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新人教B必修2柱锥台球的体积



一、问题: ⑴若长方形的长和宽分别为a和b,你能表示它 的面积吗? S长方形=ab

⑵若长方体的长、宽、高分别为a、b、c,那么 它的体积如何计算呢?

V长方体=abc 你能否用另外一种形式来表示长方体的体积 呢? V长方体=Sh

祖暅原理:幂势既同,则积不容异。

即夹在两个平行平面间的

两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如 果截得的两个截面的面积总相等,那么这 两个几何体的体积相等。

问题:两个底面积相等、高也相等的柱体或锥体 的体积如何?

相等

二、几何体的体积 1.柱体的体积

结论:两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆柱) 的体积相等 . 即底面积为S,高为h的柱体的体积为 2017/1/11

V柱体 = Sh

2.锥体体积
A1
B1

以三棱柱为例
C1

A B

C

2.锥体体积

1 底面积为S,高为h的三棱锥的体积为V 锥体 = Sh 3

类似的,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积 也相等.

1 V锥体= sh 3

S为底面积,h为高.

s

s

3.台体的体积
设棱台上底面积为S‘, 下底面积为S,高为h, 大棱锥的高为h1,小 棱锥的高为h2,则

V台体

1 = S+ 3

?

SS' + S' h

?

两个底面积相等、高也相等的棱台(圆台)的体积 相等

V台体
2017/1/11

1 = S+ 3

?

SS' + S' h

?

柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系呢?

V柱体 ?????? Sh

S = S'

1 V台体 ????? S ? SS ' ? S ' h 3
S'

?

?

S' = 0

1 V ? Sh 锥体 ???? 3
S'=0

S=S'

S 2017/1/11

S

S

4.球的体积
应用圆柱和圆锥的体积共识,根据祖 暅原理可以得到球的体积公式

4 3 V球 = ? R 3

例1:如图,在长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, 截下一个棱锥 C ? A?DD? ,求棱锥的体积与剩 余部分的体积之比。 D'
C' A' D A B B' C

2017/1/11

例 2.已知有一正四棱台(底面为正方形)的上底边长为4cm, 下底边长为8cm,高为3cm,求其体积。

1 解:V ? ( S上 ? S上 S下 ? S下 )h 3 1 2 2 ? (4 ? 4 ? 8 ? 8 ) ? 3 3 ? 112(cm )
3

答:这个正四棱台的体积为112cm3.

2017/1/11

【例3】有一堆形状规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg,已知底面六边形边长为 12mm,高为10mm,内孔直径是10mm,那么约有毛坯多少个?(铁的比重是 7.8 g/cm3) 解: 六角螺帽的体积V是一个正六棱柱的体积V1与一个圆柱的 体积V2的差
3 3 2 V1 ? ? 12 ? 6 ? 10 ? 3.74 ?10 4 2 3 ? 10 ? ? 0.785 ? 10 V2 ? 3.14 ? ? ? ? 10 ? 2?
3 3

? mm ? ? mm ?
3
3
3 3

所以一个毛坯的体积为

V ? 3.74 ? 10 ? 0.785 ? 10 ? 2.96 ?10 ? mm ? ? 2.96 ? cm 3 (个) 约有毛坯 5.8 ? 10 ? ? 7.8 ? 2.96 ? ? 250
2017/1/11 答:这堆毛坯约有250个.

3

?

【例4】一个几何体的三视图如图所示, (1)试画出它的直观图; (2)指出它表面中的平面图形, 并求出它的体积.

解:

根据三视图上所标的尺寸可知,该图形是以上、下底 分别为1和2,高为1的直角梯形为底面,高为1的直四 棱柱

由棱柱的体积计算公式可得:

1 3 V ? Sh ? ?1 ? 2? ?1?1 ? 2 2


所以该几何体的表面分别是矩形和直角梯形,体积为 2017/1/11

3 2

例5.如图所示,是一个奖杯的三视图(单位:cm), 试画出它的直观图,并计算这个奖杯的体积 (精确到0.01cm).
6

18

8

6

5

15

15

11

11

1.用一张长12cm、宽8cm的矩形铁皮围成圆柱形的侧面, 288 192 求这个圆柱的体积. cm3 或 cm3 2.已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2,高为 4cm, 现将它熔化后铸成一个正方体的铜块,那么铸成的铜 块的棱长为多少(不计损耗)?4cm 3.若一个六棱锥的高为10cm,底面是边长为6cm大的正

?

?

六边形,求这个六棱锥的体积.180 3cm 3
4.一个正四棱台形油槽可以装没有190升,假如它的上、
2017/1/11

下底边长分别等于60cm和40cm,求它的深度. 75cm

V 柱体 ?????? Sh

S = S'

1 V ????? S ? SS ' ? S ' h 3
台体

?

?

S' = 0

1 V ???? ? Sh 3
锥体

S=S'

S'

S'=0

S
2017/1/11

S

S



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