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数学文卷·2014届浙江省绍兴市第一中学高三上学期期中考试(2013.10)



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说明:1、本试题卷分选择题和非选择题部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2、请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. 设全集 U ? ?1

, 2,3, 4,5? , A ? ?1, 2? , B ? ?2,3, 4? ,则 (CU A) ? B ? ( A. ?3, 4? B. ?3, 4,5? C. ?2,3, 4,5? C )

D. ?1, 2,3, 4? ( D )

2.将圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 平分的直线的方程可以是
A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

D. x ? y ? 3 ? 0

[

3.已知直线 y ? 3 x ? 1 的倾斜角为 ? ,则 tan 2? =( B ) B、 ? 3

A、 3

C、

3 3

D、 ?

3 3
)

]

4.若平面向量 b 与向量 a ? ( 2,1) 平行,且 | b |? 2 5 ,则 b ? ( D A. (4,2) B. (?4,?2) C. (6,?3)

D. (4,2) 或 (?4,?2)

5.已知等比数列 ?a n ?中,各项都是正数,且 a1 , A. 1? 2 B. 1? 2

a ? a9 1 等于(C) a3 ,2a 2 成等差数列,则 8 a6 ? a7 2
D. 3 ? 2 2

C. 3 ? 2 2

6. A 为三角形的内角,则 sin A ?

1 3 是 cos A ? 的 2 2

(A



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

??2a-1?x+7a-2?x<1? ? 7.函数 f(x)=? x 在(-∞,+∞)上单调递减,则实数 a 的取值范围是 ? ?a ?x≥1?

( C) A.(0,1) 1 B.(0, ) 2 3 1 C.[ , ) 8 2 3 D.[ ,1) 8

8.已知 e1 和 e2 是平面上的两个单位向量,且 e1 ? e2 ? 1 , OP ? me1 , OQ ? ne2 ,若
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??

?? ?

?? ?? ?

??? ?

?? ???? ?

?? ?

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??? ???? 2 ? O 为坐标原点, m, n 均为正常数,则 OP ? OQ 的最大值为( A )

?

?

A. m2 ? n2 ? mn

B. m2 ? n2 ? mn

C. (m ? n)

2

D. (m ? n)

2

9.设函数 f ( x) ? loga x (0 ? a ? 1)的定义域为 [m, n](m ? n) ,值域为 [0, 1] ,若 n ? m 的 最小值为 ,则实数 a 的值为( A.

1 3

D )

1 4

B.

1 2 或 4 3

C.

2 3

D.

2 3 或 3 4

10.函数 y ? 于 A、2

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和等 x ?1
( C ) B、3 C、4 D、6

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。
?2, x ? 0
2 ?x , x ? 0

11.若函数 f ( x) ? ?

,则满足 f (a) ? 1 的实数 a 的值为

-1



12.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别 a,b,c,若 a 2 ? b 2 ?

1 2 c .则直线 ax ? by ? c ? 0 被圆 2

x 2 ? y 2 ? 9 所截得的弦长为

2 7



13.函数 f ( x) ? sin x(sin x ? cos x) 的最小正周期为 14.已知菱形 ABCD 的边长为 2, ?DAB ? 60
0

?



,E、F 分别为 CD,BC 的中点,则 AF ? BE =

3 2
15.若正数 x, y 满足 2 x ? y ? 3 ? 0 ,则

x ? 2y 的最小值为 xy

3



? y?x ? 16.设 m ? 1, 在约束条件 ? y ? mx 下,目标函数 z ? x ? 5 y 的最大值为 4,则 m 的值为 ▲ ?x ? y ? 1 ?
_3_ . 17. 已 知 f ( x) ? log ( 4 ? 4 的值域是 y ? [ f ( x)]
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4x ), ? R, 定 义 [ x] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 则 函 数 x 1 ? x2

{0,1}



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三、解答题:本大题共 5 个小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明或演算过程。

p :不等式 | x ? 1 | ? | x ? 3 |? a 对一切实数 x 都成立;命题 q : 3 2 已知函数 f ( x) ? mx ? nx 的图像在点 (?1,2) 处的切线恰好与直线 2 x ? y ? 1 平行,且 f (x) 在 [a, a ? 1] 上单调递减。若命题 p 或 q 为真,求实数 a 的取值范围。
18.(本题满分 14 分)命题

19.(本题满分 14 分) 已知 a , b , c 分别是 ?ABC 的三个内角 A , B , C 的对边, (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 y ? 3 sin B ? sin(C ? 解: (I)由正弦定理,得:

2b ? c cos C . ? a cos A

?
6

) 的值域.
…………………………2 分

2sin B ? sin C cos C ? sin A cos A 即 2sin B cos A ? sin A cos C ? sin C cos A 故 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ? sin B 1 2

…………………………………4



? sin B ? 0,? cos A ?
所以 A ? 分 (II)? A ? 分

?
3

……………………………………………………6

?
3

2 2 ? B ? C ? ? 且B ? (0, ? ) 3 3

……………………………8

? y ? 3 sin B ? sin(C ? ) ? 3 sin B ? sin( ? B) 6 2 ? 3 sin B ? cos B ? 2sin( B ? ) 6

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?

?

?

……………………11

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2 ? ? 5 ? 1 ? B ? (0, ? ), B ? ? ( , ? ),? sin( B ? ) ? ( ,1] ………………13 分 3 6 6 6 6 2 所以所求函数值域为 (1, 2] ……………………14 分
20.(本题满分 14 分)已知等比数列 ?a n ?的前 n 项和 S n 零的等差数列 ?bn ?满足: b1 (Ⅰ) 求 a 及 bn ; (Ⅱ) 设数列

? 2 n ? a, a, n ? N ? .设公差不为

? a1 ? 2 ,且 b2 ? 5, b4 ? 5, b8 ? 5 成等比.

?log

2

an ?的前 n 项和为 Tn .求使 Tn ? bn 的最小正整数 n 的值.

(Ⅰ) 当 n=1 时,a1=S1=2-a. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1. 所以 1=2-a,得 a=1, 所以 an=2n-1. 设数列{bn}的公差为 d,由 b1=3,(b4+5)2=(b2+5)(b8+5),得 (8+3d)2=(8+d)(8+7d), 故 d=0 (舍去) 或 d=8. 所以 a=1,bn=8n-5,n∈N*. ………… 7 分 (Ⅱ) 由 an=2n-1,知

log 2 an=2(n-1).
所以 Tn=n(n-1). 由 bn=8n-5,Tn>bn,得 n2-9n+5>0, 因为 n∈N*,所以 n≥9. 所以,所求的 n 的最小值为 9. ………… 14 分
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21.(本题满分 15 分)已知函数 (Ⅰ) 求

f ( x) ? x 3 ? 3ax ? 1, a ? R .

f (x) 的单调区间; f ( x) ? 1对 x ? [0, 3 ] 恒成立.

(Ⅱ) 求所有的实数 a ,使得不等式 ? 1 ? (Ⅰ) f ′(x)=3x2-3a.

当 a≤0 时,f ′(x)≥0 恒成立,故 f (x)的增区间是(-∞,+∞). 当 a>0 时,由 f ′(x)>0,得 x<- a 或 x> a , 故 f (x)的增区间是(-∞,- a ]和[ a ,+∞),f (x)的减区间是[- a , a ]. ………… 7 分 (Ⅱ) 当 a≤0 时,由(Ⅰ)知 f (x)在[0, 3 ]上递增,且 f (0)=1,此时无解. 当 0<a<3 时,由(Ⅰ)知 f (x)在[0, a ]上递减,在[ a , 3 ]上递增,所以 f (x)在[0,

3 ]上的最小值为
f ( a )=1-2a a . 所以

? f ( a ) ? ?1, ? ? ? f ( 3) ? 1, ? f (0) ? 1, ? ?


? a a ? 1, ? ? ? a ? 1, ?
所以 a=1. 当 a≥3 时,由(Ⅰ)知 f (x)在[0, 3 ]上递减,又 f (0)=1,所以 f ( 3 )=3 3 -3 3 a+1≥-1, 解得 a≤1+ 此时无解. 综上,所求的实数 a=1. ………… 15 分
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2 3 , 9

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22.(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? 2 ?

1 1 ( 。 ? 2 , a?R 且 a ? 0) a a x

(1)设 mn ? 0 ,令 F ( x) ? af ( x) ,试判断函数 F (x) 在 [m, n] 上的单调性并证明你的 结论; (2)若 0 ? m ? n 且 a ? 0时, (x) 的定义域和值域都是 [m, n] ,求 n ? m 的最大值; f (3)若不等式 | a f ( x) |? 2 x 对 x ? 1恒成立,求实数 a 的取值范围;
2

解:方法一: (1)证明:任取 x1 , x2 ? [m, n], 且x1 ? x2 , F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? a[ f ( x2 ) ? f ( x1 )] ? 当 a>0 时, F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? 0 ,F(x)在 [m, n] 上单调递增; 当 a<0 时, F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? 0 ,F(x)在 [m, n] 上单调递减……………5 分 方法二: F(x)=af(x)=2a+1-

1 x2 ? x1 a x2 x1

1 1 1 ,则 F ' (x)= ax a x2

当 a>0 时, F ' (x) 0 ,F(x)在 [m, n] 上单调递增; ? 当 a<0 时, F ' (x) 0 ,F(x)在 [m, n] 上单调递减……………………………5 分 ? (2)由(1)知函数 af(x) 在 [m, n] 上单调递增;因为 a>0 所以 f(x)在[m,n]上单调递 增,(x) f 的定义域、 值域都是[m,n],则 f m) (n) ( =m,f =n,即 m,n 是方程 2 ?
2 2 2

1 1 ? ?x a a2 x

的两个不等的正根,等价于方程 a x ? (2a ? a) x ? 1 ? 0 有两个不等的正根,等价于

? ? (2a ? a) ? 4a ? 0且
2 2

2a 2 ? a x1 ? x2 ? ?0 a2

且x1 x2 ?

1 1 ?0 , 则 a? , 2 a 2

?n ? m ?

1 4a 2 ? 4a ? 3 ? a

1 2 16 1 3 ?3( ? ) 2 ? , a ? ( , ??), ? a ? 时, n ? m 最 a 3 3 2 2

大值是

4 3 ………………………10 分 3

( 3 ) a 2 f ( x ) ? 2a 2 ? a ?

1 2 ? , 则 不 等 式 | a f ( x) | x

2 x 对 x ?1 恒 成 立 , 即

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? 2 a2 ? a?2 x ? 1 ? x 1 2 ?2 x ? 2a ? a ? ? 2 x 即不等式 ? 2 a 2 ? a ? 1 ? 2 x ? x x ?

,对 x ? 1恒成立,

1 1 令 h( x)= 2 x ? x , 易 证 h (x) 在 [1, ??) 递增 ,同 理 g ( x) ? ? 2 x [1, ??) 递减 。

x

? h( x)min ? h(1) ? 3, g ( x)max ? g (1) ? ?1

??

?

2 a2 ? a ?3 2 a2 ? a ??1

3 ?? ? a ? 1 …………………………………………………15 分 2

? 3 ? ? a ? 0,? a ? ? ? , 0 ? ? ? 0,1? 。 ? 2 ?

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绍兴一中 纸

2013 学 年 第一学期

高三数学期中考答题

(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

1

2

3

4

5

6

7

8

9 0

1

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11、 15、 . 12、 . 16、 . 13、 . 17、 . 14、 .

三、解答题(本大题共 5 个小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明或演算过程。 ) 18、 (本小题满分 14 分) 解:

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19、 (本小题满分 14 分) 解:

20、 (本小题满分 14 分) 解:
[来源:Z.X.X.K]

全品高考网 第 9 页 共 15 页

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21、 (本小题满分 15 分) 解:

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22、 (本小题满分 15 分) 解:

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绍兴一中

2013 学 年 第一 学期

高三数学期中试卷(文科)

说明:1、本试题卷分选择题和非选择题部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2、请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? , A ? ?1, 2? , B ? ?2,3, 4? ,则 (CU A) ? B ? A. ?3, 4? B. ?3, 4,5? C. ?2,3, 4,5? D. ?1, 2,3, 4?

2.将圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 平分的直线的方程可以是
A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 3 ? 0
[

3.已知直线 y ? 3 x ? 1 的倾斜角为 ? ,则 tan 2? = B. ? 3

A. 3

C.

3 3

D. ?

3 3

]

4.若平面向量 b 与向量 a ? ( 2,1) 平行,且 | b |? 2 5 ,则 b ? A. (4,2) B. (?4,?2) C. (6,?3) D. (4,2) 或 (?4,?2)

5.已知等比数列 ?a n ?中,各项都是正数,且 a1 , A. 1? 2 B. 1? 2

a ? a9 1 等于 a3 ,2a 2 成等差数列,则 8 a6 ? a7 2
D. 3 ? 2 2

C. 3 ? 2 2

6. A 为三角形的内角,则 sin A ?

1 3 是 cos A ? 的 2 2
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

??2a-1?x+7a-2?x<1? ? 7.函数 f(x)=? x 在(-∞,+∞)上单调递减,则实数 a 的取值范围是 ? ?a ?x≥1?

A.(0,1)

1 B.(0, ) 2

3 1 C.[ , ) 8 2

3 D.[ ,1) 8

8.已知 e1 和 e2 是平面上的两个单位向量,且 e1 ? e2 ? 1 , OP ? me1 , OQ ? ne2 ,若

??

?? ?

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??? ?

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??? ???? 2 ? O 为坐标原点, m, n 均为正常数,则 OP ? OQ 的最大值为

?

?

A. m2 ? n2 ? mn

B. m2 ? n2 ? mn

C. (m ? n)

2

D. (m ? n)

2

9.设函数 f ( x) ? loga x (0 ? a ? 1)的定义域为 [m, n](m ? n) ,值域为 [0, 1] ,若 n ? m 的 最小值为 ,则实数 a 的值为 A.

1 3

1 4

B.

1 2 或 4 3

C.

2 3

D.

2 3 或 3 4

10.函数 y ? 于 A.2

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和等 x ?1
B. 3 C.4 D.6

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。
?2, x ? 0
2 ?x , x ? 0

11.若函数 f ( x) ? ?

,则满足 f (a) ? 1 的实数 a 的值为





12.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别 a,b,c,若 a 2 ? b 2 ?

1 2 c .则直线 ax ? by ? c ? 0 被圆 2

x 2 ? y 2 ? 9 所截得的弦长为



. ▲ .

13.函数 f ( x) ? sin x(sin x ? cos x) 的最小正周期为 14.已知菱形 ABCD 的边长为 2, ?DAB ? 60 ▲ 15.若正数 x, y 满足 2 x ? y ? 3 ? 0 ,则
0

,E、F 分别为 CD,BC 的中点,则 AF ? BE =

x ? 2y 的最小值为 xy





? y?x ? 16.设 m ? 1, 在约束条件 ? y ? mx 下,目标函数 z ? x ? 5 y 的最大值为 4,则 m 的值为 ?x ? y ? 1 ?
▲ .

17. 已 知 f ( x) ? log ( 4 ? 4 的值域是 y ? [ f ( x)]

4x ), ? R, 定 义 [ x] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 则 函 数 x 1 ? x2
▲ 。

三、解答题:本大题共 5 个小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明或演算过程。 18.(本题满分 14 分)命题
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p :不等式 | x ? 1 | ? | x ? 3 |? a 对一切实数 x 都成立;命题 q :

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已知函数

f ( x) ? mx 3 ? nx 2 的图像在点 (?1,2) 处的切线恰好与直线 2 x ? y ? 1 平行,且 f (x) 在 [a, a ? 1] 上单调递减。若命题 p 或 q 为真,求实数 a 的取值范围。

19.(本题满分 14 分) 已知 a , b , c 分别是 ?ABC 的三个内角 A , B , C 的对边, (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 y ? 3 sin B ? sin(C ?

2b ? c cos C . ? a cos A

?
6

) 的值域.

20.(本题满分 14 分)已知等比数列 ?a n ?的前 n 项和 S n 零的等差数列 ?bn ?满足: b1 (Ⅰ) 求 a 及 bn ; (Ⅱ) 设数列

? 2 n ? a, a, n ? N ? .设公差不为

? a1 ? 2 ,且 b2 ? 5, b4 ? 5, b8 ? 5 成等比.

?log

2

an ?的前 n 项和为 Tn .求使 Tn ? bn 的最小正整数 n 的值.

21.(本题满分 15 分)已知函数 (Ⅰ) 求

f ( x) ? x 3 ? 3ax ? 1, a ? R .

f (x) 的单调区间;

(Ⅱ) 求所有的实数 a ,使得不等式 ? 1 ?

f ( x) ? 1对 x ? [0, 3 ] 恒成立.

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22.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? 2 ?

1 1 ( 。 ? 2 , a?R 且a ? 0) a a x

(1)设 mn ? 0 ,令 F ( x) ? af ( x) ,试判断函数 F (x) 在 [m, n] 上的单调性并证明你的 结论; (2)若 0 ? m ? n 且 a ? 0时, (x) 的定义域和值域都是 [m, n] ,求 n ? m 的最大值; f (3)若不等式 | a f ( x) |? 2 x 对 x ? 1恒成立,求实数 a 的取值范围;
2

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