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等差数列和等比数列的性质


主 导:王 xxxxxx

主演 :0622班学生

3、1 数列的概念

1、数列的定义:
按一定顺序排列的一列数叫数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。

根据数列的定义知:数列是按一定顺序排列 的一列数. 因此,若两个数列中被排列的数相同, 不是同一数列。 但次序不同,则
如: 数列: 4, 5, 6, 7。改为 数列: 7, 6, 5, 4。它们不是同一数列。 又如:数列: -1,1,-1,1,· · · 。改为 数列: 1,-1,1,-1,· · · 。则它们也 不是同一数列。

2、数列的分类:
一个数列,它的项数可以是有限的 也可以是无限的,根据数列的项数是 有限还是无限,数列可分为 有穷数列 和 无穷数列 。 按照数列的增减性可以分为
递增数列 递减数列 常数列 摆动数列

3、数列的通项公式
如 果 数 列 ?an ?的 第 n 项 an 与n之 间 的 函 数 关 系 可 以 用 一 个 公 式 来 表 示 ,这 个 公式就叫做这个数列的通 项 公 式。 记为:an=f(n)

an

4、 数 列 : 4,5,6,7, 8,9,10… 用图象表示:

10 9 8 7 6 5 4

哇!图象也 可以是一些 点呀!

3 2 1

O

1

2

3

4

5

6

7

n

an
1

1 数列﹛﹜ n
1 2

用图象表 示

1 4 1 8

O

1

2

3

4

5

6

7

n

3、2 等 差 数 列

1、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与 它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差.

2、等差数列通项公式:an= a1+(n-1)d. 或an= am+(n-m)d. 3、等差数列前n项和公式:Sn= 或Sn
(a1+an) n
2 d

n (n-1) = na1+ 2

4、几何意义:等差数列各项对应的点( n、an )都 在一次函 数图象上

3、3 等 比 数 列

定义— 如果一个数列从第2项起,每一项与
它前一项的比等于同一个常数.
n ?1 ? am q 或 a — a = a q n 通项 1 n

前n项和 —Sn=

a1(1- q n ) 1-q

? n ( q ? 1 ) sn a1
几何意义 — 等比数列各项对应的点都在类指数函数
图象上

.

n?m

?a q a 或 Sn= (q ? 1)
1 n

1? q

巩固练习:判定下列数列是否是
等差数列?如果是请指出公差。

(1). 1,0,1,0,1,0,…;
不是 (2). 0,0,0,0,0,0,…; 是 d=0 (3). a, a, a, a, …; d=0 是

思考: 问题1: G ? a ? b 是a,G,b成等比数列的 充要条件吗?
2

G b ? 问题2: a G 是a,G,b成等比数列的
充要条件吗?

由等差的性质 类比 出等比数列的性质
1、数列的单调性: (等差数列)(1)当d>0时,为递增数列; (2)当d<0时,为递减数列; (3) 当d=0时,为常数列。 (等比数列)(1) 当0<q<1, a1 <0或q>1,a1 >0时, 为单调增数列。 (2)当q>1, a1 <0或0<q<1, a1 >0时, 为单调减数列 。 (3) 当 q=1时,为常数列; (4) 当q<0时,为摆动数列。

由等差的性质
2、数列的通项性质: (等差数列){an}中,若m+n=p+q,则 (等比数列) {an}中,若m+n=p+q,则

类比

出等比数列的性质
am+an=ap+aq
am an=apaq .

问题:在等差数列{an}中

(1)a1+a2=a3 ? (2)、an-1+an+1=2an ?
am ? an d ? (3)、 m ? n

由等差的性质

类比

出等比数列的性质
(4)、项数成等差数列的项也构成等差数列。 (5) 两个等差数列的和、差还是等差数列 即{an},{bn}是等差数列,{p an±c bn} 也是等差数列(p,c为常数)。 记住:等差数列进行加法运算后仍是等差数列 3、前n项和性质 : 等差数列的前m项和,后m项和,再m项和…… 也构成等差数列。

数列性质习题精练
1、在 等 比 数 列 {an} 中,若 a3a4a5a6a7 = 32, 则 a 2a 8 = 2、在 等 差 数 列 {an} 中,若a5=a,a10=b,求a15 3、设{an}是公比为q的等比数列, 和若 {
n

s

n 是它的前项

s } 是等差数列, 求 公 比 q

小结:
本节课复习的主要内容有: 1、数列的有关概念; 2、等差和等比数列的性质; 3、数列概念和性质应用。

作业:
(1)处理 《优化方案》习题;

(2)预习 :三角函数。

本节课到此结束

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