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直线和圆的位置关系(修改)



学 海 无 涯 苦 作 舟

书 山 有 路 勤 为 径

一、复习提问:

1、点与圆有几种位置关系?
.A.A .C .A .A . B .A .A.A .A .A

2、怎样判定点和圆的位置关系?
大于半径时,点在圆外。 (1)点到圆心的距离____ (2)点到圆心的距离等

于 ____半径时,点在圆上。 (3)点到圆心的距离小于 ____半径时,点在圆内。

二、想一想

平谷四中

陈海芹

l l l

1、直线与圆的位置关系(图形特征---用公共点的个数来区分)
特点: 直线和圆有两个公共点, 叫直线和圆相交, 这时的直线叫做圆的割线。 特点: 直线和圆有唯一的公共点, 叫做直线和圆相切。

.
A

.O

.
B l

.O

这时的直线叫切线,
唯一的公共点叫切点。 特点: 直线和圆没有公共点, 叫做直线和圆相离。

.
切点 A

l

.O

l

练习1 :快速判断下列各图中直线与圆的位置关系
l l

.O
l

.O

1

.O2

.O

L

.

判断

练习2


√ 1、直线与圆最多有两个公共点 。… (

× ) 2、若直线与圆相交,则直线上的点都在圆内。(

3 、若A是⊙O上一点, 则直线AB与⊙O相切 。(× ) 4 、若C为⊙O外的一点,则过点C的直线CD与 ⊙O 相交或相离。………( × )

.A

.O
.C

想一想
除了用公共点的个数来区分直线与圆的位 置关系外,能否像点和圆的位置关系一样 用数量关系的方法来判断直线与圆的位置 关系?

2.直线与圆的位置关系 (数量特征)
相离
d

.Or
A B

H

l
r .D

1、直线与圆相离 < => d>r 2、直线与圆相切 < => d=r

相切

.O
d

.
C

l
Or
.
E

3、直线与圆相交 < => d<r
观察讨论:当直线与圆相离、 相切、相交时,圆心到直线的距 离d与半径r有何关系?

相交

d

.F

l

总结:
判定直线 与圆的位置关系的方法有____ 两 种:
直线 与圆的公共点 (1)根据定义,由________________

的个数来判断; 圆心到直线的距离d与半径r (2)根据性质,由_________________ 的关系来判断。

例题1: 圆的直径是13cm,如果直线与圆心的距离分别是
(1)4.5cm ; (2) 6.5cm ; (3) 8cm, 那么直线与圆分别是什么位置关系? 有几个公共点?
6.5cm 6.5cm




d=6.5cm



6.5cm

d=4.5cm

A

M

B

N d=4.5cm< r = 6.5cm

d=8cm

解 (1) 圆心距

D 直线与圆相交,
直线与圆相切,

有两个公共点; (2)圆心距 d=6.5cm = r = 6.5cm 有一个公共点; (3)圆心距 d=8cm>r = 6.5cm 没有公共点.

直线与圆相离,

大家动手,做一做

动动脑筋

(1)、已知⊙O的直径是11cm,点O到直线a的距离 是5.5cm,则⊙O与直线a的位置关系是 ___ _; 相切 直线a与⊙O的公共点个数是____. 一个 (2)、已知⊙O的直径为10cm,点O到直线a的距离 为7cm,则⊙O与直线a的位置关系是 相离 ___ _; 直线a与⊙O的公共点个数是____ 零。 (3)、直线m上一点A到圆心O的距离等于⊙O的半径, 则直线m与⊙O的位置关系是 相切 或相交 。

例题2 : 已知⊙A的直径为6,点A的坐标为
相离 Y (-3,-4),则X轴与⊙A的位置关系是_____, 相切 。 轴与⊙A的位置关系是______
Y B

O C

X

4
A.(-3,-4) 3

例题3:
在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = 3 cm , BC = 4 cm , 以 C 为圆心,r 为半径的圆与 AB 有怎样的关系?为什么?(1)r = 2 cm ; (2) r = 2.4 cm ; (3) r = 3 cm .
B

C

A

在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm, 解后思: BC=4cm,以C为圆心,r为半径作圆。 0cm<r<2.4cm 1、当r满足________________ 时,⊙C与直线AB相离。 r=2.4cm 2、当r满足____________ 时,⊙C与直线AB相切。
d=2.4c m

B 5

4
3、当r满足 r>2.4cm 时, ____________ ⊙C与直线AB相交。

D

C

3

A

小结:
图形 直线与圆的 位置关系
.O r d ┐ l .o d r ┐ l .
A

. B

.O d r ┐ . lC

相离
0 d>r

相切
1 d=r

相交
2 d<r

公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系

公共点的名称 直线名称

切点
切线

交点
割线

小结:
两 种: 判定直线 与圆的位置关系的方法有____ 直线 与圆的公共点 的 (1)根据定义,由__________________ 个数来判断;

(2)根据性质,_____________________ 圆心到直线的距离d 与半径r ______________ 的关系来判断。

在实际应用中,常采用第二种方法判定。

当堂检测
1.⊙O的半径为3 ,圆心O到直线l的距离为d,若直线l 与⊙O没有公共点,则d为( A): A.d >3 B.d<3 C.d ≤3 D.d =3 2.圆心O到直线的距离等于⊙O的半径,则直线

和⊙O的位置 关系是(
A.相离 B.相交

C

):
D.相切或相交

C.相切

3.判断:若直线和圆相切,则该直线和圆一定有一个公共点.( √ ) 4.等边三角形ABC的边长为2,则以A为圆心,半径为1.73的圆 与直线BC的位置关系是

相离 ,以A为圆心,

3

为半径的圆与直线BC相切.

大家动手,做一做
如图:已知∠ AOB=30°,M为OB上一点,且 OM=5cm,以M为圆心,以r为半径的圆与直线OA有怎 样的位置关系?为什么? (1)r=2cm; (2)r=4cm; (3)r=2.5cm.
A N

2.5cm

解:过点M作MN⊥OA于点N ∵在Rt△OMN中,∠AOB=30°,OM=5cm. ∴MN=2.5CM 即圆心M到直线OA的距离d=2.5cm (1)当r=2cm时, ∵d> r, ∴⊙M与直线OA相离。 O (2)当r=4cm时, ∵d< r, ∴⊙M与直线OA相交。 (3)当r=2.5cm时, ∵d = r, ∴⊙M与直线OA相切。

M

B

r=2.4cm 当r满足___________ 或 3cm<r≤4cm 时,⊙C与 _____________
线段AB只有一个公共点.

想一想?

在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=3cm,BC=4cm, 以C为圆心,r为半径作圆。

B

5
4
D

d=2.4cm

C

3

A

布置作业:
1、必做题:P110 1, 2 3、思考题:

1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm, 以C为圆心,r为半径作圆。
(1)当 r 满足______时,⊙C与直线AB相离。 (2)当 r 满足_____ 时,⊙C与直线AB相切。 (3)当r 满足_____ _时,⊙C与直线AB相交。

B 4

d=2. 4cm

5 D 3 A

(4)当r满足____时,⊙C与线段AB只有 一个公共 C 点. 2.若⊙O与直线m的距离为d,⊙O 的半径为r,若d,r 是方程 x 2 ? 9 x ? 20 ? 0 的两个根,则直线m与⊙O的位置 关系是 。 若d,r是方程 x 2 ? 4 x ? a ? 0的两个根,且直线 与⊙O的位置关系是相切,则a的值是 。 m

思考题:已知点A的坐标为(1,2),⊙A的半径为3.
(1)若要使⊙A与y轴相切,则要把⊙A向右平移几个单 位?此时,⊙A与x轴、⊙A与点O分别有怎样的位置关 系?若把⊙A向左平移呢? (2)若要使⊙A与x轴、y轴都相切,则圆心A应当移到 什么位置?请写出点A所有可能位置的坐标.

例题3: Rt△ABC,∠C=90°AC=3cm, 解:过C作CD⊥AB,垂足为D。 在Rt△ABC中, BC=4cm,以C为圆心,r为 2 2 = 2 2 半径的圆与AB有怎样的位置 AB= 关系?为什么? =5(cm) (1)r=2cm;(2)r=2.4cm 根据三角形面积公式有 (3)r=3cm。 CD· AB=AC· BC

B
4

d=2. 4

∴CD=

=

=2.4(cm)。

即圆心C到AB的距离d=2.4cm。

5
D

(1)当r=2cm时, ∵d>r, ∴⊙C与AB相离。

C

3

A

(2)当r=2.4cm时,∵d=r, ∴⊙C与AB相切。 (3)当r=3cm时, ∵d<r, ∴⊙C与AB相交。



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