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小Re流体绕水平界面上圆球流动的平衡现象及理论分析



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小 Re 流体绕水平界面上圆球流动的平衡现象及理论 分析
李小明,齐荣怀,吕利宏
西安建筑科技大学冶金工程学院,(710055)
E-mail: xmli88@126.com

摘 要:发现悬浮于流体中的圆球绕流流动存在平衡现象,并通过不同流速的流体绕水平镜 面上圆球流动实验进行了验证。 运用近似假设和叠加思想对该现象进行了理论分析, 并推导 出了在斯托克司流区和艾伦流区内圆球绕流保持平衡的近似方程。 关键词:圆球绕流;粘性;平衡

1. 现象的发现及实验验证
圆球绕流是流体力学的重要研究内容。 作者在研究圆球绕流时发现一种现象, 即悬浮于 液体表面的圆球,当受到另一股在重力作用下自然向下流动的液体的作用时,圆球在这股流 体的中心位置来回摆动并保持动态平衡。 如果调节流体流入速度从小到大变化, 圆球由液体 表面逐渐沉入到液体中时, 但始终保持这种平衡, 只有当流速大到一定值, 即超过极限值时, 圆球才被“冲”出去,此时圆球失去平衡。 通过对水平平板界面上的圆球绕流现象进行实验观察,发现也存在这种平衡现象。图 1 为平板界面上圆球绕流实验装置示意图。 实验所用流体为水。 塑料软管一端放于高位水箱中 用于产生差压, 以使水能靠虹吸作用由另一端流出用于实验。 通过调节塑料软管的低端高度 可以方便的调节来流的流速,并保证来流的方向始终竖直向下。塑料软管的直径为 15.5mm。 实验用的圆球是硬质塑料空心圆球,直径为 40mm。平板界面是光滑的镜面,并保持水平放 置。摄像机 1 和摄像机 2 水平放 置,并保持在同一平面(通过圆球 中心的平面)呈 900 放置,用于连 续记录圆球水平位置两个方向的 位移数据,并通过数据线与计算 机连接,以进行图像处理。实验 时,先调节来流水的速度使其较 小并直接冲击平板表面,然后把 圆球放在水平平板表面上并缓慢 向来流中心移动,当圆球接触水 流并进一步向来流中心移动时, 圆球就会被“吸”进去,然后在 图1 圆球绕平板界面流动实验装置示意图
-1-

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流体下方来回摆动并旋转。调节来流速度从小到大,圆球总保持这样的动态平衡。只有当来 流水的速度超过某一极限值时,圆球才会失去平衡,被“冲”出去。图 2 为小流速(雷诺数 Re 小)圆球绕流时的实验现象,相邻图像的间隔是 0.5 秒。图中 a~f 是圆球动态平衡的一 个完整过程,开始时,圆球处于中心位置,后来圆球右偏到极限后又返回到中心位置,接下 来,圆球左偏到极限后也回到中心位置。
(a) (b) (c) (a)

水流 圆球 镜面

(d)

(a)起始状态

(e)

(b)圆球右偏

(f)

(c)圆球返回

(d)返回到中心

图2 光滑水平镜面上圆球绕流的实验现象

( )圆球左偏

( )返回到中心

(a)起始状态;(b)圆球右偏;(c)圆球返回;(d)返回到中心;(e)圆球左偏;(f)返回到中心

2. 理论分析
2.1 近似假设
由于流体力学中, 对于大Re的流体圆球绕流尚不能进行数值分析, 因此我们仅对小雷诺 数(Re<100)的平衡现象进行了理论推导。实验中由于来流流速很小,所以假设液体为不可 压缩有粘性,圆球绕流时的涡旋现象忽略不计 。这样把圆球绕流分为两个区,即斯托克司 流区(Re<0.2)和艾伦流区(0.2<Re<100)。 对于初速度相等的流体,如果把圆球绕流时的流速沿竖直方向分成无限小,即用 du 表 示,那么,重力作用下绕圆球流动的速度 du1 大于对应同一位置的理想状态下圆球绕流速度
[1]

du2 , 但由于流体流速小, 圆球半径小,
重力作用下绕圆球流动的速度较理想 状态下绕圆球流动的速度变化很小, 因 此, 重力作用下对圆球的压力可以近似 由理想状态下圆球绕流求得。 并且由于 流体绕流速度小, 圆球粘性阻力近似等 于摩擦阻力。

2.2 平衡方程
由以上假设,重力作用下对圆球的 图3 平板界面上圆球绕流平衡时的受力分析图
-2-

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压力近似由理想状态下圆球绕流求得, 圆球粘性阻力近似等于摩擦阻力, 运用重力作用下绕 流对圆球的总作用力可以由二者叠加求出,进而求得以上两个流区绕流的平衡方程。 (1)斯托克司流区 在水平板上,圆球的受力为重力、粘性阻力、流体的作用力和平板对圆球的支撑力,受 力如图3所示。 按照叠加思想,即有

D+ P+G = N (1) 式中 G 为圆球所受重力, D 为粘性阻力, P 为流体对圆球的作用力, N 为平板对圆球
的支撑力。 其中重力 G 可以表示为:

4 G = π R3 ρ p g 3 式中: ρ p 为圆球材料的密度, g 为重力加速度, R 为圆球的半径。
写成

(2)

对于圆球绕流的粘性阻力 D ,当雷诺数Re很小时,恒定流动的纳维尔-斯托克司方程可

1 ? u ??u = ?( ) gradp + ( )? 2u

ρ

ρ

(3)

若不计惯性影响,即 u ??u = 0 ,则上面的方程可简化为

gradp = ?? 2u
分量均为零的边界条件得到粘性阻力的解
[1]

(4)

斯托克司将以上表达式与极坐标表示的连续性方程联立, 并应用圆球表面处所有的速度 为
(5)

D = 6π? Ru0
式中 u0 为流体在圆球表面处的来流速度, ? 是流体的动力粘度。 由于不记惯性影响,故由均匀流和空间偶极叠加的速度势 为
[1]

? = u0 r cos θ ?1 +
?
所以流场的速度分布为

?

R3 ? ? 2r 3 ?

(6)

? R3 ? ?? = u0 cos θ ?1 ? 3 ? ur = ?r r ? ?
uθ = ? 1 ?? R3 ? = ?u0 sin θ ?1 + 3 ? r ?θ ? 2r ?

(7)

(8)

因而在圆球表面上( r = R )流体速度为

ur = 0
-3-

(9)

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3 vθ = ? v0 sin θ 2
求出速度场后,由定常运动的伯努利方程可得球面上的压力分布为

(10)

p = p0 +
因此流体对圆球的作用力为

ρ u0 2 ?

9 2 ? ?1 ? sin θ ? 2 ? 4 ?

(11)

P = ? ∫∫ p ? nds
s

= ? ∫∫ p (sin θ cos ? i + sin θ sin? j + cos θ k ) R 2 sin θ dθ d?
s

π 2π 9 2 2 2 = ρ u0 R ∫ ∫ (sin θ cos ? i + sin θ? j + cos θ k ) sin 3 θ dθ d? 0 0 8 9 ρ u0 2 R 2 = 32

(12)

将式(2)、式(5)和式(12)代入式(1)即得

9 ρ u0 2 R 2 4 6π? Ru0 + + π R3 ρ p g = N 32 3
此式即为斯托克司流区圆球的平衡方程。 (2)艾伦流区(0.2<Re<100) 在艾伦流区,由经验公式 可得流体的阻力系数为:
[2]

(13)

24 ? 3 ? CD = ?1 + Re ? Re ? 16 ?
而流体的粘性阻力 可以表示为
[3]

1/ 2

(14)

1 D = C D ρ l u0 2 A 2
因此,将式(14)代入式(15),则得流体对圆球的粘性阻力为

(15)

D=
=

1 24 ? 3 ? ρl u0 2 A × ?1 + Re ? 2 Re ? 16 ?
1/ 2

1/ 2

12 ρl u0 2 A ? 3 ? ?1 + Re ? Re ? 16 ?

(16)

式中 ρl 是流体密度, A 为特征面积,通常取物体的迎流面积。 将式(5)、式(12)和式(16)代入式(1)即得

-4-

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12 ρl u0 2 A ? 3 ? ?1 + Re ? Re ? 16 ?

1/ 2

+

9 ρ u0 2 R 2 4 + π R3 ρ p g = N 32 3

(17)

3. 结论
通过不同流速的流体绕水平镜面上圆球流动的实验,对悬浮于流体中圆球流动的平衡现 象进行了验证。 并通过对小雷诺数Re流体绕水平镜面上圆球流动的分析, 结果表明流体绕流 速度很小时,圆球能保持平衡状态,通过近似假设,定性理论计算出在斯托克司流区和艾伦 流区圆球保持平衡的近似方程。

参考文献
[1] [2] [3] 张兆顺,崔桂香.流体力学.北京:清华大学出版社,1992.2 [英]J.F.Douglas,J.M.Gasiorek,J.A.Swaffiel著.汤全明译.流体力学.北京:高等教育出版社,1992.5. 张亮,李云波.流体力学.哈尔滨:哈尔滨工程大学出版社,2001.6

Balance phenomenon and analysis for uniform flow around sphere at small Reynolds numbers
LI Xiaoming, QI Ronghuai, LV Lihong
Xi’an University of Architecture & Technology, xi’an 710055 ,China Abstract
Balance phenomenon for uniform flow around sphere at small Reynolds numbers is found and verified by test with different flow rate around a sphere on horizon plane. Approximation hypothesis and superposition principle is used for theoretical analysis. Then the balance equation for flow around the sphere on Stokes’ region and Allen’s region is deduced. Keywords: flow around the sphere, viscosity, balance

作者简介:李小明,男,博士,主要从事热能动力工程及冶金工程技术的教学和科研工作。

-5-



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