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第五课时



第五课时 追及与相遇问题

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第一关:基础关 展望高考
基础知识

第2 页 第共 2页 34 页

一?

追及问题

知识讲解 1.速度小者追速度大者

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2.速度大者追速度小者

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说明:①表中的Δx是开始追及以后,后面物体因速度大而比前
面物体多运动的位移; ②x0是开始追及以前两物体之间的距离; ③t2-t0=t0-t1; ④v1是前面物体的速度,v2是后面物体的速度.

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二?

相遇问题

知识讲解 这一类:同向运动的两物体的相遇问题,即追及问题. 第二类:相向运动的物体,当各自移动的位移大小之和等于开 始时两物体的距离时相遇. 解此类问题首先应注意先画示意图,标明数值及物理量;然后 注意当被追赶的物体做匀减速运动时,还要注意该物体是

否停止运动了.

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第二关:技法关 解读高考
解题技法

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一?

追及、相遇问题的解题思路

技法讲解 追及?相遇问题最基本的特征相同,都是在运动过程中两物体 处在同一位置. ①根据对两物体运动过程的分析,画出物体运动情况的示意 草图. ②根据两物体的运动性质,分别列出两个物体的位移方程,注

意要将两个物体运动时间的关系反映在方程中;

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③根据运动草图,结合实际运动情况,找出两个物体的位移关
系; ④将以上方程联立为方程组求解,必要时,要对结果进行分析 讨论.

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二?

分析追及相遇问题应注意的两个问题

技法讲解 分析这类问题应注意的两个问题: (1)一个条件:即两个物体的速度所满足的临界条件,例如两个 物体距离最大或距离最小?后面的物体恰好追上前面的物 体或恰好追不上前面的物体等情况下,速度所满足的条件.

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常见的情形有三种:一是做初速度为零的匀加速直线运动的
物体甲,追赶同方向的做匀速直线运动的物体乙,这种情况 一定能追上,在追上之前,两物体的速度相等(即v甲=v乙)时 ,两者之间的距离最大;二是做匀速直线运动的物体甲,追赶 同方向的做匀加速直线运动的物体乙,这种情况不一定能

追上,若能追上,则在相遇位置满足v甲≥v乙;若追不上,则两
者之间有个最小距离,当两物体的速度相等时,距离最小;三 是做匀减速直线运动的物体追赶做匀速直线运动的物体, 情况和第二种情况相似.

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(2)两个关系:即两个运动物体的时间关系和位移关系.其中通
过画草图找到两个物体位移之间的数值关系是解决问题的 突破口.

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三?

追及、相遇问题的处理方法

技法讲解 方法一:临界条件法(物理法):当追者与被追者到达同一位置, 两者速度相同,则恰能追上或恰追不上(也是二者避免碰撞 的临界条件)

方法二:判断法(数学方法):若追者甲和被追者乙最初相距d0
令两者在t时相遇,则有x甲-x乙=d0,得到关于时间t的一元二 次方程:当Δ=b2-4ac>0时,两者相撞或相遇两次;当Δ=b24ac=0时,两者恰好相遇或相撞;Δ=b2-4ac<0时,两者不会相 撞或相遇.
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方法三:图象法.
典例剖析 【典例】一辆汽车在十字路口等待绿灯,当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶,恰在这时一辆自行车以6 m/s的速 度匀速驶来,从后边超过汽车.试问:汽车从路口开动后,在

赶上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是
多少?

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1 2 3 2 当运行时间为t时,两车相距的距离Δx=v0t- at =6tt. 2 2 B
当t=-

[解析] 方法一:函数法

数中二次项?一次项的系数)
方法二:方程法 当运行时间为t时,两车相距的距离Δx=v0t则 3 t2-6t+Δx=0. 2
1 at2=6t- 3 t2, 2 2

2A

=2 s时,有极值Δx=6 m.(其中字母A?B分别是二次函

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当判别式Δ≥0时方程有实数解,即Δx≤6 m,当且仅当等式成立
时有极值.
3 2 取Δx=6 m时相距最远,有 t -6t+6=0,得t=2 s. 2 方法三:物理分析法

当两车的速度相等时,两车间的距离最大,则at=6 m/s,t=2 s. 3 2 Δx=6tt =6 m 2

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方法四:图象法
画出v—t图象,如图所示. 经分析得两车的速度相等时,两车间的距离最大,则6 m/s=3

m/s2·t,Δx=6t- 3 t2,解得
t=2 s,Δx=6 m. [答案] 2 s 6 m

2

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第三关:训练关 笑对高考
随堂· 训练

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1.汽车甲沿着平直的公路以速度v0匀速行驶.当它路过某处的
同时,该处有一辆汽车乙从静止开始匀加速去追赶甲车.根 据上述已知条件( )

A.可求出乙车追上甲车时乙车的速度 B.可求出乙车追上甲车时乙车的路程

C.可求出乙车从开始起到追上甲车所用的时间
D.不能求出上述三者中的任何一个

答案:A

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2.如图所示,公路上一辆汽车以v1=10 m/s的速度匀速行驶,汽
车行至A点时,一人为搭车,从距公路30 m的C处开始以 v2=3 m/s的速度正对公路匀速跑去,司机见状途中刹车,汽 车做匀减速运动,结果人到达B点时,车也恰好在B点.已知 AB=80 m,求:

(1)汽车在距A多远处开始刹车?
(2)刹车后汽车的加速度有多大?

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CB 30 解析:(1)人、车到达B点所用时间, t ? v ? 3 s ? 10s 2 v 设汽车匀速运动时间为t1,x=v1t1+ 1 ·(t-t1) 2 解得t1=6 s

汽车刹车处离A点距离L=v1t1=60 m.
(2)刹车加速度a= 向.

0 ? v1 10 m/s2=-2.5 m/s2,方向与v1反 ?? t2 4

答案:(1)60 m (2)2.5 m/s2

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3.一辆客车以v1的速度前进,司机发现前面在同一轨道上有辆
货车正在以v2匀速前进,且v2<v1,货车车尾与客车车头距离 为s,客车立即刹车,做匀减速运动,而货车仍保持原速度前 进.求客车的加速度符合什么条件时,客车与货车不会相撞 ?

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解析:解法一:设客车的加速度大小为a时,刚好能撞上货车,所
用时间为t,则
1 s货车=v2t s客车=v1tat2① 2

当客车刚与货车相撞时,客车速度:v2=v1-at则
v1 ? v2 v1=v2+at t= ② a

而s=s客车-s货车=(v1-v2)t-

(v1 ? v2 ) 1 (v1 ? v2 ) 2 ②式代入③式中得s ? ? ? a 2 a (v1 ? v2 ) 2 故得a min ? 2s (v1 ? v2 ) 2 可见只要客车刹车后的加速度a ? 就可避免两车相撞. 2s
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1 2 at ③ 2 2

解法二:以货车为参照物,以客车为研究对象,客车的初速度为 v1-v2,加速度为a,方向与初速度的方向反向,做类似于竖直上 抛方式的匀减速运动.那么客车不与货车相撞的条件是,客车 对货车的最大相对位移应小于s.
(v1 ? v2 )2 (v1 ? v2 )2 ? s故得a ? . 2a 2s
(v1 ? v2 ) 2 答案 : a ? 2s

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4.为了安全,公路上行驶的汽车之间必须保持必要的距离.我
国交通管理部门规定,高速公路上行驶汽车的安全距离为 200 m,汽车行驶的最高速度为120 km/h,请根据下面提供 的资料. 资料一,贺驶员的反应时间为0.3 s~0.6 s

资料二,各种路面与汽车轮胎之间的动摩擦因数.

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路面 干沥青与混泥土路面

动摩擦因数 0.7~0.8

干碎石路面 湿沥青与混泥土路面

0.6~0.7 0.32~0.4

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求:
(1)在计算中,驾驶员的反应时间?路面与轮胎之间的动摩擦因 数应各取多少? (2)通过计算说明200 m为必要的安全距离. (3)若在某公路上有甲?乙两车,甲车以72 km/h在前行驶,乙车 在后以144 km/h超速行驶,乙发现甲车后立即制动,当距甲 车200 m时乙车开始减速,则减速时加速度至少多大才能避 免相碰.

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解析:(1)由表分析,0.6 s是最长的反应时间,对应刹车之前的
最大可能距离;0.32是最小的动摩擦因数,对应最大的可能刹 车距离.

(2)由x=vt+

v2 得x≈192 m,略小于200 m,因此200 m的安 2? g

全距离是必要的.

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(3)甲车的速度v1=20 m/s,乙车的速度v2=40 m/s.
甲车的速度减到20 m/s时恰好没有与乙车相撞,是刹车加速 度的最小值,设为a. 其中Δx=200 m 再结合v2-at=v1 可解得a=1 m/s2. 答案:(1)0.6 s 0.32 (2)见解析 (3)1 m/s2

1 2 丙车的位移关系应满足v2tat =v1t+Δx m 2

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5.一辆值勤的警车停在公路边,当警员发现从他旁边以10 m/s
的速度匀速行驶的货车严重超载时,决定前去追赶,经过5.5 s后警车发动起来,并以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动,但 警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内. (1)警车在追赶货车的过程中,两车间的最大距离是多少?

(2)判定警车在加速阶段能否追上货车.(要求通过计算说明)
(3)警车发动后要多长时间才能追上货车?

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解析:(1)警车在追赶货车的过程中,当两车速度相等时,它们的 v货 距离最大,设警车发动后经过t1时间两车的速度相等,则t1= a =4 s 4 s内两车的位移分别为
x货=(t0+t1)×v货=(5.5+4)×10 m=95 m x警= 所以两车间的最大距离Δx=x货-x警=75 m.
1 2 1 at1 ? 2 2

×2.5×42 m=20 m

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(2)vm=90 km/h=25 m/s,当警车刚达到最大速度时,运动时间 vm 25 ? t 2= s=10 s a 2.5 x货1=(t0+t2)×v货=(5.5+10)×10 m=155 m x警1=
因为x货1>x警1,故此时警车尚未追上货车.
1 2 1 at2 ? 2 2

×2.5×102 m=125 m

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(3)警车刚达到最大速度时两车距离
Δx1=x货1-x警1=30 m 警车达到最大速度后做匀速运动,设再经过Δt时间追赶上货

车,以货车为参考系,则

?x1 Δt= vm ? v货

=2 s

所以警车发动后要经过t=t2+Δt=12 s才能追上货车. 答案:(1)75 m (2)不能 (3)12 s

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