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高中数学竞赛第一次课辅导习题



高中数学竞赛辅导班函数练习题
1、设 a 是实数,且方程
x 4 +3ax3 +a ?1-5a 2 ? x-3a 4 +a 2 +1=0有实根且不同的实根至多有两个 ,求 a 的取值

范围 2、已知函数 f, g : R+ ? R+ ,且满足
x ? ? f (g (x ))= xf (x )-2 ? a <xf (x)<bn ? , 求证:存在两个数列 ?an ? , ?bn ? 使得 ? n +1 ? x ?an +1 <xg (x)<bn ? g (f (x ))= ? xg (x )-2 ?

3、对非零 x,y,z 若表达式 2 x 2 +y 2 +z 2 +2 xy +tyz 恒大于 0,求 t 的取值范 围 4、 设函数f(x)=4x3 -2 x2 -15x+9,和g (x)=12 x3 +6 x 2 -7 x+1 ,证明: 这两个函数的零 点都有 3 个实数解 (2):设 f(x),g(x)的最大根分别为 a,b 求证: a 2 +3b2 =4 5、 若二次三项式f (x)=x2 +ax+b和g (x)=x 2 +cx+d 满足方程f(g(x))=g(f(x))没有实数根
求证:b ? d

6、设 F 是满足以下条件的全部函数 f 的集合 f: R+ ? R+ ,且对任意正实数x 都成立: f (3x) ? f(f(2x))+x ,求满足以下条件的最大实数 a,对所有
f ? F 成立 ,其中 x 是任意正实数,

7、在下列情况下,求函数 f: N+ ? M ,满足1+f(n)f(n+1)=2n 2 ? f (n+1)-f (n) ? 其 中 n ? N+

?1? :M =N

(2):M =Q

8、设 f(x)是在任意实数上的可微函数,且满足 f (f (x))=x3 -3x 2 +4 ,是否存 在这样的函数?



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