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浙江省效实中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学[来源:学优高考网546816]



二○一四学年度 宁波效实中学 第 一 学 期高一期中数学试卷
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 100 分. 第Ⅰ卷(选择题 共 30 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的.

1.若集合 A ? x ?2x ? 1??x ? 3? ? 0

, B ? x ? N * x ? 5 ,则 A I B ?

?

?

?

?

A . ?1,2?
1 1 ? a b

1,2,3? B .?

C . ?4,5?
2ab ? ab a?b

1,2,3,4,5? D .?

2.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式不 成立的是 .

A.

B. a ? b

C.

D . a 3 ? b3

? 2x , x ? 0 3.已知函数 f ( x) ? ? ,若 f (a ) ? f (1) ? 0 ,则实数 a 的值等于 ?x ? 1, x ? 0

A . ?1
1 2

B.?3
1

C .1

D .3

2 1 1 4.设 a ? ( ) 3 , b ? ( ) 3 , c ? ( ) 3 , 则 a, b, c 的大小关系是 3 3 3

D .b ? c ? a C .c ? a ? b f (2x) 5.若函数 y ? f ( x) 的定义域是 ?0, 2 ? ,则函数 g ( x) ? 的定义域是 x ?1
A . ?0,4 ? B . ?0,1?

A.a ? c ? b

B.a ? b ? c

?1, 4?

C . ?0,1?

D . ?0,1?

6.若将函数 y ? f ( x) 的图象先向左平移 2 个单位,再向下平移 2 个单位,得到的图象
x 恰好与 y ? 2 的图象重合,则 y ? f ( x) 的解析式是

A . f ( x) ? 2 x?2 ? 2

B . f ( x) ? 2 x?2 ? 2

C . f ( x) ? 2 x ? 2 ? 2
x

D . f ( x) ? 2x?2 ? 2

7.下列函数中,与 y ? ?3 的奇偶性相同,且在 ?? ?,0? 上单调性也相同的是

A. y ? ?

1 x

B.y ? x ?

1 x

C . y ? ??2 x ? 2? x ?

D . y ? x3 ? 1

8.已知函数 f ( x) 是 R 上的增函数,A(0,?1) ,B (3,1) 是其图象上的两点, 那么 f ( x ? 1) ? 1的 解集是

A . ?1,4?

B . ?? 1,2?

C . ?? ?,1? ? ?4,???

D . ?? ?,?1? ? ?2,???

9. 定义在 R 上的运算: x * y ? x(1 ? y ) ,若不等式 ( x ? a) * ( x ? a) ? 1 对一切实数 x 恒成立, 则实数 a 的取值范围是

A . ?1 ? a ? 1

B .0 ? a ? 2

C .? ? a ?

1 2

3 2

D.? ? a ?

3 2

1 2

1 2 10. 已知 f ? x ? 为偶函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? ? ? x ? 1? ? 1 ,则满足 f ? ? f ? a ?? ? ? 2 的实数 a
的个数为 A .2

B .4

C .6

D .8

第Ⅱ卷(非选择题 共 70 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分. 11.已知集合 A

?3,4,5? ,且 A 中至少含有一个奇数,则这样的集合有
▲ .



个.

12.函数 y ? x ? 2 1 ? x 的值域是

x 13.已知 f ( x) 是定义域为 R 的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? x ? 1,则 x ? 0 时, f ( x) 的

解析式为



.
2

14.函数 f ( x) 满足: f (2x ?1) ? 2x

?1

,则 f ( x) 的单调递增区间为



.

15.已知定义域为 R 的函数 f ? x ? ? x ? ax ? b? a, b ? R? 的值域为 ?0, ?? ? ,若关于 x 的不等
2

式 f ? x ? ? c 的解集为 ?1,7 ? ,则实数 c 的值为



.

2 16.已知函数 f ? x ? ? 2 ? x ,若当 0 ? a ? b 时,有 f ?a ? ? f ?b? ,则 ab 的取值范围是



.

17.函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在闭区间 ? a, b? ? D ,使得函数满足: (1) f ( x) 在 ?a, b? 内是单调函数; (2) f ( x) 在 ?a, b? 上的值域为 ?2a,2b? ,则称区间 ?a, b? 为

y ? f ( x) 的“和谐区间” ,下列函数中存在“和谐区间”的是
①f ( x) ? x ( x ? 0)
2



.

②f ( x) ? 2x ④f ( x ) ?

2

?1

? 2x ?1( x ? 0)

③f ( x ) ? x ?

1 ?x ? 0? x

4x ?x ? 0? x ?1
2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 49 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

18. 已知 a ?

2 , b ? 2 2 ,求值:

a? b (1) ?a ? b? ? a? b

?a ? b?

2

(2)

a 3b 2 3 ab 2
1 ? 1 ? 4 2 a b ? ? ? ? 4 3

b a

2 19. 已知全集 U ? R , A ? x x ? 2a ? 3 , B ? x x ? (2 ? a ) x ? 2a ? 0

?

?

?

?

(1)若 a ? 1 ,求 A I B ; (2)若 A U B ? B ,求实数 a 的取值范围.

20. 已知函数 f ? x ? ?

x?a ? a ? 0? ax

(1)判断并证明 y ? f ? x ? 在 x ? ? 0, ?? ? 上的单调性; (2)若存在 x0 ,使 f ? x0 ? ? x0 ,则称 x0 为函数 f ? x ? 的不动点,现已知该函数在 ? 0, ?? ? 上 有两个不等的不动点,求 a 的取值范围; (3)若 y ?

1 f ? x ? 的值域为 ? y y ? 9或y ? 1? ,求实数 a 的值. x ?1
1 2 1 f ? x? ? 2 f ? x? ?

? f ? x?, ? ? ?1? 21. 已知 f ? x ? ? ? ? ,定义函数: g ? x ? ? ? ?2? ?1 , ? ?2
x

(1)画出函数 g ( x) 的图象并写出其单调区间; (2)设 t ? R ,若关于 t 的方程 g ? t ? ? ?a ? 4a ? 3 有解,求实数 a 的取值范围;
2

(3)若 m ? R ,且 f ? mx ? 1? ? ? ? 对 x ? ? 2,3? 恒成立,求 m 的取值范围.

?1? ?2?

x

2 22. 设函数 f ? x ? ? ax ? x ,其中 a ? 0 ,集合 I ? x f ? x ? ? a x ? 0
2 2

?

?

(1)求 y ? f ? x ? 在 x ??1, 2? 上的最大值;

? 2 ? 给定常数 ..k ? ? 0,1? ,当 1 ? k ? a ? 1 ? k 时,求 I 长度的最小值(注:区间 ?? , ? ? 的长度
定义为 ? ? ? ).

命题、校对:邬春永、胡群、 闵克文、周霞、贾娟

二○一四学年度 宁波效实中学 第 一 学 期高一期中数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 11、5 15、9

A

C

B 13、

A

C

D

C

B 14、 ?? 1,???

C

D

12、 ? ??,1? 16、

?x f ( x)? ? 2 ? x ?1

0 ? ab ? 2

17、 ① ④

18、 (1)原式 ? 2 ab ? 4 ; (2)原式 ?

a 1 ? b 2

19、 (1) A

B ? ?1,5? ;

(2) a ? 3 或 a ? ?3

20、 (1) f ( x) 在 ?0,??? 单调递增,证明略 (2) 0 ? a ? (3) a ?

1 2

1 3

21、(1)图象略,增区间 ?? ?,?1? ,减区间 ?1,??? ;

(2)

4? 2 4? 2 ? b ? 3 或1 ? b ? 2 2
1 4 ?m? 2 3

(3) ?

22、(1) f ( x) max

a?2 ? a ? 1, ? 2 ?a ?? , 2 ? a ? 4, 4 ? a ? 4. ? ? 2a ? 4,

(2) I ? ? 0,

a ? ? 2 ? ? 1? a ?

l (a) ?

a 1 在 ?1 ? k ,1? 上单调递增, ?1,1 ? k ?上单调递减 ? 2 1 1? a a? a

l (a) min ? min?l (1 ? k ),l (1 ? k )?

l (1 ? k ) ? l (1 ? k ) ?
?l (1 ? k ) ? l (1 ? k )

1? k 1? k ? 2k 3 ? ? ?0 1 ? (1 ? k ) 2 1 ? (1 ? k ) 2 1 ? (1 ? k ) 2 1 ? (1 ? k ) 2

?

??

?

? l ?a ?min ? l (1 ? k ) ?

1? k 2 ? 2k ? k 2



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