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y3.1.3《空间向量的数量积运算》(学案4)



3.1.3.空间向量的数量积(学案 4)
撰稿:谢洪波 修订:高一备课组 学生姓名:__________第_____小组

一、学习目标 心中有数:
1、 2、 掌握空间向量夹角的概念及表示方法; 掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律。

二.自主学习 体验成功:
1、两个向量的夹角: 夹角的形成

:角 ?AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作:< a , b >。
? ?
? ?

a

A
b

a

O
?

b

B
? ?

夹角的范围:
? ? ?

? <a ,b > ?
? ? ? ? ?

?



< a , b >=0 时, a 与 b 的方向 特别地:如果< a , b >= 2、两个向量的数量积

;< a , b >= ? 时, a 与 b 的方向 则称 a 与 b 互相垂直,并记作 。
?

?

?



OA 的长度叫做向量 a的长度或模 , 记作: |a| (1) 设OA ? a, 则有向线段
(2)已知空间两个非零向量 a , b ,则 | a || b | cos? a, b? 叫做 a , b 的数量积 记作 a ? b ,即: a ? b = 。变形式:cos< a , b >=
? ? ? ?

?

?

?

?



特别地:①零向量与任何向量的数量积为 0,即 0 ? a =0 ② a?a = ③a

a a cos? a, a? ? | a |2

?

? b ? a ?b ? 0

3、空间向量数量积的运算律: ① (? a) ? b = ② a ?b ③ (数乘的结合律) (交换律) (分配率)
- 1 -

?

a ? (b ? c) ?

三、合作探究,共同进步
例 1: 如图,已知 PO,PA 分别是平面 ? 的垂线、斜线,AO 是 PA 在平面 ? 内的射影,l ? ? ,且 l ? OA , 求证: l ? PA 。

?P
?A

O

A

?

l

例 2.已知直线 m ,n 是平面

l

内的两条相交直线,如果 L ⊥m,

L ⊥n,求证:

L⊥

?

.

l
? l
?? m

m

n

? n

归纳总结 1 空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质. 2 两向量数量积的应用: ①利用| a |2
? ? ?

a (也就是| a |= a? a ) =a · ,求解有关线段的长度问题.
? ?
? ?

?

?

?

? ?

②利用 a ⊥ b ? a ? b =0 判断两直线的垂直问题( a , b 为非零向量). ③利用 cos< a , b >=
? ?

a? b

| a || b |
- 2 -

?

?

,求解有关两直线的夹角问题.

四、理论迁移,过手训练。
1、已知| a |=2,| b |=3,< a , b >=60o,则 a ? b =
? ?

| a -2 b |=

?

?



2、已知| a |= 2 2 ,| b |=

2 2

, a ? b =- 2 ,则 a , b 所夹的角为



3、如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB= 2 BB1,则 AB1 与 C1B 所成角的大小为多少度?

A1 B1

C1

1
A B C

4.如图所示,已知正四面体 O-ABC 的棱长为 a,用向量法证明 AB ? OC。?.

- 3 -

5.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,

D1 A1 D A B B1 C

C1

AB=4,AD=3,AA1=5, ? BAD =90o,

?BAA 1 = ?DAA 1 =60 ,求 AC
o

1

的长。

6、线段 AB,BD 在平面 ? 内,BD ? AB,线段 AC ? ? ,且 AB=a,BD=b,AC=c,求 C,D 间的距离。

C

c

D b a B

?

A

- 4 -

设 v_1={A,B} (表示从 A 到 B 的向量,下同) v_2={C,D}, v_3={A,C} 于是{D,B}=v_1-v_2-v_3. 由题意, <v_3,v_2>=0, <v_1-v_2-v_3,v_2>=0 and <v_1,v_1>=4, <v_2,v_2>=1. (这里<,>表示两个向量内积) So <v_1-v_2-v_3,v_2>=0 => <v_1,v_2>=<v_2,v_2>+<v_3,v_2> =1+0=1. 所以 v_1 和 v_2 的夹角余弦为 cosA= <v_1,v_2>/(<v_1,v_1><v_2,v_2>)^0.5 =1/(4*1)^0.5=1/2 故 A=60 度

- 5 -



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