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黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2016届高三12月月考数学(文)试题


高三上学期 12 月份月考数学试卷(文) 考试时间:120 分钟 第Ⅰ卷(选择题 满分:150 分 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.已知集合 A= x 2 ? 3x ? 2 x ? 0 ,B= x y ? ln( x ? 1) ,则 A ? B=(
2 2

?

?

?

?



A. (?2, ?1) 2.不等式组 ?

B. (??, ?2) ? (1, ??)

C. ( ?1, )

1 2

D. (?2, ?1) ? (1, ??)

?x ? 3y ? 6 ? 0 表示的平面区域是( ?x ? y ? 2 ? 0

)

3.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an (n ? 2, n ? N ? ) ,则数列 ?an ? 的前 6 项和为( A.63 4.若 cos ? ? ? A. ? B.127 C.



63 32

D.

127 64
)

4 ? , ? 是第三象限的角,则 sin(? ? ) ? ( 5 4
B.

2 10

2 10

C. ?

7 2 10

D.

7 2 10


5.已知 ? , ? 是两个不同的平面, m, n 是两条不同的直线,则下列命题不正确的是( A.若 m // n , m ? ? ,则 n ? ? C.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? B.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? D.若 m // ? , ? ? ? ? n ,则 m // n

2 2 2 6.已知正项数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , 2an ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2) ,则 a6 等于(



A. 2 2

B.4

C.8

D.16

7.已知两定点 A(0, ?2) ,B(0, 2) , 点 P 在椭圆 为( ) A.-12 B.12

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? x2 y 2 ? ? 1 上, 且满足 | AP | ? | BP | =2, 则 AP ?BP 12 16
D.9

C.一 9

8.一个四棱锥的底面为正方形, 其三视图如图所示, 则这个四棱锥的侧面 积是( A. 2 C. 3 2 ? 22 ? 2 9.点 F 为椭圆 ) B. 3 2 ? 26 D. 3 2 ? 22
1
正视图

13

1

侧视图

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点,若椭圆上存在点 A 使 a 2 b2

2
俯视图

?AOF 为正三角形,那么椭圆的离心率为(
A.

2 2

B.

3 2

C.

3 ?1 2

D. 3 ? 1

10.已知抛物线 y 2 ? 8x 的焦点 F 到双曲线 C:
2

y 2 x2 4 5 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 渐近线的距离为 , 点P 2 a b 5

x ? ?2 的距离之 是抛物线 y ? 8x 上的一动点,P 到双曲线 C 的上焦点 F 1 (0, c) 的距离与到直线
和的最小值为 3,则该双曲线的方程为( A. )

y 2 x2 ? ?1 2 3

B. y ?
2

x2 ?1 4

C.

y2 ? x2 ? 1 4

D.

y 2 x2 ? ?1 3 2

11.已知 M 是 ?ABC 内的一点, 且 AB?AC ? 2 3, ?BAC ? 30? , 若 ?MBC, ?MCA 和 ?MAB 的面 积分别为

??? ? ??? ?

1 1 4 , x, y ,则 ? 的最小值是( 2 x y

)A.20

B.18

C.16

D.9

?x ? y ? 7 ? 0 ? 12.已知圆 C :( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? 1 , 平面区域 Ω :? x ? y ? 3 ? 0 .若圆心 C ? ? , 且圆 C 与 x 轴 ? y?0 ?
相切, 则 a ? b 的最大值为 (
2 2

) A. 49

B. 37

C. 29

D. 5

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答, 第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设 BC ? 2BD, CA ? 3CE ,则 AD?BE ? __________. 14.若等比数列 ?an ? 的各项均为正数, 且 a10a11 ? a9a12 ? 2e5 , 则l n a1 ? l n a2 ? ? l n a2 0 ? ________.

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

???? ??? ?

15. 利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥 P ? ABCD , 其中底面四边形是边长为 1 的正方形,

PA ? 1 ,且 PA ? 平面 ABCD ,则球体毛坯体积的最小值应为
16.已知函数 f ( x) ? ?



? lg x ,0 ? x ? 3 ? f (6 ? x),3 ? x ? 6

,设方程 f ( x) ? 2? x ? b(b ? R) 的四个实根从小到大依次

x1 , x2 , x3 , x4 ,对于满足条件的任意一组实根,下列判断中正确的为 . (请填所有正确命题的
序号) (1) 0 ? x1 x2 ? 1 或 0 ? ? 6 ? x3 ?? 6 ? x4 ? ? 1; (2) 0 ? x1 x2 ? 1 且 ? 6 ? x3 ?? 6 ? x4 ? ? 1 ; (3) 1 ? x1 x2 ? 9 或 9 ? x3 x4 ? 25 ; (4) 1 ? x1 x2 ? 9 且 25 ? x3 x4 ? 36 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题 12 分) 在锐角 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小; (Ⅱ)若 c ?

7 ,且 ?ABC 的面积为

3 3 ,求 a ? b 的值. 2

18.(本小题 12 分) 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 4 S n ? ? 2n ? 1? an ?1 ? 1 ( n ? N* ),且 a1 ? 1 . (Ⅰ)求证:数列 ?a n ? 为等差数列; (Ⅱ)设 bn ?

1 an S n

,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn ?

3 ( n ? N* ). 2

19.(本小题 12 分) 如 图 所 示 , 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 ,

P

BC // AD , AB ? AD , AB ? BC ?

1 AD , PA ? 底面 ABCD ,过 3

N

M

BC 的平面交 PD 于 M ,交 PA 于 N ( N 与 A 不重合) .
(Ⅰ)求证: MN // BC ; (Ⅱ)如果 BM ? AC ,求此时
A D

PM 的值. PD

B

C

20.(本小题 12 分) 已知椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1( a ? 0) 的一个焦点为 F ( ?1,0) ,左右顶点分别为 A , B . a2 3

经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C , D 两点. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)记 ?ABD 与 ?ABC 的面积分别为 S1 和 S2 ,求 | S1 ? S2 | 的最大值. 21.(本小题 12 分) 已知函数. f ( x) ?

ex ? ln x em

(Ⅰ)设 x ? 1 是函数 f ( x) 的极值点,求 m 的值并讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 m ? 2 时,证明: f ( x) ? 0 .

请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本小题 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
B D E A O C

? 的中点,E 为 BC 的中点. 如图所示,AC 为 ? O 的直径,D 为 BC
(Ⅰ)求证: DE // AB ;

CD . (Ⅱ)求证: AC ?BC ? 2 AD?

23. (本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程是 ?

? ?x ? t ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正 ? ? y ? 3t
2 2

半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 ? cos (Ⅰ)求直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,求 | AB | .

? ? ? 2 sin2 ? ? 2? sin ? ? 3 ? 0 .

24.(本小题 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f (x) = 2x + 1 - x - 4 .

(Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若 f ( x) ? 3 x ? 4 ? m 对一切实数 x 均成立,求实数 m 的取值范围.

ABCCDB

DDDCBB



3 ? ;50; 2 ; (1) , (2) , (3)

17.(本小题 10 分) 在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C,所对的边,且 3a ? 2c sin A (1)确定角 C 的大小; (2)若 c ?

7 ,且△ABC 的面积为

3 3 ,求 a 十 b 的值. 2

17.(本题 10 分) 解(1)由 3a ? 2c sin A 及正弦定理得,

a 2sin A sin A ? ? c sin C 3

Q sin A ? 0,? sin C ?

3 2

Q ?ABC 是锐角三角形,? C ?
(2)解法 1: Q c ?

?
3

…………5 分

7, C ?

?
3

. 由面积公式得

1 ? 3 3 ab sin ? , 即ab ? 6         ① 2 3 2
由余弦定理得

a 2 ? b 2 ? 2ab cos

?
3
2

? 7, 即a 2 ? b 2 ? ab ? 7     ②

由②变形得 (a+b) ? 25, 故a ? b ? 5 解法 2:前同解法 1,联立①、②得

?a 2 ? b 2 ? ab ? 7 ?a 2 ? b 2=13   ? ? ? ?ab ? 6 ?ab ? 6
消去 b 并整理得 a 4 ? 13a 2 ? 36 ? 0 解得 a 2 ? 4或a 2 ? 9 所以 ?

?a ? 2 ?a ? 3 或? 故 a ? b ? 5 …………10 分 ?b ? 3 ?b ? 2

18.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 4 S n ? ? 2n ? 1? an ?1 ? 1 ( n ? N* ),且 a1 ? 1 . (1) 求证:数列 ?a n ? 为等差数列; (2) 设 bn ?

1 an S n

,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn ?

3 ( n ? N* ). 2

18.解(Ⅰ) 由题设 4Sn ? ? 2n ? 1? an ?1 ? 1 ,则 a2 ? 4 S1 ? 1 ? 3 , 3a3 ? 4 S 2 ? 1 ? 15, a3 ? 5 . 当 n ? 2 时, 4 S n ?1 ? ? 2n ? 3? an ? 1 , 两式相减得 ? 2n ? 1? an ? ? 2n ? 1? an ?1 , 方法一:由 ? 2n ? 1? an ? ? 2n ? 1? an ?1 ,得 则数列 ? …………………2 分

an ?1 a a a ? n ,且 2 ? 1 . 2n ? 1 2n ? 1 3 1
……………………6 分 ………………………7 分

an a1 ? an ? ? ? 1 ,也即 an ? 2n ? 1 ? 是常数列,即 2n ? 1 2 ? 1 ? 1 ? 2n ? 1 ?

所以数列 ?an ? 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列

方法二:由 ? 2n ? 1? an ? ? 2n ? 1? an ?1 ,得 ? 2n ? 3? an ?1 ? ? 2n ? 1? an ? 2 , 两式相减得 an ? an ? 2 ? 2an ?1 ,且 a1 ? a3 ? 2a2 所以数列 ?an ? 等差数列. (Ⅱ) 由(Ⅰ)得 a n ? 2n ? 1 , S n ? 当 n ? 1 时, T1 ? 1 ? 当 n ? 2 时, bn ? …………………6 分 …………………7 分

?1 ? 2n ? 1? n ? n 2 , b
2

n

?

1 , n ? 2n ? 1?

…………………9 分

3 成立;………………………………………………………10 分 2

1 ? n ? 2n ? 1?

1 1? ? 2n ? n ? ? 2? ?

?

1 1? 1 1? ? ? ? ? 2n ? n ? 1? 2 ? n ? 1 n ?

…………………12 分

所以 Tn ? 1 ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1? 1? 1 3 ? 1 ? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 2 ? ? 2 3 ? 2? n? 2 2 ? n ?1 n ??
………………

综上所述,命题得证.

19.( 本小题满分 12 分 ) 如图所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形, BC // AD ,

AB ? AD , AB ? BC ?
与 A 不重合) .

1 AD , PA ? 底面 ABCD ,过 BC 的平面交 PD 于 M ,交 PA 于 N ( N 3

(Ⅰ)求证: MN // BC ;

(Ⅱ)如果 BM ? AC ,求此时

PM 的值. PD

19.证明: (1)因为梯形 ABCD ,且 BC // AD , 又因为 BC ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD , 所以 BC // 平面 PAD . 因为平面 BCNM ? 平面 PAD = MN , 所以 MN // BC . …………4 分
A B C K D M P

(2)过 M 作 MK / / PA 交 AD 于 K ,连结 BK . 因为 PA ? 底面 ABCD , 所以 MK ? 底面 ABCD . 所以 MK ? AC . 又因为 BM ? AC , BM ? MK ? M , 所以 AC ? 平面 BMK , 所以 AC ? BK .

1 AD , 3 PM 1 所以 ? . PD 3
知 AK ?

…………12 分

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1( a ? 0) 的一个焦点为 F ( ?1,0) ,左右顶点分别为 A , B . a2 3

经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C , D 两点. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)记 ?ABD 与 ?ABC 的面积分别为 S1 和 S2 ,求 | S1 ? S2 | 的最大值. 20.(本小题满分 12 分) 解: (I)因为 F ( ?1,0) 为椭圆的焦点,所以 c ? 1, 又 b2 ? 3, 所以 a 2 ? 4, 所以椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

…………………………4 分

(Ⅱ)当直线 l 无斜率时,直线方程为 x ? ?1 , 此时 D(?1, ), C(?1, ? ) ,

3 2

3 2

?ABD, ?ABC 面积相等, | S1 ? S2 |? 0

…………5 分

当直线 l 斜率存在(显然 k ? 0 )时,设直线方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) , 设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 )

? x2 y2 ?1 ? ? 和椭圆方程联立得到 ? 4 ,消掉 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 3 ? ? y ? k ( x ? 1)
显然 ? ? 0 ,方程有根,且 x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? ………………8 分 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

此时 | S1 ? S2 |?| 2 || y2 | ? | y1 ||? 2 | y2 ? y1 | ? 2 | k ( x2 ? 1) ? k ( x1 ? 1) |

? 2 | k ( x2 ? x1 ) ? 2k |?
因为 k ? 0 ,上式 ?

12 | k | 3 ? 4k 2

………………………………10 分

12 12 12 3 ? ? ? 3, (k ? ? 时等号成立) 3 2 ? 4 | k | 2 3 ?4 | k | 2 12 |k | |k |
………………………………12 分

所以 | S1 ? S2 | 的最大值为 3

另解: (Ⅲ)设直线 l 的方程为: x ? m y ? 1 ?m ? R? ,则

?x ? m y ? 1 ? 由 ? x2 y 2 得, 3m2 ? 4 y 2 ? 6my ? 9 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4

?

?

设 C ?x1 , y1 ? , D?x2 , y2 ? ,

6m 9 ? 0. , y1 ? y2 ? ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4 1 1 所以, S1 ? AB ? y2 , S 2 ? AB ? y1 , 2 2
则 y1 ? y2 ?

………………8 分

S1 ? S 2 ?

12 m 1 1 AB ? y2 ? y1 ? ? ? 4 ? y1 ? y2 ? 2 2 3m 2 ? 4

……………………10 分

当 m ? 0 时, S1 ? S2 ? ?

12 m 12 m ? ? 3 ?m ? R? . 2 3m ? 4 2 3 ? 4m2

2 由 3m ? 4 ,得 m ? ?

2 3 . 3

当 m ? 0 时, S1 ? S2 ? 0 ? 3 从而,当 m ? ?

2 3 时, S1 ? S2 取得最大值 3 .…………………………12 分 3

21.(本小题 12 分) 已知函数. f ( x) ?

ex ? ln x em

(Ⅰ)设 x ? 1 是函数 f ( x) 的极值点,求 m 的值并讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 m ? 2 时,证明: f ( x) ? 0 . (21) (本小题满分 12 分) 解证: (Ⅰ) f ?( x) ? e x ? m ?

1 ,由 x ? 1 是 f ( x) 的极值点得 f ?(1) ? 0 , x
………………………………2分

即 e1? m ? 1 ? 0 ,所以 m ? 1 . 于是 f ( x) ? e
x ?1

1 , f ?( x) ? e x ?1 ? , ? ln x,(x ? 0) x 1 由 f ??( x) ? e x ?1 ? 2 ? 0 知 f ?( x) 在 x ? (0, ??) 上单调递增,且 f ?(1) ? 0 , x
所以 x ? 1 是 f ?( x) ? 0 的唯一零点. ……………………………4分

因此,当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,所以,函数 f ( x) 在 (0,1) 上 单调递减,在 (1, ??) 上单调递增. ……………………………5 分

(Ⅱ)当 m ? 2 , x ? (0, ??) 时, e x ? m ? e x ? 2 ,又 e x ? x ? 1 ,所以

e x?m ? e x?2 ? x ? 1 .

………………………………………8分

取函数 h( x) ? x ? 1 ? ln x( x ? 0) ( x ? 0) , h' ( x) ? 1 ?

1 ,当 0 ? x ? 1 时, h' ( x) ? 0 ,h( x) 单调递 x

减;当 x ? 1 时, h' ( x) ? 0 , h( x) 单调递增,得函数 h( x) 在 x ? 1 时取唯一的极小值即最小值为

h(1) ? ? ln 2 . ……10 分
所以 f ( x) ? e
x?m

而上式三个不等号不能同时成立, 故 f ( x) > ? ln x ? e x ? 2 ? ln x ? x ? 1 ? ln x ? 0 ,

0.…………………………………12 分 请考生在第(22) , (23) , (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
E A O C B D

︵ 如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为 BC 的中点,E 为 BC 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥AB; (Ⅱ)求证:AC·BC=2AD·CD.

【证明】 : (Ⅰ)连接 OE,因为 D 为的中点,E 为 BC 的中点, 所以 OED 三点共线.………………………… …2 分 因为 E 为 BC 的中点且 O 为 AC 的中点, 所以 OE∥AB,故 DE∥AB.………………………… …5 分 (Ⅱ)因为 D 为的中点,所以∠BAD=∠DAC,又∠BAD=∠DCB?∠

B D E A O C

DAC=∠DCB.
又因为 AD⊥DC,DE⊥CE?△DAC∽△ECD.………… …8 分 ? = ?AD·CD=AC·CE ? 2AD·CD=AC·2CE ? 2AD·CD=AC·BC.……………………………10 分 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

AC AD CD CE

? ?x ? t 平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) , ? ? y ? 3t
以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线
C 的极坐标方程为 ? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin2 ? ? 2? sin? ? 3 ? 0 .

(Ⅰ)求直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,求 | AB | . 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)消去参数得直线 l 的直角坐标方程: y ? 3 x ---------2 分

? x ? ? cos ? ? 由? 代入得 ? sin? ? 3? cos? ? ? ? ( ? ? R) . 3 ? y ? ? sin?
( 也可以是: ? ?

?
3

或? ?

4? ( ? ? 0) )---------------------5 分 3


? ? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin2 ? ? 2? sin? ? 3 ? 0 ? (Ⅱ) ? ? ?? ? 3 ?

? 2 ? 3? ? 3 ? 0 -----------------------------7 分
设 A( ? 1 ,

?

) , B( ? 2 , ) , 3 3

?

则 | AB |?| ? 1 ? ? 2 |? ( ? 1 ? ? 2 ) 2 ? 4? 1 ? 2 ? 15 .---------10 分 (若学生化成直角坐标方程求解,按步骤对应给分)

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f (x) = 2x + 1 - x - 4 . (I)解不等式 f(x)>0; (II)若 f(x)+ x - 4 >m 对一切实数 x 均成立,求实数 m 的取值范围.

24.解: (I)当 x ? 4 当?

时, f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0,得 x>-5,所以 x ? 4 成立.

1 ? x ? 4 时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0,得 x>1,所以 1<x<4 成立. 2
1 时, f(x)=-x-5>0,得 x<-5,所以 x<-5 成立. 2
…………5 分

当x??

综上,原不等式的解集为{x|x>1 或 x<-5} . (II)f(x)+ 3 x ? 4 =|2x+1|+2|x-4| ?| 2 x ? 1 ? (2 x ? 8) |? 9 . 当 x ? 4或x ? ? 时等号成立 ,所以 m<9.

1 2

…………10 分


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