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第七讲 导数的概念及其运算


专题一第七讲

第七讲 导数的概念及其运算
知识回顾 一、导数的概念 设函数 y ? f ( x) ,在 x ? x0 及附近有定义,当自变量在 x ? x0 处有增量 ?x 时,则函数 y ? f ( x) 相应地有增量
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 趋近于一个常数,我们就把 ? ?x ?x 这个常数叫做函数函数 y ? f ( x) 在点 x ? x0 处的瞬时变化率。函数在 x 0 的瞬时变化率通常称为函数 f ( x) 在 x ? x0
?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,如果当 ?x ? 0 时,函数的平均变化率

处的导数,记作 f ' ( x0 ) 或 y '

x ? x0

,即: f ( x ) ? lim
' 0 ?x ? 0

?y ?x

? lim
?x ? 0

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?x

,如果函数 y ? f ( x ) 在(a,b)内的每点

处都有导数,此时对于每一个 x ? (a, b) ,都对应着一个确定的导数 f '( x) ,从而构成了一个新的函数 f '( x) 。称这 个函数 f '( x) 为函数 y ? f ( x ) 在开区间内的导函数,简称导数。 结论: “如果函数 f ( x ) 在点 x 处可导,那么函数 y ? f ( x ) 在点 x 处连续。 ”反之,则不成立。
0 0

推论:如果函数 f ( x ) 在 (a, b) 内可导,那么 f ( x ) 在 (a, b) 内连续,反之,如果 f ( x ) 在 (a, b) 内连续,但 f ( x ) 在 (a, b) 内 不一定可导。 二、基本初等函数的导数公式 1、 若 f ( x) ? c , 则 f ' ( x) ? _________; 2、 若
() o s c ? x 3、 若 fx
f ( x) ? x
n

, 则 f ' ( x) ? __________; 3、 若
x

fx () n i s ? x

, 则 f ' ( x) ? ___________;

, 则 f ' ( x) ? _________; 5、 若

f ( x) ? a

, 则 f ' ( x) ? __________; 6、 若 f ( x) ? e x , 则 f ' ( x) ? _________;

7、若 f ( x) ? log x ,则 f ' ( x) ? _________;8、若 f ( x) ? ln x ,则 f ' ( x) ? __________; a 三、两个函数的四则运算的导数 1、 (u ? v) ' ? u '? v ' 四、复合函数的导数
y 'x ? y 'u ? u 'x

2、 (uv) ' ? u ' v ? uv '

u u ' v ? uv ' 3、 ( ) ' ? (v ? 0) v v2

五、导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在点 x 处的导数的几何意义,就是曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率。也就是说,曲线
0

y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率是 f ' ( x0 ) ,相应地,切线方程为 y ? y0 ? f ' ( x0 )( x ? x0 ) 。

典型例题 例题 1、 (1)曲线 y ? 4 x ? x3 在点 (?1, ?3) 处的切线方程是 A、 y ? 7 x ? 4 B、 y ? 7 x ? 2 C、 y ? x ? 4 D、 y ? x ? 2 ( D、 x ? y ? 1 ? 0 ( ) ) ( )

(2)过点 ( ?1, 0) 作抛物线 y ? x2 ? x ? 1 的切线,则其中一条切线为 A、 2 x ? y ? 2 ? 0 B、 3 x ? y ? 3 ? 0 C、 x ? y ? 1 ? 0

仿 1、 (1)在函数 y ? x3 ? 8x 的图像上,其切线的倾斜角小于 A、3 B、2 C、1

? 的点中,坐标为整数的点的个数是 4 D、0

(2)已知曲线 y ? f ( x) 在 x ? ?2 处的切线的倾斜角为

3? ,则 f '(?2) ? ___________, [ f (?2)]' ? ___________。 4
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高考复习资料
1 例题 2、已知点 M ( x0 , f ( x0 )) 是函数 f ( x) ? , x ? (0, ??) 图像 C 上的一点,记曲线 C 在点 M 处的切线为 l 。 x

(1)求切线 l 的方程;

(2)设 l 与 x 轴,y 轴的交点分别为 A、B,求△AOB 周长的最小值。

巩固训练题
一、选择题 1、下列函数中,在 x ? 0 处的导数不等于零的是 A、 y ? x(1 ? x) B、 y ? x ? e ? x
x ?1

( C、 y ? ln(1 ? x2 ) D、 y ? x 2 ? e x ( C、11 D、 18 x 2 ? 8 x ? 9 ( C、
1 2

)

2、已知函数 y ? (2 x 2 ? 3)(3x ? 2), 则 y ' A、19 B、5

?

)

3、函数 y ? ax 2 ? 1 的图像与直线 y ? x 相切,则 a= A、
1 8

)

B、

1 4

D、1 (
8

4、若函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c 的图像的顶点在第四象限,则函数 f '( x) 的图像是
8
8 8

)

6

6

6

6

4

4

4

4

2

2

2

2

-10

-5

5

10

-10

-5

5

10

-10

-5

5

10

-10

-5

5

10

-2

-2

-2

-2

-4

-4

-4

-4

-6

-6

-6

-6

-8

-8

-8

-8

A

B
h?0

5、已知函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内可导,且 x0 ? (a, b) ,则 lim A、 f '( x0 ) B、 2 f '( x0 )

C f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? h D、0

D ( )

C、 ?2 f '( x0 )
35

专题一第七讲 二、填空题 7、与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 平行且与曲线 y ? 5 x 相切的直线方程是_____________________________________。
1 8、设函数 f ( x) ? ln(2 ? 3x)5 ,则 f '( ) =___________________________________________________________。 3

9、设 f ( x) 是可导函数,且 lim
?x ?0

f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? 2 ,则 f '( x0 ) ? ___________________________________。 ?x

10、过原点作曲线 y ? e x 的切线,则切点的坐标为_________________,切线的斜率为___________________。 三、解答题 11、求函数 y ? x 4 ? x ? 2 图像上的点到直线 y ? x ? 4 的距离的最小值及相应点的坐标。

12、已知函数 f ( x) ? log a x 和 g ( x) ? 2log a (2 x ? t ? 2) 的图像在 x ? 2 处的切线互相平行,其中 a ? 0, a ? 1, t ? R 。 (1)求 t 的值; (2)设 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ,当 x ? [1, 4] 时, F ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围。

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