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2014届普通高中质量检查 数学(文科)



2014 届普通高中质量检查

数学(文科)

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 A ? ?0,1? , B ? ??1,0, a ? 2? ,若 A ? B ,则 a 的值为 A. -2 B.

-1
2

C. 0

D. 1

“x ? 1 ? 0”是“x ? 1 ? 0” 2.设 的

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. 设向量 a ? (2,1) , b ? (?1, y) ,若 a // b ,则 y 的值为 A. 2 B. ?2 C.

1 2

D. ?

1 2

4. 直线 m 在平面 ? 内,直线 n 在平面 ? 内,下列命题正确的是 A. m ? n ? ? ? ? C. m ? n ? m ? ?
?x

B. ? // ? ? m // ? D. m // n ? ? // ?

5.已知 0 ? a ? 1 ,则函数 f ( x) ? a 与函数 g ( x) ? log a x 的图象在同一坐标系中可以是
y
1 -1

y
1

y
1 1

y
1 1

O

x

O

x

O

x

O 1

x

A. 6.
2

B.

C.

D.

抛物线 y ? 4 x 上的点 M ( x0 , y0 ) 到焦点 F 的距离为 5 , 则 x0 的值为 A. 1 B. 3

C. 4 D. 5 7. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面积为 A. 8 ? 2 2 C. 8 ? 2 5 B. 10 D. 12

y
1

π π 8. 函数 f ( x) ? sin(? x ? ?)(? ? 0, ? ? ? ? ) 的部分图象如图 2 2 所示,则 ? 的值为
A. ? C. ?
π 3 π 6

?

B. D.

π 3 π 6

? 3

O -1

? 6

x x

·1·

1 1 1 1 9.如图所示的程序框图,若执行运算 1? ? ? ? ,则在空白的执行框中,应该 2 3 4 5
填入 A. T ? T ? (i ? 1) B. T ? T ? i
开始

T ? 1, i ? 1

1 1 C. T ? T ? D. T ? T ? i ?1 i 10.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,满足 c ? 2b sin C ,
ABC

a 2 ? b2 ? c2 ? 3bc ,则角 C 为

i ? i ?1

A. C.

? 6

B. D.

? 3
2? 3

i>4? 是 输出 T 结束



? 2

a 11.关于 x 的不等式 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ( a ? 0 )的解集为 ( x1 , x2 ) ,则 x1 ? x2 ? 的 x1 x2

最小值是 A.
6 3

B.

2 3 3

C.

4 3 3

D.

2 6 3

12. 已知函数 fn ( x) ? an x3 ? bn x2 ? cn x ,满足

an ?1 bn ?1 cn ?1 ? ? ? q( q ? 1, q为常数) , n ? N* ,给出下列说法:① an bn cn

函数 f n ( x) 为奇函数;②若函数 f1 ( x) 在 R 上单调递增,则 a1 ? 0 ;③若 x0 是函数 f n ( x) 的极值点,则 x0 也 是函数 f n?1 ( x) 的极值点;④若 bn2 ? 3an cn ,则函数 f n ? x ? 在 R 上有极值.以上说法正确的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填写在答题卡的相应位置. 13.已知 i 是虚数单位,则复数 z ? i(1 ? i) 在复平面内对应的点位于第
?x ? y ? 0 ? 14. 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?y ?1 ?

象限.

.

15. 已 知 两 点 A(?4,0) , B(0,3) , 若 点 P 是 圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 上 的 动 点 , 则 ?PAB 的 面 积 的 最 大 值 为 16. 已知 .
x0 2 y0 2 x2 y 2 ? ? 1 ,过点 P( x0 , y0 ) 作一直线与双曲线 ? ? 1 相交且仅有一个公共点,则该直线的斜率 4 9 4 9

2x 2 ? 1 3 恰为双曲线的两条渐近线的斜率 ? . 类比此思想,已知 y0 ? 0 ,过点 P( x0 , y0 ) ( x0 ? 0) 作一条不垂 x0 2

直于 x 轴的直线 l 与曲线 y ?

2 x2 ? 1 相交且仅有一个公共点,则该直线 l 的斜率为 x
·2·

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 满足 a2 ? 2 , a4 ? 2a6 ? 16 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? an ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .
a

18.(本小题满分 12 分) 近年来,我国许多地方出现雾霾天气, 影响了人们的出行、 工作与健康. 其形成与 PM 2.5 有关. PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物. PM 2.5 日均值越小,空 气质量越好.为加强生态文明建设,我国国家环保部于 2012 年 2 月 29 日,发布了《环境空气质量标准》见下 表:
PM 2.5 日均值 k(微克)
k ? 35

空气质量等级 一级 二级 超标

35 ? k ? 75
k ? 75

某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况,在某月中分别随机抽取了甲、乙两市 6 天的 PM 2.5 日 均值作为样本,样本数据茎叶图如右图所示(十位为茎,个位为叶) . (Ⅰ)求甲、乙两市 PM 2.5 日均值的样本平均数,据此判断该月中哪个市的空气质量较好; (Ⅱ)若从甲市这 6 天的样本数据中随机抽取两天的数据,求恰有一天空气质量等级为一级的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图两个等边 ?ABC , ?ACD 所在的平面互相垂直, EB ? 平面 ABC ,且 AC ? 2 ,
BE ? 3 .

(Ⅰ)求三棱锥 A ? BCE 的体积; (Ⅱ)求证: DE //平面 ABC .

·3·

20.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (1, ? 3) , b ? (sin x, cos x) , f ( x) ? a ? b .

(Ⅰ)若 f (? ) ? 0 ,求

2cos2

?
2

? sin ? ? 1

π 2 sin(? ? ) 4

的值; (Ⅱ)当 x ? [0, π] 时,求函数 f ( x) 的值域.

21.(本小题满分 12 分) 为了监测某海域的船舶航行情况,在该海域设立了如图所示东西走向,相距 20 海里的 A , B 两个观测站, 观测范围是到 A , B 两观测站距离之和不超过 40 海里的区域. (Ⅰ)以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系,求观测区域边界曲线 的方程; (Ⅱ)某日上午 7 时,观测站 B 发现在其正东 10 海里的 C 处,有一艘轮船正以每小时 8 海里的速度向北 偏西 45° 方向航行,问该轮船大约在什么时间离开观测区域? (参考数据: 2 ? 1.4, 3 ? 1.7 .)
y 北

A O

B

x

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? bx . (Ⅰ) 若曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线平行于 x 轴,求实数 b 的值; (Ⅱ)若 ?x ? (0, ??) , f ( x) ? 0 成立,求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)求证:

1 2 ? ? 2 3

?

n ? n ? ln(n ? 1)(n ? N*) . n ?1

·4·



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