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3.4 生活中的优化问题举例(2)



3.4 生活中的优化问 题举例(2)

生活中的优化问题举例 内容:生活中的优化问题 应用: 1.磁盘的最大储存量问题 2.成本最省问题

本课主要学习生活中的优化问题。以复习上节课内容引入新 课。通过合作交流,使学生发现如何使磁盘的储存量最大、成 本最省问题,感受生活中的数学问题。本课给出2个例题和变 式,通过解决这些问题,使学生熟悉

利用导数解决生活中最优 化问题的一般方法。突破将实际问题转化为数学问题,根据实 际利用导数解决生活中的优化问题这一难点。 本课采用例题与变式结合的方法巩固新知,例1是磁盘的最 大储存量问题;例2是成本最省问题。通过学习使利润最大、 用料最省、效率最高等优化问题,尝试数学建模的方法和导数 在解决实际问题中的作用,体会导数的工具性.通过对生活中 优化问题的探究过程,培养学生善于发现问题、解决问题的自 觉性,感受数学的应用价值,提高学习数学的兴趣.

问题 1 :上节课我们学习过的海报板面设计问题、利润, 问通常采取什么方法解决这一类问题呢?

问题2:这些问题的共同点是什么?
问题3:这些实际生活的问题能否用数学方法来解决?与 哪部分数学知识有关? 问题4:求函数最值的方法和步骤是什么?要用到哪些工 具? 问题5:在实际问题中求函数的最值还应该注意什么?

磁盘的最大存储量问题 问题: (1)你知道计算机是如何存储、检索信息的吗?

(2)你知道磁盘的结构吗?
(3)如何使一个圆形磁盘存储尽可能多的信息呢? 下面我们就来研究一下磁盘的最大存储量问题.

【背景知识】计算机把数据存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的 圆盘, 并有操作系统将其格式化成磁道和扇区 .磁道是指不同半径所 构成的同心轨道, 扇区是指被同心角分割所成的扇形区域.磁道上的 定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1,这个基本单元通常被称为比特(bit) . 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于 m ,每比特 所占用的磁道长度不得小于 n .为了数据检索便利,磁盘格式化时 要求所有磁道要具有相同的比特数. 问题:现有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半径介于 r 与 R 之 间的环形区域. (1)是不是 r 越小,磁盘的存储量越大? (2) r 为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何 信息)?

【解答】由题意知:存储量=磁道数×每磁道的比特数. 设存储区的半径介于 r 与 R 之间,由于磁道之间的宽度必需大于
R?r m ,且最外面的磁道不存储任何信息,故磁道数最多可达 m .

由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大存储量,最内一条磁道 2? r 必须装满,即每条磁道上的比特数可达 n . 所以,磁盘总存储量 R ? r 2? r 2?
f (r ) ? m ? n ? mn r(R ? r) .

(1)它是一个关于 r 的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是 r 越小,磁盘的存储量越大.

(2)为求 f (r ) 的最大值,计算 f ?(r ) ? 0 .

2? f ?(r ) ? ( R ? 2r ) . mn

令 f ?(r ) ? 0 ,解得 r ? 2 .

R

R R r ? r ? f ?(r ) ? 0 . f ?(r ) ? 0 ;当 当 2 时, 2 时,

? R2 R r? 因此 2 时,磁盘具有最大存储量.此时最大存储量为 2 mn .

变式训练 1:在边长为 60cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方 形,再把它的边沿虚线折起 (如图 ),做成一个无盖的方底箱子,箱 底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积是多少?
x

60

x

60

解法一:设箱底边长为 x cm,则箱高 h ?
60x 2 ? x 3 得箱子容积 V ( x) ? x h ? 2
2

60 ? x 2 cm,

(0 ? x ? 60) .

3x 2 所以, V ?( x) ? 60 x ? 2

(0 ? x ? 60) .

3x 2 令 V ?( x) ? 60 x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 0 (舍去) , x ? 40 , 所以, V (40) ? 16000 (cm3) .

60) 时, V ( x) 仅此一个极大值, 由题意可知,当 x ? (0,
因此,16000 是最大值. 答:当 x ? 40 cm 时,箱子容积最大,最大容积是 16000cm3.

解法二:设箱高为 x cm,则箱底长为 (60 ? 2 x) cm,
2 V ( x ) ? ( 60 ? 2 x ) x (0 ? x ? 30) . 则得箱子容积

(后面同解法一,略) 由题意可知,仅此一个极大值, 因此,所以最大值出现在极值点处.

成本最省问题

例 2.甲、乙两地相距 400 千米,一汽车从甲地匀速行驶到乙 地 ,速度不得超过 100km/h.已知该汽车每小时的运输成本 t ( 元 ) 关 于 速 度

x (km/h) 的 函 数 关 系 式 是

1 1 3 4 t? x ? x ? 15 x . 19200 160

(1)当汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶时,全程运输成本为 多少元? (2)为使全程运输成本最少,汽车应以多少速度行驶?并求 出此时运输成本的最小值.

解: (1)设全程运输成本为 f ( x) ,则
1 1 3 400 1 3 5 2 4 f ( x) ? ( x ? x ? 15 x) ? ? x ? x ? 6000(0 ? x ? 100) . 19200 160 x 48 2
1 5 3 2 f (60) ? ? 60 ? ? 60 ? 6000 ? 1500 (元) 当 x ? 60 km/h 时, . 48 2

1 2 ? (2) f ( x) ? 16 x ? 5 x(0 ? x ? 100) ,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x

? 80 .

80) 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 是减函数; 当 x ? (0,
100] 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 是增函数. 当 x ? (80,

所以,当 x ? 80 km/h, f ( x) 取极小值.
100] 上只有一个极小值,所以 f (80) 是最小值. 又因 f ( x) 在 (0,

1 5 2000 3 2 所以, f (80) ? 48 ? 80 ? 2 ? 80 ? 6000 ? 3 (元) .

变式训练 2 :一艘船的燃料费与船速度的平方成正

比,如果此船速度是10km/h,那么每小时的燃料费
是 80元.已知船航行时其他费用为480元/小时,在 20km航程中,船速多少时船行驶总费用最省?此时 每小时费用等于多少?

4 2 解:由于 80 ? k ?10 ,所以 k ? 5 .

设船速为 x km/h 时,总费用为 y ,则
4 2 20 20 9600 y ? x ? ? ? 480 ? 16 x ? ,x ? 0 . 5 x x x

9600 令 y? ? 0 ,即 16 ? x 2 ? 0 ,则 x ? 10 6 .

x ? 10 6 是函数

y 在 (0,+?) 上唯一极值点,从而使最小值点.
16 ?10 6 ? 9600 ? 400 6 (元) . 10 6

当 x ? 10 6 时,

? 20 ? ? ? 1200 (元/小时) 于是 400 6 ? ? . ? 10 6 ?

答:船速为 10 6 时船行驶总费用最省,此时每小时费用等于 1200 元.

1. 圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底

与半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?

解:设圆柱的高为 h,底半径为 R,则表面积

S ? 2? Rh ? 2? R 2
V 由 V ? ? R h ,得 h ? ? R 2 ,
2

V 2V 2 2 S ( R) ? 2? R ? 2 ? R ? ? 2 ? R 则 ? R2 R

h?

2V V 3 S ( R) ? ? 2 ? 4? R ? 0 解得, R ? R 2? ,从而
'

V ? 2 ?R

V 4V V ?3 ? 23 ? ? V 2 3 ?( ) 2?
王新敞
奎屯 新疆

即 h ? 2 R ,因为 S ( R ) 只有一个极小值,所以它是最小值 答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省 .
王新敞
奎屯 新疆

2.当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时,它的高与 底面半径应怎样选取,才能使所用材料最省?
S ? 2? R 2 提示: S ? 2? Rh ? 2? R ? h ? 2? R .
2

S ? 2? R 2 1 1 2 2 3 V ( R ) ? ? ? R ? ( S ? 2 ? R ) R ? SR ? ? R 所以, . 2? R 2 2

2 2 2 ? V ( R ) ? 0 ? S ? 6 ? R ? 6 ? R ? 2 ? Rh ? 2 ? R ? h ? 2R . 令

1. 实际应用问题的表现形式,常常不是以纯数学模式反映出来. 首先,通过审题,认识问题的背景,抽象出问题的实质;其次, 建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解. 2.用导数求解优化问题的基本步骤: (1)认真分析问题中各个变量之间的关系,正确设定最值变量 y 与自变量 x ,把实际问题转化为数学问题,列出适当的函数关系 式 y ? f ( x) ,并确定函数的定义区间; (2)求 f ?( x ) ,解方程 f ?( x) ? 0 ,得出所有实数根; (3)比较函数在各个根和端点处的函数值的大小,根据问题的实 际意义确定函数的最大值或最小值.

即解优化问题的基本思路是:
优化问题
建立数学模型

用函数表示数学问题
解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

数学思想:数形结合和转化思想.

必做题:课本 P37 B 组 1, 2. 选做题: 1. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度) .设该 蓄水池的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设 建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为 100 元/平方米, 底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本 为 12000 ? 元. (Ⅰ)将 V 表示成 r 的函数 V (r ) ,并求该函数的定义域; (Ⅱ)讨论函数 V (r ) 的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水 池的体积最大.

2.某造船公司年最高造船量是 20 艘. 已知造船 x 艘的产值函 2 3 数 R(x)=3700x + 45x –10x (单位:万元), 成本函数为 C(x) = 460x + 5000 (单位:万元). 又在经济学中,函数 f(x)的边 际函数 Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:(提示:利润 = 产值 – 成本) (1)利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x); (2)年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大? (3)边际利润函数 MP(x)的单调递减区间 , 并说明单调递减 在本题中的实际意义是什么?

解:⑴P(x) = R(x) – C(x) = – 10x3 + 45x2 + 3240x – 5000 MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x2 + 60x +3275 (其中 x?N 且 x?[1, 20]). ⑵∵ P?( x ) = – 30x2 + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12) ∴当 1< x < 12 时, P?( x ) > 0, P(x)单调递增, 当 12 <x < 20 时, P?( x ) < 0 , P ( x ) 单调递减. ∴ x = 12 时, P(x)取最大值,即年建造 12 艘船时, 公司造船的年利润最大. ⑶由 MP(x ) = – 30( x – 1) 2 + 3305 (x?N 且 x?[1, 20]). ∴当 1< x ≤ 20 时,MP (x)单调递减. MP (x)是减函数说明: 随着产量的增加, 每艘利润与前一 台比较,利润在减少.

3.某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间每天的 定价为180元时,房间会全部住满;房间的单价每增加

10元,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾
馆每天每间需花费20元的各种维修费.房间定价多少 时,宾馆的利润最大? 解:设宾馆定价为(180+10x)元时,宾馆的利润W最大

W ? (180 ? 10 x)(50 ? x) ? (50 ? x) ? 20 2 ? ?10 x ? 340 x ? 8000 令W ' ( x) ? 0, 求得x ? 17 当W ' ( x) ? 0时, x ? 17 ;当W ' ( x) ? 0时, x ? 17 ?当x ? 17,利润W最大 此时房价为: 180 ? 10 ?17 ? 350 (元)



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