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高二数学必修五 2.2.2等差数列 (2)



2.2.2 等差数列 (2)

1、定义:
如果一个数列从第2项起,每一项与它 的前一项 的差都等于同一个常数,那么这 这个常数叫 个数列就叫做等差数列. 做等差数列的公差,公差通常用 d 表示.



a n ? a n ?1 ? d ( n ? 2)

2、通项公式:

知等差数列?an ? 中, am , d 是常数,试求出 an 的值.

?am ? a1 ? (m ? 1)d ? an ? a m ? ( n ? m ) d ? ?an ? a1 ? (n ? 1)d ? an ? am ? (n ? m)d
公式推广: an ? am ? (m ? n)d , n ? N?

an ? am d? n?m

3、等差中项:
如 果a , A, b成 等 差 数 列 , 那 么 a?b . A 叫 做a与 b的 等 差 中 项, 且 A ? 2
由此得,在等差数列a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , … an , …中,



an ?1 ? an ?1 an ? ( n ? 2) 2 2 a n ? a n ?1 ? a n ?1 ( n ? 2)

1.△ABC中,若角A、B、C成等差数列,则B=60 ? 。

a4 ? a12 ? 80, 40 则a8 ? ______; 2.等差数列 {an } 中,

a3 ? a13 ? ______; a6 ? a10 ? _______ 80 80
3.等差数列{an }中, a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450 , 则 a2 ? a8 ? 180 。 4.等差数列{an } 中, a5 ? 8,a10 ? 20,则a15 ? 32 。

从函数的角度来看等差数列通项公式:

a n ? a 1 ? ( n ? 1)d ? d ? n ? a 1 ? d a n ? d ? n ? a1 ? d ( d ? 0 ) 是 关 于 n 的 一 次 式,
所以等差数列通项公式也可以表示为:

a n ? pn ? q ( p ? d , q ? a1 ? d )
{ a n } 是 等 差 数 列? a n ? pn ? q ( p , q 是 常 数)

等差数列{an} 的判定方法:

(1) {a n } 是等差数列 ? a n ? a n ?1 ? d ( d 是常数, n ? 2)
( 2) {a n } 是等差数列 ? a n ? kn ? b ( k , b 是常数 )
(3) {an } 是等差数列 an ?1 ? an ?1 ? an ? ( n ? 2) 2

等差数列性质:若数列{an}是公差为d 的等差数列,则
*

(1) 若 m 、 n、 p、 q? N 且 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq . (2) S k , S 2 k ? S k ,S 3k ? S 2k , ? 组成的数列仍然是
等差数列 .

(3)S 2 n ?1 ? (2n ? 1)an
(4) ak , ak ? m ,ak ? 2m , ? 组成的数列仍然是 等差数列,且公差为

md .

(5) 若数列 {a n } 与 {bn }均为等差数列 , 则数列 {man ? kbn }(m , k 为常数 )仍为等差数列 .

(1) 若 m 、 n、 p、 q? N 且m ? n ? p? q 则 a m ? a n ? a p ? a q (反之不成立 )
*

证明: 由通项公式得: am ? an ? a1 ? (m ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)d ? 2a1 ? (m ? n ? 2)d a p ? a q ? a1 ? ( p ? 1)d ? a1 ? ( q ? 1)d ? 2a1 ? ( p ? q ? 2)d

? m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq

例1.(1)已知等差数列{an}中, a7+a9=10, a4=1, 求a12 ;

(2)已知等差数列{an}中,a1+ a4+a7=39, a2+ a5+a8=33 , 求 a3+ a6+a9 . 解:(1) ∵a7+a9 = a4+a12 =10 , ∴ a12=10 -1 = 9. (2) ∵a1+ a4+a7= a4+ a4+a4 =39 , ∴ a4= 13. 又 a2+ a5+a8= a5+ a5+a5 =33 , ∴ a5= 11. 又 a3+ a6+a9= a6+ a6+a6 = 3a6 ,
∵ a6+a4= a5+ a5 ∴ a6= 2a5-a4 = 9. ∴ a3+ a6+a9=3a6 = 27.

练习: 在 等 差 数 列 {a n } 中 .

(1) 已 知 a 2 ? a 3 ? a11 ? a12 ? 76, 求 a7 ; ( 2) 已 知 a 2 ? a 3 ? a4 ? a5 ? 34,a 2 a5 ? 52, 且 d ? 0, 求 d, an .

(d ? 0)

练习: 例2 在 等 差 数 列 {a n } 中 .

(1) 已 知 a 2 ? a 3 ? a11 ? a12 ? 76, 求 a7 ; ( 2) 已 知 a 2 ? a 3 ? a4 ? a5 ? 34,a 2 a5 ? 52, 且 d ? 0, 求 d, an .

? a2 , a5 是 x ? 17x ? 52 ? 0 的二实根 , a5 ? a 2 13 ? 4 ? ? 3, 解得 a2 ? 4 , a5 ? 13(d ? 0). ? d ? 5?2 5?2 an ? a2 ? (n ? 2)d ? 4 ? (n ? 2) ? 3 ? 3n ? 2 .
2

B

例2. 已知四个数 m , x , n , 2x 成等差数列, 则 m ? __________ .

n

解: 由 m , x , n , 2x 成等差数列 , 得 2x = m+ n

3 ? n? x,m? 1x. 2 2 2n = x+ 2x

m 1 ? ? . n 3

说 明:

当已知三数成等差数列 且和一定时, 可设三数为 :a ? d , a, a?d . 当已知四数成等差数列 且和一定时, 可设四数为 :a ? 3d , a?d, a?d, a ? 3d .



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