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陕西省宝鸡市2015届高考数学三模试卷(文科)



陕西省宝鸡市 2015 届高考数学三模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的。 1.已知集合 A={0,1},B={x|x ≤4},则 A∩B=( ) A.{0,1} B.{0,1,2} C.{x|0≤x<2}
2

D.{x|0≤x≤2}

>
2.若平面向量 =(1,2) , =(﹣2,y)且,则 A. B. C.2
2

,则| |=(

) D.5 )

3.设 a,b 为实数,命题甲:a<b<0,命题乙:ab>b ,则命题甲是命题乙的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其主视图如图所示,该四棱锥侧面积等于

( A.20

) B.5 C.4(
﹣x

+1)

D.4 )

5.若 a>1,则在同一坐标系中,函数 f(x)=a

与函数 g(x)=logax 的图象可能是(

A.

B.

C.

D.

6.阅读如图所示程序图,如果输出 i=5,那么在空白矩形框中应填入的语句为 ( )

A.S=2*i

B.S=2*i﹣1

C.S=2*i﹣2

D.S=2*i+4

7.已知函数 f(x)=

,那么 f( )的值为(

)

A.﹣

B.﹣

C.

D.

8.在某新型材料的研制中,实验人员获得了如下一组实验数据:现准备下列四个函数中的一 个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( ) X 1.99 3 4 5.1 6.12 Y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 A.y=2x﹣1 B.log2
x

C.y=

D.y=( )

x

9. 把函数 y=cos (

﹣2x) 的图象向右平移

, 得到函数 f (x) 的图象, 则函数 f (x) 为( B.周期为 π 的偶函数 D.周期为 2π 的偶函数

)

A.周期为 π 的奇函数 C.周期为 2π 的奇函数

10.以双曲线 A.x +y ﹣10x+9=0 2 2 C.x +y +10x+16=0
2 2

的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( B.x +y ﹣10x+16=0 2 2 D.x +y +20x+9=0
2 2

)

11.某企业为节能减排,用 9 万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用 2 万元,从第 二年起,每年运营费用均比上一年增加 2 万元,该设备每年生产的收入均为 11 万元. 设该设 备使用了 n(n∈N )年后,年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本) ,则 n 等于 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 12.设函数 y=f(x)在区间(a,b)上的导函数为 f′(x) ,f′(x)在区间(a,b)上的导函数 为 f″(x) ,若在区间(a,b)上 f″(x)<0 恒成立,则称函数 f(x)在区间(a,b)“凸函数 “;已知 f(x)= A. (﹣∞, x ﹣ x ﹣ x 在(1,3)上为“凸函数”,则实数取值范围是( ) B. C. (﹣∞,﹣2) D.
4 3 2 *

)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上。 a 13.幂函数 y=x 的图象过点(2, ) ,则实数 a 的值为__________. 14. 已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离分别为 a 海里和 2a 海里, 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 和 B 的距离为__________海里.

15.设 O 为坐标原点,点 的最小值是__________.

,若 M(x,y)满足不等式组

,则

16.已知圆 C: (x﹣a) +(y﹣a) =1(a>0)与直线 y=2x 相交于 P、Q 两点,则当△ CPQ 的面积最大时,实数 a 的值为__________.

2

2

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.函数 f(x)=cos(πx+φ) (0<φ< (Ⅰ)写出 φ 及图中 x0 的值; (Ⅱ)设 g(x)=f(x)+f(x+ ) ,求函数 g(x)在区间 上的最大值和最小值. )的部分图象如图所示.

18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AD⊥CD,且 DB 平分∠ADC,E 为 PC 的中点,AD=CD=1,DB=2 ,PD=2. (Ⅰ)证明:AC⊥PB; (Ⅱ)求三棱锥 E﹣ABD 的体积.

19.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的一个焦点为 F(1,0) ,离心率为

.设 P 是椭圆

C 长轴上的一个动点,过点 P 且斜率为 1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 2 2 (Ⅱ)求|PA| +|PB| 的最大值.

20.最近,张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财.现有两种投资方案,且一年后 投资盈亏的情况如下: (1)投资股市: 投资结果 获利 不赔不赚 亏损 概 率 (2)购买基金: 投资结果 获利 概 率 (Ⅰ)当 p 时,求 q 的值;

不赔不赚

亏损 q

(Ⅱ)已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小,求 p 的取值范围; (Ⅲ)已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资,假设三种投资结果出现的可 能性相同,求一年后他们两人中至少有一人获利的概率. 21.已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣a(其中 a∈R,e 是自然对数的底数,e=2.71828…) . (Ⅰ)当 a=e 时,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)若 f(x)≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)求证:对任意正整数 n,都有 × ×…× > .
x

四、选作题:请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分, 作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。选修 4-1 几何证明选讲 22.已知△ ABC 中,AB=AC,D 为△ ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A,C 重合) ,延 长 BD 至 E,延长 AD 交 BC 的延长线于 F (1)求证:∠CDF=∠EDF; (2)求证:AB?AC?DF=AD?FC?FB.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.已知在平面直角坐标系 xOy 内,点 P(x,y)在曲线 C: 上运动.以 Ox 为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 为参数,θ∈R) .

(Ⅰ)写出曲线 C 的标准方程和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,点 M 在曲线 C 上移动,试求△ ABM 面积的最大 值.

选修 4-5:不等式选讲 24.设实数 a,b 满足 2a+b=9. (i)若|9﹣b|+|a|<3,求 x 的取值范围; 2 (ii)若 a,b>0,且 z=a b,求 z 的最大值.

陕西省宝鸡市 2015 届高考数学三模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的。 2 1.已知集合 A={0,1},B={x|x ≤4},则 A∩B=( ) A.{0,1} B.{0,1,2} C.{x|0≤x<2} D.{x|0≤x≤2} 考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 的交集即可. 解答: 解:由 B 中不等式变形得: (x﹣2) (x+2)≤0, 解得:﹣2≤x≤2,即 B=, ∵A={0,1}, ∴A∩B={0,1}. 故选:A. 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.若平面向量 =(1,2) , =(﹣2,y)且,则 A. B. C.2

,则| |=( D.5

)

考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题:平面向量及应用. 分析:通过向量垂直数量积为 0 求出 y,然后求解向量的模. 解答: 解:平面向量 =(1,2) , =(﹣2,y)且,则 可得﹣2+2y=0,解得 y=1, | |= 故选:B. = . ,

点评:本题考查向量的数量积的应用,向量垂直体积的应用,考查计算能力. 3.设 a,b 为实数,命题甲:a<b<0,命题乙:ab>b ,则命题甲是命题乙的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:根据充分必要条件的定义进行判断即可. 2 解答: 解:由 a<b<0 能推出 ab>b ,是充分条件, 2 由 ab>b ,推不出 a<b<0,不是必要条件, 故选:A. 点评:本题考查了充分必要条件,考查不等式问题,是一道基础题. 4.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其主视图如图所示,该四棱锥侧面积等于
2

)

(

) A.20 B.5 C.4( +1) D.4

考点:简单空间图形的三视图. 专题:空间位置关系与距离. 分析:由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,求出侧面的高后, 计算各个侧面的面积,相加可得答案. 解答: 解:由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥, 其底面棱长为 2, 高 h=2, 故侧面的侧高为 故该四棱锥侧面积 S=4× ×2× = =4 , ,

故选:D 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积, 解决本题的关键是得到该几何体的形状. 5.若 a>1,则在同一坐标系中,函数 f(x)=a
﹣x

与函数 g(x)=logax 的图象可能是(

)

A.

B.

C.

D.

考点:函数的图象. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据 a>1,把函数等价变形:y=a = 为对数函数,即可得到答案. 解答: 解:当 a>1 时,y=a =
﹣x ﹣x

为指数函数且为减函数,再利用 y=logax

为指数函数且为减函数,y=logax 为对数函数且为增

函数,只有 C 符合,其它均不符合, 故选:C. 点评:本题考查的知识是对数函数的图象与性质,指数函数的图象与性质,熟练掌握底数与指 数(对数)函数单调性的关系是解答本题的关键. 6.阅读如图所示程序图,如果输出 i=5,那么在空白矩形框中应填入的语句为 ( )

A.S=2*i

B.S=2*i﹣1

C.S=2*i﹣2

D.S=2*i+4

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:题目给出了输出的结果 i=5,让我们分析矩形框中应填的语句,根据判断框中内容,即 s<10,我们模拟程序执行的过程,从而得到答案. 解答: 解:当空白矩形框中应填入的语句为 S=2*i 时, 程序在运行过程中各变量的值如下表示: i S 是否继续循环 循环前 1 0/ 第一圈 2 5 是 第二圈 3 6 是 第三圈 4 9 是 第四圈 5 10 否 故输出的 i 值为:5,符合题意. 故选:A. 点评:本题考查了程序框图中的当型循环,当型循环是当条件满足时进入循环体,不满足条件 算法结束,输出结果,属于基础题.

7.已知函数 f(x)=

,那么 f( )的值为(

)

A.﹣

B.﹣

C.

D.

考点:函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析: 由已知条件利用分段函数的性质得 f ( ) =f ( ﹣1) =f (﹣ ) =sin (﹣ ﹣ . ) =﹣sin =

解答: 解:∵函数 f(x)=



∴f( )=f( ﹣1)=f(﹣ )=sin(﹣

)=﹣sin

=﹣



故选:B. 点评:本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意分段函数的性质的合理运 用. 8.在某新型材料的研制中,实验人员获得了如下一组实验数据:现准备下列四个函数中的一 个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( ) X 1.99 3 4 5.1 6.12 Y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 A.y=2x﹣1 B.log2
x

C.y=

D.y=( )

x

考点:归纳推理. 专题:函数的性质及应用;推理和证明. 分析:由表中的数据分析得:自变量基本上是等速增加,相应的函数值增加的速度越来越快, 结合基本初等函数的单调性,利用排除法可得出正确的答案. 解答: 解:由表格中的数据知,y 随 x 的变化趋势,可得函数在(1,+∞)上是增函数, 且 y 的变化随 x 的增大越来越快, ∵A 中函数是线性增加的函数,B 中函数是比线性增加还缓慢的函数,D 中函数是减函数; ∴排除 A,B、D 答案, C 中函数 y= 比较符合题意,

故选:C. 点评:本题考查函数模型的选择与应用问题,解题的关键是掌握各种基本初等函数,如一次函 数,二次函数,指数函数,对数函数的图象与性质,是基础题.

9. 把函数 y=cos (

﹣2x) 的图象向右平移

, 得到函数 f (x) 的图象, 则函数 f (x) 为(

)

A.周期为 π 的奇函数 B.周期为 π 的偶函数 C.周期为 2π 的奇函数 D.周期为 2π 的偶函数 考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质.

分析:由条件利用诱导公式,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的周期性、奇 偶性,得出结论. 解答: 解:把函数 y=cos( =cos=cos(2x﹣ ﹣2x)=cos(2x﹣ )的图象向右平移 ,得到函数 f(x)

)=sin2x 的图象,

由于 f(x)是周期为 π 的奇函数, 故选:A. 点评:本题主要考查诱导公式,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的周期性、 奇偶性,属于基础题.

10.以双曲线 A.x +y ﹣10x+9=0 2 2 C.x +y +10x+16=0
2 2

的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( B.x +y ﹣10x+16=0 2 2 D.x +y +20x+9=0
2 2

)

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题. 分析:求出双曲线 径,从而得到圆的方程. 解答: 解:右焦点即圆心为(5,0) ,一渐近线方程为 ,圆方程为(x﹣5) +y =16, 即 x +y ﹣10x+9=0, 故选 A. 点评: 本题考查双曲线的焦点坐标和其渐近线方程以及圆的基础知识, 在解题过程要注意相关 知识的灵活运用. 11.某企业为节能减排,用 9 万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用 2 万元,从第 二年起,每年运营费用均比上一年增加 2 万元,该设备每年生产的收入均为 11 万元. 设该设 * 备使用了 n(n∈N )年后,年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本) ,则 n 等于 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 考点:函数模型的选择与应用. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:根据题意建立等差数列模型,利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论. 解答: 解:设该设备第 n 年的营运费为 an,万元,则数列{an}是以 2 为首项,2 为公差的等 差数列,则 an=2n, 2 则该设备使用了 n 年的营运费用总和为 Tn=n +n,
2 2 2 2

的右焦点得到圆心,在求出圆心到其渐近线的距离得到圆的半

,即 4x﹣3y=0,

设第 n 年的盈利总额为 Sn,则 Sn=11n﹣(n +n)﹣9=﹣n +10n﹣9=﹣(n﹣5) +16, ∴当 n=5 时,Sn 取得最大值 16, 故选:B. 点评: 本题主要考查与数列有关的应用问题, 根据条件利用等差数列的通项公式求出盈利总额 的表达式是解决本题的关键. 12.设函数 y=f(x)在区间(a,b)上的导函数为 f′(x) ,f′(x)在区间(a,b)上的导函数 为 f″(x) ,若在区间(a,b)上 f″(x)<0 恒成立,则称函数 f(x)在区间(a,b)“凸函数 “;已知 f(x)= A. (﹣∞, x ﹣ x ﹣ x 在(1,3)上为“凸函数”,则实数取值范围是( ) B. C. (﹣∞,﹣2) D.
4 3 2

2

2

2

)

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题:综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由已知得 AC⊥BD,由线面垂直得 PD⊥AC,从而 AC⊥平面 PBD,由此能证明 AC⊥PB. (Ⅱ)由 VB﹣ADE=VE﹣ABD,利用等积法能求出三棱锥 B﹣ADE 的体积. 解答: (Ⅰ)证明:∵AD=CD,且 DB 平分∠ADC,∴AC⊥BD, 又 PD⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴PD⊥AC, 又∵PD∩BD=D,且 PD?平面 PBD,BD?平面 PBD, ∴AC⊥平面 PBD, 又 PB?平面 PBD,∴AC⊥PB. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)AF⊥BD, ∵AD⊥CD,AD=CD=1 知 F 为 AC 中点,∴AF= 由(2)知 AF⊥BD,∴S△ ABD= = , =1,

又∵PD⊥平面 ABCD,PD=2,E 为 PC 中点, ∴E 到平面 ABD 的距离为 h= ∴VB﹣ADE=VE﹣ABD= = , =1,

∴三棱锥 B﹣ADE 的体积为 . 点评:本题考查线面垂直的证明,考查三棱锥的体积,考查学生的计算能力,是中档题,正确 转化是关键.

19.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的一个焦点为 F(1,0) ,离心率为

.设 P 是椭圆

C 长轴上的一个动点,过点 P 且斜率为 1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 2 2 (Ⅱ)求|PA| +|PB| 的最大值.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)利用椭圆 C: + =1(a>b>0)的一个焦点为 F(1,0) ,离心率为 ,求出

c,a,可得 b,即可求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 P(m,0) (﹣ ≤m≤ ) ,则直线 l 的方程为 y=x﹣m,代入椭圆方程,表示出 2 2 2 2 |PA| +|PB| ,利用韦达定理代入,即可求|PA| +|PB| 的最大值. 解答: 解: (Ⅰ)∵椭圆 C: + =1(a>b>0)的一个焦点为 F(1,0) ,离心率为 ,

∴c=1, = ∴a= ∴b= ,



=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∴椭圆的方程为

(Ⅱ)设点 P(m,0) (﹣ ≤m≤ ) ,则直线 l 的方程为 y=x﹣m,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 2 2 代入椭圆方程,消去 y,得 3x ﹣4mx+2m ﹣2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2= ,x1x2= ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣ 2 2 2 2 2 2 ∴|PA| +|PB| =(x1﹣m) +y1 +(x2﹣m) +y2 =2 =2=﹣ m + ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵﹣ ≤m≤ ,即 0≤m ≤2
2 2 2 2 2 2

∴当 m=0 时, (|PA| +|PB| )max= ,|PA| +|PB| 的最大值为 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣ 点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学 生的计算能力,属于中档题. 20.最近,张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财.现有两种投资方案,且一年后 投资盈亏的情况如下: (1)投资股市: 投资结果 获利 不赔不赚 亏损 概 率 (2)购买基金: 投资结果 获利

不赔不赚

亏损

概 率 (Ⅰ)当

p 时,求 q 的值;

q

(Ⅱ)已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小,求 p 的取值范围; (Ⅲ)已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资,假设三种投资结果出现的可 能性相同,求一年后他们两人中至少有一人获利的概率. 考点:相互独立事件的概率乘法公式;互斥事件的概率加法公式. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ)由题意可得 p+ +q=1,代入 (Ⅱ)由题意可得 可得 q 值;

,再由 p+ +q=1 和概率的取值范围,解不等式可得;

(Ⅲ)列举可得所有可能的投资结果有 9 种,事件 A 的结果有 5 种,由概率公式可得. 解答: 解: (Ⅰ)∵“购买基金”后,投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种, 且三种投资结果相互独立,∴p+ +q=1, 又∵ ,∴q= ; ,

(Ⅱ)∵由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小,∴ ∵p+ +q=1,∴ 又∵ ,q≥0,∴ ,解得 ,∴ , ;

(Ⅲ)记事件 A 为“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”, 用 a,b,c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”, 用 x,y,z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”, 则一年后张师傅和李师傅购买基金,所有可能的投资结果有 3×3=9 种, 它们是: (a,x) , (a,y) , (a,z) , (b,x) , (b,y) , (b,z) , (c,x) , (c,y) , (c,z) , ∴事件 A 的结果有 5 种,它们是: (a,x) , (a,y) , (a,z) , (b,x) , (c,x) . ∴这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率 点评:本题考查相互独立事件发生的概率,涉及列举法求基本事件数,属中档题. 21.已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣a(其中 a∈R,e 是自然对数的底数,e=2.71828…) . (Ⅰ)当 a=e 时,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)若 f(x)≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)求证:对任意正整数 n,都有 × ×…× > .
x

考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极 值. 专题:计算题;证明题;函数的性质及应用;导数的综合应用. x x 分析: (Ⅰ) 当 a=e 时,f(x)=e ﹣ex﹣e,f′(x)=e ﹣e,从而由导数的正负确定函数的单 调性及极值; x (Ⅱ)求导 f′(x)=e ﹣a,从而讨论确定函数的单调性,由函数的单调性确定函数的最值, 从而化恒成立问题为最值问题; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a=1 时,f(x)≥0 恒成立,从而可化出 ln(x+1)≤x,令 x= 从而得到 ,从而证明.
x x

(n∈N ) ,

*

解答: 解: (Ⅰ) 当 a=e 时,f(x)=e ﹣ex﹣e,f′(x)=e ﹣e, 当 x<1 时,f′(x)<0;当 x>1 时,f′(x)>0. 所以函数 f(x)在(﹣∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以函数 f(x)在 x=1 处取得极小值 f(1)=﹣e,函数 f(x)无极大值. (Ⅱ)由 f(x)=e ﹣ax﹣a,f′(x)=e ﹣a, 若 a<0,则 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增, 当 x 趋近于负无穷大时,f(x)趋近于负无穷大; 当 x 趋近于正无穷大时,f(x)趋近于正无穷大, 故函数 f(x)存在唯一零点 x0, 当 x<x0 时,f(x)<0;当 x>x0 时,f(x)>0. 故 a<0 不满足条件. x 若 a=0,f(x)=e ≥0 恒成立,满足条件. 若 a>0,由 f′(x)=0,得 x=lna, 当 x<lna 时,f′(x)<0;当 x>lna 时,f′(x)>0, 所以函数 f(x)在(﹣∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增, 所以函数 f(x)在 x=lna 处取得极小值 f(lna)=﹣a?lna, 由 f(lna)≥0 得﹣a?lna≥0, 解得 0<a≤1. 综上,满足 f(x)≥0 恒成立时实数 a 的取值范围是. (Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知,当 a=1 时,f(x)≥0 恒成立, x 所以 f(x)=e ﹣x﹣1≥0 恒成立, x 即 e ≥x+1, 所以 ln(x+1)≤x,令 x= 得 , )+…+ln(1+ )< + , +…+ =1﹣ <1, (n∈N ) ,
* x x

则有 ln(1+ )+ln(1+ 所以

所以







点评:本题考查了导数的综合应用及恒成立问题,难点在于证明不等式时函数的构造与化简, 属于难题. 四、选作题:请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分, 作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。选修 4-1 几何证明选讲 22.已知△ ABC 中,AB=AC,D 为△ ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A,C 重合) ,延 长 BD 至 E,延长 AD 交 BC 的延长线于 F (1)求证:∠CDF=∠EDF; (2)求证:AB?AC?DF=AD?FC?FB.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:推理和证明. 分析: (I)根据 A,B,C,D 四点共圆,可得∠ABC=∠CDF,AB=AC 可得∠ABC=∠ACB, 从而得解. 2 (II)证明△ BAD∽△FAB,可得 AB =AD?AF,因为 AB=AC,所以 AB?AC=AD?AF,再根 据割线定理即可得到结论. 解答: 证明: (I)∵A,B,C,D 四点共圆,∴∠ABC=∠CDF 又 AB=AC∴∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB,∴∠ADB=∠CDF, 对顶角∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF; (II)由(I)得∠ADB=∠ABF, ∵∠BAD=∠FAB, ∴△BAD∽△FAB, ∴ =
2



∴AB =AD?AF, ∵AB=AC, ∴AB?AC=AD?AF, ∴AB?AC?DF=AD?AF?DF, 根据割线定理 DF?AF=FC?FB, ∴AB?AC?DF=AD?FC?FB.

点评:本题以圆为载体,考查圆的内接四边形的性质,考查等腰三角形的性质,考查三角形的 相似,属于基础题. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23.已知在平面直角坐标系 xOy 内,点 P(x,y)在曲线 C: 上运动.以 Ox 为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 为参数,θ∈R) .

(Ⅰ)写出曲线 C 的标准方程和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,点 M 在曲线 C 上移动,试求△ ABM 面积的最大 值. 考点:简单曲线的极坐标方程. 专题:计算题. 分析: (1)先将原极坐标方程 利用三角函数的和角公式后再化成直角坐

标方程,再利用消去参数 θ 得到曲线 C 的直角坐标方程. (2)欲求△ ABM 面积的最大值,由于 AB 一定,故只要求 AB 边上的高最大即可,根据平面 几何的特征,当点 M 在过圆心且垂直于 AB 的直线上时,距离 AB 最远,据此求面积的最大 值即可. 解答: 解: (1)消去参数 θ,得曲线 C 的标准方程: (x﹣1) +y =1. 由 得:ρcosθ﹣ρsinθ=0,
2 2

即直线 l 的直角坐标方程为:x﹣y=0. (2)圆心(1,0)到直线 l 的距离为 则圆上的点 M 到直线的最大距离 为 (其中 r 为曲线 C 的半径) , .设 M 点的坐标为 ,

(x,y) , 则过 M 且与直线 l 垂直的直线 l'方程为:x+y﹣1=0, 则联立方程 ,

解得

,或



经检验

舍去.

故当点 M 为
max=

时,△ ABM 面积的最大值为(S△ ABM) .

点评:本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及利用平面几何知识解决最值问题.利用直 2 2 2 角坐标与极坐标间的关系,即利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y ,进行代换即得. 选修 4-5:不等式选讲 24.设实数 a,b 满足 2a+b=9. (i)若|9﹣b|+|a|<3,求 x 的取值范围; 2 (ii)若 a,b>0,且 z=a b,求 z 的最大值. 考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (i)由题意可得|9﹣b|=2|a|,不等式|9﹣b|+|a|<3 可化为|a|<1,由此解得 a 的范围. 2 (ii)因为 a,b>0,2a+b=9,再根据 z=a b=a?a?b,利用基本不等式求得它的最大值. 解答: 解: (i)由 2a+b=9 得 9﹣b=2a,即|9﹣b|=2|a|. 所以|9﹣b|+|a|<3 可化为 3|a|<3,即|a|<1,解得﹣1<a<1. 所以 a 的取值范围﹣1<a<1. (ii)因为 a,b>0,2a+b=9, 所以 ,当且仅当 a=b=3 时,等号成立.

故 z 的最大值为 27.… 点评:本题主要考查绝对值不等式的解法,基本不等式的应用,体现了转化的数学思想,属于 基础题.



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