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云南省2011-2014普通高中学业水平考试+数学+立体几何真题及答案



云南省 2011 年-2014 年普通高中学业水平考试·数学·立体几何
1.(2011.1)如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是相邻 两边的长分别为 1 和 2 的矩形,俯视图是一个圆,那么这个几 何体的体积为 A. 4 ? C.
1 ? 2

B. ? D.
1 ? 3

2. (2011.6)如图所

示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是 边长为 2 的等边三角形,俯视图是一个圆,那么这个几何体 正视图 的体积 为 .. A. C.
3 ? 4

侧视图

B. D.

3 ? 3
3?

3 ? 2

俯视图

3.(2012.1) 如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是 边长为 2 的正方形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的表 面积为 A. 3 ? C. 5 ? B. 4 ? D. 6? 俯视图 4. (2012.7)如图所示是一个组合体的三视图,图中的四边形均 为边长为 2 的正方形,圆的半径为 1,那么这个组合体的体积为 正视图 侧视图

A.
B. C. D.

4π 3

+8

16π +8 3 10π 3 40π 3
俯视图 主视图 侧视图

(第2题)

5.(2013.1)如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边 长为 2 的正方形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的表面积为 A. 3 ? C. 5 ? B. 4 ? D. 6? 俯视图 正视图 侧视图

6.(2013.7)有一个几何体的三视图如图所示,这个几何体是一个( A. 棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.圆台 主视图 侧视图



7. (2014.1)有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体是一个( A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.圆柱 正视图 侧视图

)

俯视图

俯视图

8.(2014.7)如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是全等的等腰

三角形,俯视图是一个圆,那么这个几何体是 A.正方体 B.圆锥 C.圆柱 D.半球
9.(2011.1)(本小题满分 7 分,其中(1)问 4 分, (2)问 4 分) 如图,点 P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,PA⊥平面 ABCD,点 E 为 PA 的中点。 (1)求证:PC//平面 BED; (2)求异面直线 AD 与 PB 所成角的大小。 P 答案: (1)设 AC 与 BD 交于点 O,连接 OE, ABCD 为矩形, E ? 点 O 为 AC 的中点, E 为 PA 的中点, ? OE//PC, PC ? 平面 BED,OE ? 平面 BED, PC// 平 ? BED。……………………………………………………………....4 分 (2) PA ? 平面 ABCD,? PA ? AD, AD ? AB,AB AP=A,? AD ? 平面 PAB, 又 又
A

D


B C

PB ? 平面 PAB,? AD ? PB ? 异面直线 AD 与 PB 所成角的大小等于 90 ? 。……………………..……..8 分

10.(2011.6) (本小题满分 7 分,其中第(1)问 4 分,第(2)问 3 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中. A1 (1)求证:AC ? BD1 ; (2)求异面直线 AC 与 BC1 所成角的大小。 答案: (1)连结 BD, ABCD 为正方形,? AC ? BD,
ABCD ? A1 B1C1 D1 为正方体,? DD1 ? 平面 ABCD,

D1 B1

C1

D

C B

? DD1 ? AC,
又 又 BD DD1=D,? AC ? 平面 BDD1, BD1 ? 平面 BDD1, ? AC ? BD1 。……....4 分 (2)连结 AD1,CD1, 易证四边形 ABC1D1 是平行四边形,? AD1 / / BC1

A

? 异面直线 AC 与 BC1 所成的角即为 ?CAD1 。
易证 AC ? AD1 = CD1 ??ACD1 是等边三角形, ??CAD1 ? 60?

? 异面直线 AC 与 BC1 所成角的大小等于 60 ? 。……………………..……..8 分
11.(2012.1)(本小题满分 7 分,其中第(1)问 4 分,第(2)问 3 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别为 AD1 、 CD1 中点。 (1)求证:EF//平面 ABCD; (2)求两异面直线 BD 与 CD1 所成角的大小。 答案: (1)连接 AC, E、F 分别为 AD1 、 CD1 中点, A1 E D F C B D1 C1 B1

? E F/ / A C ,
又 EF ? 平面ABCD, AC ? 平面ABCD ,

? EF / /平面ABCD. ……………4 分

A

(2)连接 A 1B , A 1BCD 1 是平行四边形,? A 1B / / D 1C , 1 D ,容易证明四边形 A

? 两异面直线 BD 与 CD1 所成角为 ?A1BD ,易知 V A1 BD 是等边三角形,

??A1BD ? 60?.
? 两异面直线 BD 与 CD1 所成角的大小为 60?. ……………………….…..………..7 分

12. (2012.7) 如图, 在四棱锥 ? ABCD 中,A ⊥ 底面 ABCD , 且底面 ABCD 是正方形, = B, 为 D 的中点. ⑴ 求证:B ∥平面 EAC ; ⑵ 求异面直线 与 B 所成角的大小. 连接 AC 交 BD 于点 O,连接 OE 可得B ∥OE,从而 B ∥平面 EAC;
B

P

E

A

D

C

由B ∥ OE 知,∠AEO 即为异面直线 与 B 所成角, 易得△ 为正三角形,从而∠AEO = 60°, 即异面直线 与 B 所成角为 60° . 13.(2013.1)(本小题满分 7 分,其中第(1)问 4 分,第(2)问 3 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别为 AD1 、 CD1 中点。 (1)求证:EF//平面 ABCD; (2)求两异面直线 BD 与 CD1 所成角的大小。 答案: (1)连接 AC, E、F 分别为 AD1 、 CD1 中点, A1 E D F C B D1 C1 B1

? E F/ / A C ,
又 EF ? 平面ABCD, AC ? 平面ABCD ,

? EF / /平面ABCD. ………………4 分

A

(2)连接 A 1B , A 1BCD 1 是平行四边形,? A 1B / / D 1C , 1 D ,容易证明四边形 A

? 两异面直线 BD 与 CD1 所成角为 ?A1BD ,易知 V A1 BD 是等边三角形, ??A1BD ? 60?.
? 两异面直线 BD 与 CD1 所成角的大小为 60?. ……………………….…..………..7 分

14.(2013.7)(本小题满分 8 分) 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2. (1)求证:A1C1//面 ABCD; (2)求 AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值.

证明:连结 AC。 由题知 AA1∥C1C 且 A1A=C1C

∴ ∴ ∵

四边形 A1ACC1 为平行四边形 A1 C1∥AC………………………………..。 。 。 。2 分 又 A1 C1 ? 平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD

∴ A1 C1∥ 平面 ABCD。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 (2)解:∵ C1C⊥平面 ABCD ∴ AC 是 AC1 在底面上的射影, ∴ ∠C1AC 是 AC1 与底面 ABCD 所成的角, 。 。 。 。 。 。 。6 分

在直角三角形 ACC1 中, tan∠C1AC=
C1C 2 ? ? 2 AC 2

即 AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值为 2 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分
S

15.(2014.1)(本小题满分 8 分) 如图所示,在三棱锥 P-ABC 中,E、F 分别为 AC、BC 的中点。 (1)证明: EF / /平面PAB ; (2)若 PA ? PB , CA ? CB ,求证: AB ? PC 。

答案:(1) E、F 分别是 AC、BC 的中点, ?EF//AB, ……………………………………1 分 又 EF ? 平面 PAB , …………………………2 分 B AB ? 平面 PAB, ……………………3 分 ? EF//平面 PAB…………………………4 分 (2)取的中点 O,连结 OP、OC, PA=PB,? AB ? OP ; ………………………5 分 AB ? OC 又 CA=CB,? ; ……………………6 分 又 OP ? OC ? O ,? AB ? 平面POC ; ………………7 分 又 PC ? 平面POC ,? AB ? PC. …………8 分

A F

E

C

16.(2014.7)(本小题满分 8 分)
如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、 CC1 的中点。 D1 (1)求证: AC ? BD1 ; (2) AE //平面 BFD 1. C1

A1 E

B1

F

D

C

A

B



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