识,强化基本技能的训练,培养学生良好的学习习 惯和品质;②作业布置 2 设计成思考题,是为了给学有余力的 学生留出自由发展的空间,学生可以根据实际情况选用.


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