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算法案例[1].ppt


算 法 案 例

1、求两个正整数的最大公约数

(1)求25和35的最大公约数 (2)求49和63的最大公约数
( 1) 5

25
5

35
7

( 2) 7

49

63

7

9

所以,25和35的最大公约数为5

所以,49和63的最大公约数为7

2、求8251和6105的最大公约数

辗转相除法(欧几里得算法)
观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程

第一步 用两数中较大的数除以较小的数,求得商和余数 8251=6105×1+2146
结论: 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数,求8251和 6105的最大公约数,只要求出6105和2146的公约数就可以了。

第二步 对6105和2146重复第一步的做法 6105=2146×2+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。

完整的过程
8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333

例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90 135=90×1+45 90=45×2 显然45是90和45的最大公约数,也就是 225和135的最大公约数 思考1:从上面的两个例子可以看出计 算的规律是什么?

1813=333×5+148 333=148×2+37
148=37×4+0 显然37是148和37的最大公约 数,也就是8251和6105的最 大公约数

S1:用大数除以小数
S2:除数变成被除数,余数变成除数 S3:重复S1,直到余数为0

辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤,这实际上是 一个循环结构。

m=n×q+r

用程序框图表示出右边的过程

8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333

r=m MOD n

m=n
n=r r=0? 否

1813=333×5+148
333=148×2+37 148=37×4+0



《九章算术》——更相减损术
算理:可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减 损,求其等也,以等数约之。

第一步:任意给顶两个正整数;判断他们是否都是偶数。若是,则用2 约简;若不是则执行第二步。

第二步:以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并 以大数减小数。继续这个操作,直到所得的减数和差相等为止,则这个 等数就是所求的最大公约数。

例3 用更相减损术求98与63的最大公约数 解:由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,并辗转相减 98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7

所以,98和63的最大公约数等于7
练习: 课本P36练习第1题


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