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浙江省绍兴一中2016届高三9月回头考数学(理)试卷



绍兴一中 2015 学年第一学期回头考试卷 高三数学(理科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分 100 分, 考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

第Ⅰ卷(选择题部分

共 24 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知 x , y ? R ,则“x+y=1”是“ xy ?

1 ”的( 4



(A)充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 2.设 m, n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是( (A)若 m // ? , n // ? 且? // ? , 则m // n (B)若 m ? ? , n ? ? 且? ? ? ,则 m ? n (C)若 m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? (D)若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ? 3.若数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S n ? 4 ? an (n ? N * ) ,则 a5 ? ( (A)16 (B) )



1 16

(C)8

(D)

1 8


4.已知 ? ? R , cos ? ? 3sin ? ? 5 ,则 tan 2? =( (A)

4 3

(B)

3 4

4 3 (D) ? 3 4 5. 某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该 三 棱 锥 的 表 面 积 是 ( )
(C) ? (A) 2 ? 5 (C) (B) 2 ? 2 5 (D)

6.已知两定点 A(?2, 0), B (1, 0) ,若动点 P 满足 | PA |? 2 | PB | ,则点 P 的轨迹所包围的图形的面积为( (A) ? (B) 4?
2 2

4 3

2 3



(C) 8?

(D) 9?

7.已知双曲线 M:

x y y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 ,其中 b ? a ? 0 ,且双曲线 M 与 N 的交 和双曲线 N : a2 b2 a2 b2

·1·

点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点,则双曲线 M 的离心率为(

(A)

1? 5 2

(B)

1? 3 2

(C)

1? 2 2

(D)

3 2

???? ??? ? ???? 8. 已知点 O 是△ABC 的外接圆圆心, 且 AB=3, AC=4. 若存在非零实数 x、 y, 使得 AO ? x AB ? y AC ,
且 x ? 2 y ? 1 ,则 cos ∠BAC 的值为( )

(A)

2 3

(B)

3 3

(C)

2 3

(D)

1 3

第Ⅱ卷(非选择题部分
二、填空题:本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分. 9.设集合 M={x| ? 10. 已知 f ( x) ? ?

共 28 分)

1 1 ? x ? },N={x | x2 ≤ x},则 M∩N = 2 2

?log 2 (15 ? x), x ? 0 ,则 f (3) =_________. f ( x ? 2 ), x ? 0 ?

?x ? 1 ? 11.已知 a ? 0 ,实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为1 ,则 a 的值为 ?y ? a x ?3 ? ? ?
12.若实数 x,y 满足 x+y=6,则 f(x,y)=(x +4)(y +4)的最小值为 13.已知圆 O 的直径 AB=2,C 是该圆上异于 A、B 的一点,P 是圆 O 所在平面上任一点,则
2 2

??? ? ??? ? ??? ? ( PA ? PB ) ? PC 的最小值为

.

14.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,点 P 是线段 A1C1 上的动点,则四棱锥 P ? ABCD 的外接球的半径 R 的取值范围为是 .

15.已知关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? 2a ? 0 的解集为 A,若 A 中恰有两个整数,则实数 a 的取值范围 为 三、解答题:本大题共 5 小题, 8+10+10+10+10=48 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤. 16.已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos 2 x ? m (m ? R) 在区间 [0, (Ⅰ)求常数 m 的值; (Ⅱ)在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c , 若 f ( A) ? 1 , sin B ? 3sin C , ?ABC 面积为

?
3

] 上的最大值为 2 .

·2·

3 3 ,求边长 a 的值. 4

17.如图,正方形 ABCD 与等边三角形 ABE 所在的平面互相垂直, M , N 分别是 DE , AB 的中点. (Ⅰ)证明: MN ∥平面 BCE ; (Ⅱ)求二面角 N ? AM ? E 的正切值.

2 ? ?? x ? a ? ? 1, x ? 0 18. 已知函数 f ? x ? ? ? ,其中 a , b ? R . 2 ? x ? b ? 1, x ? 0 ? ? ? ? (Ⅰ)当 a ? 0 时,且 f ? x ? 为奇函数,求 f ? x ? 的表达式;

(Ⅱ)当 a ? 0 时,且 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上单调递减,求 b ? a 的值.

·3·

19. 已知椭圆 C:

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴是短轴的两倍,点 A( 3 , ) 在椭圆上.不过原点的 2 2 a b

直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,设直线 OA、l、OB 的斜率分别为 k1 、 k 、 k2 ,且 k1 、 k 、 k2 恰好 构成等比数列. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程. (Ⅱ)试探究 OA ? OB 是否为定值?若是,求出这个值;否则 求出它的取值范围.
2 2

20. 设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,其中 a1 ? 1 ,且 (Ⅰ)求常数 ? 的值,并求数列 {an } 的通项公式;
·4·

Sn ? ? a n ?1 ( n ? N * ) , an

(Ⅱ)记 bn ?

an ,设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求最小的正整数 k ,使得对任意的 n ? k ,都有 3n

3 1 成立. | Tn ? |? 4 4n

·5·

绍兴一中 2015 学年高三回头考试试题 参考答案
ABDA BBAA

数学(理)

9 . [0, )

1 2

10. 4

11 .

1 2

12 . 144

13 .

?

1 2

14 .

3 3 [ , ] 4 2

15. [?1, ? ) ? (

1 3

25 , 9] 3

2 16.解:(1) f ? x ? ? 2 3 sin x ? cos x ? 2cos x ? m ? 2sin 2 x ? ? ? m ? 1 ----1 分 6

?

?

? ? ,所以 2 x ? ? ? ? ? , 5? ? 因为 x ? ?0 , ? 3? ? ?6 6 ? ? 6 ? ?

? ? 上取到最大值 所以当 2 x ? ? ? ? 即 x ? ? 时,函数 f ? x ? 在区间 ?0 , ? 3? ? 6 2 6 ?
此时, f ? x ? ? f ? ? m ? 3 ? 2 ,得 m ? ?1 max 6 (2)因为 f ? A ? ? 1 ,所以 2sin 2 A ? ? ? 1 , 6 即 sin 2 A ? ? ? 1 6 2

? ?

-----------2 分

?

?

?

?

? ,解得 A ? 0 (舍去)或 A ? 3

---------1 分

由 sin B ? 3sin C 得 b ? 3c .

3 3 ,即 因为 ?ABC 面积为 3 3 , 所以 S ? 1 bc sin A ? 1 bc sin ? ? bc ? 3 .-----②
4

2

2

3

4

由①和②解得 b ? 3 , c ?1

------------2 分

所以 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ? 32 ? 12 ? 2 ? 3 ? 1 ? cos ? =7,从而 a ? 7 -----------2 分 3 17.解:(Ⅰ)设 CE 中点为 P,连接 MP,PB,易知 MP ? NB, MP ? NB 所以 MNBP 是平行四边形,所以 MN∥PB, 因此 MN∥平面 BCE -----------4 分 (Ⅱ)建立空间直接坐标系:AB 为 y 轴,AD 为 z 轴,平面 ABE 内过 A 点且与 AB 垂 直的线为 x 轴。 不妨设 AB=2,则 A ? 0, 0, 0 ? , N ? 0,1, 0 ? , E

?

3,1, 0 , D ? 0, 0, 2 ? ,

?

? 3 1 ? M? ? 2 , 2 ,1? ? ,-----------1 分 ? ? ? 设 n ? ? x, y , z ? 是平面 AMN 的法向量

·6·

? ? x, y, z ? ? ? 0,1, 0 ? ? 0 ? ???? ? ???? y?0 ? ? ? n ? AN ? 0 ? ? n ? AN ? ? , ?? ?? 3 ? 3 1 ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???? , ,1 ? 0 x ? z ? 0 ? ?n ? AM ?n ? AM ? 0 ?? x, y, z ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? 2 ? ? ? ? 取 n ? 2, 0, ? 3 -----------2 分

?

?

设 AE 中点为 Q,AQ 中点为 R,易知 NR ? BQ , NR ? AE , NR ? 平面 AEM

? ??? ? ? ??? ? ? ? 3 3 ? ? 3 3 ? ??? n ? NR 1 ∵ R? ,所以 cos n, NR ? ? ??? ,-----------2 分 ? ? ? 4 ,? 4 ,0? ? ? NR ? ? ? 4 ,? 4 ,0? ? 7 n NR ? ? ? ?
∴所求正切值为 6 -----------1 分 18..解: (Ⅰ)因为 f(x)为奇函数,所以 f(0)=0,即 a 2 ? 1 ? 0 ,结合 a<0 得 a=-1 所以当 x≥0 时, f ( x ) ? ( x ? 1) ? 1 ,-----------2 分
2

所以当 x<0 时, f ( x ) ? ? f (? x ) ? ?[(? x ? 1) ? 1] ? ?( x ? 1) ? 1 ,所以 b=1,-----------2 分
2 2
2 ? ?? x ? 1? ? 1, x ? 0 综上: f ? x ? ? ? -----------1 分 2 ? x ? 1 ? 1, x ? 0 ? ? ? ? ?a ? 1 ? (Ⅱ)因为 f(x)在(-1,1)上单调递减,则有 ?b ? ?1 -----------3 分 ?a 2 ? 1 ? 1 ? b 2 ? 解得 a ? 1, b ? ?1 ,所以 b ? a ? ?2 -----------2 分 3 1 19.解: (Ⅰ)由题意可知 a ? 2b 且 2 ? 2 ? 1 ? b 2 ? 1 ,a=2-----------2 分 a 4b

所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 -----------1 分 4

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m , A( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ) 由?

? y ? kx ? m ?x ? 4 y ? 4
2 2

? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 4 ? 0

?8km ? x1 ? x2 ? ? ? 1 ? 4k 2 2 2 且 ? ? 16(1 ? 4k ? m ) ? 0 -----------2 分 ? 2 ? x ? x ? 4m ? 4 ? 1 2 1 ? 4k 2 ?

? k1、k、k2 恰好构成等比数列.? k 2 ? k1k2 ?

y1 y2 (kx1 ? m)(kx2 ? m) = x1 x2 x1 x2
·7·

2 2 ?8k 2 m 2 m ?1 ? 4k ? 即k ? k ? ? ? ?4k 2 m 2 ? m 2 ? 0 2 2 4m ? 4 4m ? 4 2 2

因为 m ? 0 ,? k 2 ?
2

1 1 ? k ? ? -----------2 分 4 2

此时 ? ? 16(2 ? m ) ? 0 ,即 m ? ? 2, 2
2 2 故 OA ? OB ? x12 ? y12 ? x2 = ? y2 2 2

?

?

? x1 ? x2 ? ?2m ?? 2 ? x1 ? x2 ? 2m ? 2

3 2 3 2 2 x1 ? x2 ? 2 = ?? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? ? 2 ? 5 -----------2 ? ? ? 4 4?

分 所以 OA ? OB 是定值为 5. 20.解: (Ⅰ) 由 a1 ? 1, 及 分
2 2

-----------1 分

Sn 1 1 1 1 1 所以 2 ? ? 2 ? ? ? ? ---------------2 ? ? a n ?1 得 a 2 ? , a 3 ? 1 ? , ? ? ? ? 2 an

? a2 ? 2, d ? 1 , ? an ? n
(Ⅱ) bn ?

------------------2 分

n 3 2n ? 3 ,用错位相减法求得 Tn ? ? ------------------2 分 n 3 4 4 ? 3n 3 2n ? 3 1 n(2n ? 3) 要使 | Tn ? |? ,即 ? ? 1 , --------------------1 分 n 4 4?3 4n 3n
记 dn ?

(n ? 1)(2n ? 5) n(2n ? 3) ?4n 2 ? 2n ? 5 n(2n ? 3) ,则 d ? d ? ? ? ?0 n ?1 n 3 n ?1 3n 3 n ?1 3n

? d n?1 ? d n 即 {d n } 单调递减, --------------------1 分
又易得 d1 ?

5 14 ? 1, d 2 ? ? 1, d 3 ? 1, 故当 n ? 4 时,恒有 d n ? 1 ,-------------------1 分 3 9
-----------------------1 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

所以所求的最小正整数 k 为 4.

·8·



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