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2011全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及评分标准



901!年 全国肓中 字琳搴洱苏赛区 数

∷∷
1.复 数 (1+y+(1~i)4=
答案 :-8

初赛参考答案与评分细则

一 、填空题 (本 题满分 90分 ,每 小题 7分 )

2.已 知直线
`:豸


ˉmy+1=0是 圆<

br />。

C:'+'一

钿 +。 9,ˉ 5=0的 ⊥ 条对称轴 ,则 实数

=

答:ˉ : 案
3.某 班共有 30名 学生,若 随机抽查两位学生的作业 ,则 班长或团支书的作业被抽中的概率


(结

果用最简分数表示 )。

答:蒜 案
4.已 知 。s躬叵 备 。
则 咖 %△ oⅡ 勿眭

答 :萼 案
5.已 知 向量 四 ,J满 足 lnl=Jl=2,(J,J)=詈 ,则 以 向量 勿 +,与
为邻边的平行 四边形的面积为
答 案 :L沛

|△△鳟
∵?
3乙 ∵

,~/Ι

J表 示 的有 向线段

6.设 数列 佃″ 前 刀项和 为 凡.若 (岛 )是 首项及 公 比都 为 2的 等 出数 列 )的
访项和 等 于 ∷ ∷.
)

1∶

则数 列 {‰

3)的





答 :尔 |庞 橐
8Ⅱ

7.设 函数 们 =旷 一2|.若 ytΘ △ V),且 0(四 (3,则
答 案 :tO,z,

汕 的取 值 范 围是



8.设



(″

)为 数 列

(夕

刀 )中 小 于 ″ 的 项 的 个 数

,其

中 曰 〓刀 口

2,刀 ∈ N△

贝 yI灭 2011)]〓 刂 答案 :6

.

9.一 个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4的 正三棱柱 的三条侧棱上 ,则 此直角三 角
形的斜边长是

.

答 :热沔 案
⒛11年 全国高中敛学联赉江苏安 区初赉答案笫 1页 ∷ 4页 共

?

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:r罗 珲 罴 甲 冒 圈 囤 罾 囤 ,璺 田 ,口

10.已 知 〃 是 正整 笨 ,具 方 程 ⒉ 一办 JO-艿 一″+1← 0有 整 数 解 ,则 勿 所 有 可 能 的值


.

答案 :3,⒕ ,30 二 、解 答题 (本 题 满分 gO分 ,每 小题 20分 )
I1。

已知 圆 ′ +'=1与 抛 物线 y='+勿 有 公共 点 ,求 实数 乃的取 值 范 围 。 有 公共 点 ,

解 :因 为 圆 ′ +'〓 1与 抛物 线





组 阴

’ 勰

'=Jz+乃
… ……… … …… … … ……… ? 0分

方程J? +⑵ +1′ +lz-1〓 0有解。 所以 …………………………? 8分 +⑵ +1y+'-1=o有 非负根。 … 叩关于r的 方程′ 当方程的两根异号或有零根时,'-1≤ o,

∷Ⅱ 弗 △ i浃 “ ∵ 擗 1《

● .… “ ° ∷ Ⅱ .。 j.,J。 。 … 12分 ° ? ?∴
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I.



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当方程 的两根 同正时 ,

2-D≥ 0? △=f9】 +I)2_0【 乃

-竿 况

佴 -綦劬 得 (-1?
≤? 即实数 乃的取值范围为【 综上,一 桊 】 钅
12.

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…¨ ¨ ¨ … … 分 … … ∵ ∴?如

设fr9轷 +Dr+c tb、 c∈ R9。 若H≥ 2时 ,舟 )≥ 0,且 们 在区间tz,31上 的最大值为 1, 求 Da+`的 最大值和最小值
.

解 : 由迂 ,函 数图象为开 口向上的抛物线,

则 =∈ Cz,31时 ,舟 )的 最大值只能在区间的端点处取得
所 以 犯 阝顶3)〓 1,即 3≥ -5, 且 9+33+c〓 1,所 以 Fˉ 助 一8。 由题设 ,当 M≥ 2时 ,翔)≥ 0.

,

… …… … ……… … … … … …? 4分 … ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8分 ? ? ? ? ? ? …? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?

① 当伽 )0有 实根时,△ ='-牝 ≥0,实 根在区间[-2,剑 中
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〓 咖 则 “ 翼 俾
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一 3 一 代入得

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r l < l ι

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⒛ n年 全国高中数学联费江苏赘区初赉答案第

^页

共 4页


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讧螽 Ⅱ 弧 ◇ 血G且 劣 勋 与 在
… 。 。 ∴∴。 l9分

同理 ,点 Ⅱ C的 同侧
.

C为 P在 以 Ⅱ 弦的圆上 ,其 中 ZzPC=90° +:ZⅡ :G且 劣 锨 碗

乌 。在

所 以 P是 这两个 圆的公共 点 。 由 (1)可 推知 ,yBc的 内心也是这两个圆的公共点 。 又 C是 此两囝的另一个公共点 ,但 不在 △刀r内 所以P是内 心。
u。
,

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奖△,.且 存在正雍致 mO,便 碥
冫 为有理数 。
|

多个芷整数 壶朗 秦奋无穷 芊 正 渤 有理数∴ △

,D为 耳 素的正整数 ,则 幻+F筝 ,其 中 四 证明 :洳汽 鬲 △ 钅
对任意正整效 ″,令
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为有 理

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