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3.1.1数系的扩充和复数的概念(王静公开课)


计数的需要
引入负整数

自然数(正整数与零)
R

解方程x+3=1
引入分数

整数
Q

解方程3 x=5
引入无理数

有理数

Z N

解方程x2=2

实数

可以发现数系的每一次扩充,解决了在原有数集中某种运算不能 实施的矛盾,且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留。

问 题1:
一元二次方程

x ? 1 ? 0 ,有没有实数根?
2

类比每一次数系的扩充过程,我们能否引 进一个新数,将实数集进行扩充,使得在 新的数集中,该问题能得到解决呢?

2016/3/6

1545年意大利有名的数学 “怪杰” 卡尔丹 第一次开始讨论负数开平方的问题,当时
这种数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年, 法国数学家笛卡尔才给这种“虚幻之数”取 了一个名字——虚数.1777年 瑞士数学家 欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”, 并用i(imaginary,即虚幻的缩写)来表 示它的单位.直到1801年,德国数学家高斯

系统地使用了i这个符号,于是使之通行于 世 。
2016/3/6

问题解决:
为了解决负数开平方问题,数学家引

入一个新数 i ,把 i 叫做虚数单位,并且
规定:

(1) i2??1 ; (2)实数可以与i 进行四则运算,在进行四 则运算时,原有的加法与乘法的运算律仍 然成立.
2016/3/6

问 题 2:
把实数和新引进的数i 像实数那

样进行运算,你得到什么样的数?

i 与实数b 相乘得bi ,规定0乘以i 等于0 bi 与实数a相加得a+bi

2016/3/6

自主学习
? 复数:形如____________________ a+bi(a,b∈R)的数 叫做 z 表示,全体复数构成 复数,常用字母____ C 复数集 ,常用字母__表示. 的集合叫做_______ z= a+bi(a,b∈R), , ? 复数的代数形式:_________________ a b 其中__叫做复数的实部,__叫做复数 实数 的虚部,复数的实部和虚部都是___.

2016/3/6

知新

复数的概念

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数, 通常用字
母z表示. 全体复数所形成的集合叫做复数集, 一般用字母C表示. 复数的代数形式:

z ? a ? bi
实 部 虚 部

(a ? R, b ? R)

2016/3/6

小试牛刀
说出下列复数的实部和虚部?
1 - 2 ? i, 3

实数

3 - 9 2i.

- 3i,

2 . 2

复数z=a+bi(a ∈ R、b ∈ R)能表示实数和虚数
2016/3/6

虚数

自主学习 ? ? ? ? ? 对于复数a+bi(a,b∈R), b=0 当且仅当_____时 ,它是实数; a=0且b=0 当且仅当_____时 ,它是实数0; b≠0 当_______时 , 叫做虚数; a=0且b≠0 当_______时 , 叫做纯虚数;

2016/3/6



题 3:

复数z=a+bi(a ∈ R、b ∈ R)能表示实数和虚数 如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?
?实数(b ? 0) ? ?纯虚数(a ? 0,b ? 0) ? ?虚数(b ? 0) ?非纯虚数(a ? 0,b ? 0) ? ?
2016/3/6

复数z=a+bi



题 4:

你们可以用韦恩图把复数集与实数集、虚 数集、纯虚数集之间的关系表示出来吗?

虚数集 复数集C 纯虚数集
实数集R

2016/3/6



题 5:

若复数 a + bi = c + di(a, b, c, d ? R) a,b,c,d应满足什么条件呢?

2016/3/6

问题解决:
么我们就说这两个复数相等.即

知新

▲ 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那

a ? bi ? c ? di
思考

( a , b, c , d ? R )

?a ? c ?? ?b ? d

?a ? 0 若a ? bi ? 0(a、b ? R) ?? ?b ? 0
2016/3/6

口 答

1.若 2-3 i =a-3 i ,求实数 a 的值; 2.若8+5i=8+bi,求实数b的值; 3.若4+bi=a-2i,求实数a,b的值。

2016/3/6

例 1:完成下列表格(分类一栏填实数、虚数
或纯虚数)

2-3i
实部 虚部

0
0

2
-3

1 4 ? ? i 2 3 1 ? 2

6i
0
6
纯虚 数

i
-1

2

0

4 3

0
实数

分类

虚数 实数 虚数

2016/3/6

实数m取什么值时,复数 z ? m ? 1 ? (m ? 1)i 是 (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?

例2:

解:(1)当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1 时,复数z 是实数.
(2)当 m ? 1 ? 0 ,即 m

?1

时,复数z 是虚数.

?10时,复 m ?0 (3)当 m ? 1 ? 0 ,且 m ? 1 ? 0 ,即 m ?m 1? ?1? 0
数 z 是纯虚数.
2016/3/6

例3: 已知 (2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y )i 其中

x, y ? R, 求
解题思考: 复数相等 的问题

x与y.
求方程组的解 的问题

转化

一种重要的数学思想:转化思想

解:根据复数相等的定义,得方程组

?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ?( 3 ? y )



5 x? ,y?4 2
2016/3/6

虚数的引入 复 数 z = a + bi (a,b∈R)

复数的分类
当b=0时z为实数; 当b?0时z为虚数
(此时,当a =0时z为纯虚数).

复数的相等
a+bi=c+di (a, b,c,d?R)
a=c b=d

2016/3/6

一、教材第55页,A组1、2 二、《教辅资料》题型一、题 型二

练一练
当m为何实数时,复数

是 (1)实数

(2)虚数

(3)纯虚数

m ? 1或m ? ?1
m ? 1且m ? ?1
m ? ?2
2016/3/6



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