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必修4教案2.1 平面向量的实际背景及基本概念



§2.1
教学目标:

平面向量的实际背景及基本概念

1. 了解向量的实际背景, 理解平面向量的概念和向量的几何表示; 掌握向量的模、 零向量、 单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共 线向量. 2. 通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量. 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学 法:本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物 理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教 具:多媒体或实物投影仪,尺规

授课类型:新授课 教学思路: 一、情景设置: 如图,老鼠由 A 向西北逃窜,猫在 B 处向东追去,设问:猫能否 追到老鼠?(画图) 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了. 分析: 老鼠逃窜的路线 AC、 猫追逐的路线 BD 实际上都是有方向、 有长短的量. 引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向? 二、新课学习: (一)向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量 (二)请同学阅读课本后回答: (可制作成幻灯片) 1、数量与向量有何区别? 2、如何表示向量? 3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么? 4、长度为零的向量叫什么向量?长度为 1 的向量叫什么向量? 5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? 6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系? 7、 如果把一组平行向量的起点全部移到一点 O, 这是它们是不是平行向量?这时各向 量的终点之间有什么关系? (三)探究学习 1、数量与向量的区别: 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;

C A B D

向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示; ②用字母a、b (黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段的起点与终点字母: AB ; ④向量 AB 的大小――长度称为向量的模,记作| AB |. 3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别: (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量 就是相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是 不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念: ①长度为 0 的向量叫零向量,记作 0. 0 的方向是任意的. 注意 0 与 0 的含义与书写区别. ②长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定 0 与任一向量平行. 说明: (1)综合①、②才是平行向量的完整定义; (2)向量a、b、c平行,记作a∥ b∥c. 6、相等向量定义: 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明: (1)向量a与b相等,记作a=b; (2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有 .. 向线段的起点无关. ........ 7、共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量, 这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上 ...... (与有向线段的 起点无关). ..... 说明: (1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系; (2)共线向量 可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. (四)理解和巩固: a
A(起点) B (终点)

例 1 书本 86 页例 1. 例 2 判断: (1)平行向量是否一定方向相同?(不一定) (2)不相等的向量是否一定不平行?(不一定) (3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量) (4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量) (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?(平行向量) (6)两个非零向量相等的当且仅当什么?(长度相等且方向相同) (7)共线向量一定在同一直线上吗?(不一定) 例 3 下列命题正确的是( )?

A.a与b共线,b与c共线,则a与 c 也共线? B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形 的四顶点? C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量? D.有相同起点的两个非零向量不平行 解:由于零向量与任一向量都共线,所以 A 不正确;由于数学中研究的向量是自由向量, 所以两个相等的非零向量可以在同一直线上, 而此时就构不成四边形, 根本不可能是一个平 行四边形的四个顶点,所以 B 不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否 相同无关,所以D不正确;对于 C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考 虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都 共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选 C. 例 4 如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,分别写出图中与向量 OA 、OB 、OC 相 等的向量. 变式一:与向量长度相等的向量有多少个?(11 个) 变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在) 变式三:与向量共线的向量有哪些?( CB, DO, FE ) 课堂练习: 1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.? ①向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上;? ②单位向量都相等;? ③任一向量与它的相反向量不相等;? ④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB = DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为 0;?

⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同. 解:①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量

AB 、 AC 在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为 1,但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥ 不正确.如图 AC 与 BC 共线,虽起点不同,但其终点却相 2.书本 88 页练习 三、小结 : 1、 描述向量的两个指标:模和方向. 2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 3、 向量的图示,要标上箭头和始点、终点. 四、课后作业: 书本 88 页习题 2.1 第 3、5 题 同.



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