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【高考数学】集合与函数典型例题整合



概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
一、集合与简易逻辑
一.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时,尤其要注意元素的互异性,如 } 5 , 2 , 0 { (1) 设 P、 Q 为两个非空实数集合, 定义集合 P+Q= {a ? b | a ? P, b ? Q} , 若P? , Q ? {1,2,6} , 则 P+Q 中元素的有________个。 (答:8) (2)设 U ? {( x, y) | x ? R, y ? R} , A ? {( x, y) | 2 x ? y ? m ? 0} , B ? {( x, y) | x ? y ? n ? 0} ,那么 点 P(2,3) ? A ? (Cu B) 的充要条件是________ (答: m ? ?1, n ? 5 ) ; (3)非空集合 S ? {1,2,3,4,5} ,且满足“若 a ? S ,则 6 ? a ? S ” ,这样的 S 共有_____个 (答:7) 二.遇到 A B ? ? 时,你是否注意到“极端”情况: A ? ? 或 B ? ? ;同样当 A ? B 时,你是否忘 记 A ? ? 的情形?要注意到 ? 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。如 集合 A ? {x | ax ?1 ? 0} , B ? ? x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0? ,且 A B ? B ,则实数 a =___.
1 (答: a ? 0,1, ) 2 三.对于含有 n 个元素的有限集合 M ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 2n, 2 n ? 1, 2 n ? 1, 2 n ? 2. 如 满足 {1, 2} ? ? M ? {1, 2,3, 4,5} 集合 M 有______个。

(答:7) 四.集合的运算性质: ⑴ A B ? A ? B ? A; ⑵ A B ? B ? B ? A; ⑶ A ? B ? CU A ? CU B ; ⑷ A ? CU B ? ? ? A ? B ; ⑸ (CU A) ? B ? U ? A ? B ; ⑹ CU ( A B) ? CU A CU B ; ⑺ CU ( A B) ? CU A CU B . 如:设全集 U ? {1,2,3,4,5} ,若 A ? B ? {2} , (CU A) ? B ? {4} , (CU A) ? (CU B) ? {1,5} , 则 A=_____,B=___. (答: A ? {2,3} , B ? {2, 4} ) 五.研究集合问题,一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如:?x | y ? lg x?—函数的定 义域; ?y | y ? lg x?—函数的值域; ?( x, y) | y ? lg x? —函数图象上的点集,如 (1)设集合 M ? {x | y ? x ? 2} ,集合 N= ? y | y ? x 2 , x ? M ? ,则 M
N ? ___

(答: [4, ??) ) ; ( 2 ) 设 集 合 M ?{ a | a ? (1, ?2 ?) M ? N ? _____ , ( ?3 ?, 4R ) , N ?{ } a | a ? (2,3) ? ?(4,5) , ? ? R} , 则

(答: {(?2,?2)} ) 六.数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空集 这 两种特殊情况,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如: 已知函数 f ( x) ? 4x 2 ? 2( p ? 2) x ? 2 p 2 ? p ? 1 在区间 [ ?1,1] 上至少存在一个实数 c ,使 f (c) ? 0 , 求实数 p 的取值范围。

3 (答: ( ?3, ) ) 2 七.复合命题真假的判断。 “或命题”的真假特点是“一真即真,要假全假” ; “且命题”的真假特 点是“一假即假,要真全真” ; “非命题”的真假特点是“真假相反” 。如: 在下列说法中:⑴ “ p 且 q ”为真是“ p 或 q ”为真的充分不必要条件; ⑵ “ p 且 q ”为假是“ p 或 q ”为真的充分不必要条件; ⑶ “ p 或 q ”为真是“非 p ”为假的必要不充分条件; ⑷ “非 p ”为真是“ p 且 q ”为假的必要不充分条件。 其中正确的是__________ (答:⑴ ⑶ ) 八.四种命题及其相互关系。若原命题是“若 p 则 q” ,则逆命题为“若 q 则 p” ;否命题为“若﹁ p 则﹁q” ;逆否命题为“若﹁q 则﹁p” 。 提醒: (1)互为逆否关系的命题是等价命题,即原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同 假。但原命题与逆命题、否命题都不等价; (2)在写出一个含有“或” 、 “且”命题的否命题时,要注意“非或即且,非且即或” ; (3)要注意区别“否命题”与“命题的否定” :否命题要对命题的条件和结论都否定,而命题的否 定仅对命题的结论否定; (4)对于条件或结论是不等关系或否定式的命题,一般利用等价关系“ A ? B ? B ? A ”判断其真假, 这也是反证法的理论依据。 (5)哪些命题宜用反证法? 如: (1) “在△ABC 中,若∠C=900,则∠A、∠B 都是锐角”的否命题为__________ (答:在 ?ABC 中,若 ?C ? 90 ,则 ?A, ?B 不都是锐角) ; x?2 , a ? 1 ,证明方程 f ( x) ? 0 没有负数根。 (2)已知函数 f ( x) ? a x ? x ?1 九.充要条件。关键是分清条件和结论(划主谓宾) ,由条件可推出结论,条件是结论成立的充分 条件;由结论可推出条件,则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释,若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件;若 B ? A ,则 A 是 B 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件。如: (1)给出下列命题: ① 实数 a ? 0 是直线 ax ? 2 y ? 1 与 2ax ? 2 y ? 3 平行的充要条件;

② 若 a, b ? R, ab ? 0 是 a ? b ? a ? b 成立的充要条件; ③ 已知 x, y ? R , “若 xy ? 0 , 则 x ? 0或 y ? 0” 的逆否命题是 “若 x ? 0 或 y ? 0 则 xy ? 0 ” ; ④“若 a 和 b 都是偶数,则 a ? b 是偶数”的否命题是假命题 。 其中正确命题的序号是_______ (答:①④) ; 2 (2)设命题 p: | 4 x ? 3 |? 1 ;命题 q: x ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 。若┐p 是┐q 的必要而不充分 的条件,则实数 a 的取值范围是 1 (答: [0, ] ) 2 十.一元一次不等式的解法:通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为 ax ? b 的形式, b b 若 a ? 0 ,则 x ? ;若 a ? 0 ,则 x ? ;若 a ? 0 ,则当 b ? 0 时, x ? R ;当 b ? 0 时, x ?? 。如 a a 1 已 知 关 于 x 的 不 等 式 (a ? b) x ? (2a ? 3b) ? 0 的 解 集 为 ( ?? ,? ) , 则 关 于 x 的 不 等 式 3 (a ? 3b) x ? (b ? 2a) ? 0 的解集为_______ (答: {x | x ? ?3} )

十一. 一元二次不等式的解集 (联系图象) 。尤其当 ? ? 0 和 ? ? 0 时的解集你会正确表示吗?设 2 a ? 0 , x1 , x2 是方程 ax ? bx ? c ? 0 的两实根,且 x1 ? x2 ,则其解集如下表:
ax2 ? bx ? c ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0 ? ? 0 {x | x ? x1 或 {x | x ? x1 或 {x | x1 ? x ? x2} x ? x2 } x ? x2 } ??0 b ? {x | x ? ? } R 2a ??0 R ? R ax2 ? bx ? c ? 0

{x | x1 ? x ? x2}
{x | x ? ? b } 2a

?

如解关于 x 的不等式: ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 。 (答:当 a ? 0 时, x ? 1 ;当 a ? 0 时, x ? 1 或 x ? 当 a ? 1 时,
1 1 ;当 0 ? a ? 1 时,1 ? x ? ;当 a ? 1 时, x ?? ; a a

1 ? x ? 1) a 十二.对于方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数 a 是否为 0,其次若 a ? 0 ,则一定有 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数 时,你是否注意到同样的情形? 如: (1) ? a ? 2? x2 ? 2 ? a ? 2? x ?1 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是_______

(答: (1, 2] ); (2)关于 x 的方程 f ( x) ? k 有解的条件是什么?(答: k ? D ,其中 D 为 f ( x) 的值域),特别地,若 ? 在 [0, ] 内有两个不等的实根满足等式 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? k ? 1 ,则实数 k 的范围是_______. 2 (答: [0,1) ) 2 十三.一元二次方程根的分布理论。方程 f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 在 (k ,??) 上有两根、在 (m, n) 上有两根、在 (??, k ) 和 (k ,??) 上各有一根的充要条件分别是什么?

?? ? 0 ? f ( m) ? 0 ? (a>0) 、 f (k ) ? 0 ) 。 根的分布理论成立的前提是开区间, ? f (n) ? 0 ? O k x x x ?m ? ? b ? n ? 2a 若在闭区间 [m, n] 讨论方程 f ( x) ? 0 有实数解的情况,可先利用在开区间 (m, n) 上实根分布的情况, 得出结果,再令 x ? n 和 x ? m 检查端点的情况. b?2 如实系数方程 x 2 ? ax ? 2b ? 0 的一根大于 0 且小于 1,另一根大于 1 且小于 2,则 的取值范围 a ?1 是_________ 1 (答: ( ,1) ) 4
? ?? ? 0 ? ( ? f (k ) ? 0 、 ? b ?? ? k ? 2a
y
1 2

十四.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗?二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个根 即为二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(? 0) 的解集的端点值,也是二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴的交点的横坐标。 3 如(1)不等式 x ? ax ? 的解集是 (4, b) ,则 a =__________ 2 1 (答: ) ; 8 (2)若关于 x 的不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 (??, m) ? (n,??) ,其中 m ? n ? 0 ,则关于 x 的不

等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集为________ (答: (??,? (3)不等式 3x 2 ? 2bx ? 1 ? 0 对 x ?[?1, 2] 恒成立,则实数 b 的取值范围是_______ (答: ? ) 。
1 1 ) ? (? ,??) ) ; m n

二、函数
一.映射 f : A ?B 的概念。在理解映射概念时要注意:㈠中元素必须都有象且唯一;㈡B 中元素 不一定都有原象,但原象不一定唯一。如: (1)设 f : M ? N 是集合 M 到 N 的映射,下列说法正确的是 A、 M 中每一个元素在 N 中 必有象 B、 N 中每一个元素在 M 中必有原象 C、 N 中每一个元素在 M 中的原象是唯一的 D、 N 是 M 中所在元素的象的集合 (答:A) ; (2) 点 (a, b) 在映射 f 的作用下的象是 (a ? b, a ? b) , 则在 f 作用下点 (3,1) 的原象为点________ (答: (2,-1) ) ; B 到 A 的映射有 B ? {a, b, c} , a, b, c ? R , (3) 若 A ? {1,2,3,4} , 则 A 到 B 的映射有 个, 个, A 到 B 的函数有 个 (答:81,64,81) ; (4) 设集合 M ? {?1,0,1}, N ? {1, 2,3, 4,5} , 映射 f : M ? N 满足条件 “对任意的 x ? M ,x ? f ( x) 是奇数” ,这样的映射 f 有____个 (答:12) ; 2 (5)设 f : x ? x 是集合 A 到集合 B 的映射,若 B={1,2},则 A ? B 一定是_____ (答: ? 或{1}). 二.函数 f : A ?B 是特殊的映射。特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集!据此可知函数图像与 x 轴的垂线至多有一个公共点,但与 y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个。如: (1)已知函数 f ( x) , x ? F ,那么集合 {( x, y ) | y ? f ( x), x ? F } {(x, y ) | x ? 1}中所含元素的个 数有 个 (答: 0 或 1) ; 1 2 (2)若函数 y ? x ? 2 x ? 4 的定义域、值域都是闭区间 [2,2b] ,则 b = 2 (答:2) 三.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域,值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法 则唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一函数。如 若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“天一函数” ,那 2 么解析式为 y ? x ,值域为{4,1}的“天一函数”共有______个 (答:9) 四.求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则) : 1.根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不能为零,对数 loga x 中 x ? 0, a ? 0 且 ? ? a ? 1 ,三角形中 0 ? A ? ? , 最大角 ? ,最小角 ? 等。如 3 3 (1)函数 y ?

x ?4 ? x? lg ? x ? 3?
2

的定义域是____ (答: (0, 2) (2,3) (3, 4) );

(2)若函数 y ?

kx ? 7 的定义域为 R,则 k ? _______ kx ? 4kx ? 3
2

? 3? (答: ?0, ? ); ? 4?
? x的 ) 定义域是 ( 3 ) 函 数 f ( x) 的 定 义 域 是 [a, b] , b ? ? a ? 0 , 则 函 数 F ( x) ? f ( x)? f ( __________

(答: [a, ?a] ); (4)设函数 f ( x) ? lg(ax2 ? 2x ? 1) ,①若 f ( x) 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围;②若 f ( x) 的值域是 R,求实数 a 的取值范围 (答:① a ? 1 ;② 0 ? a ? 1 ) 2.根据实际问题的要求确定自变量的范围。 3.复合函数的定义域:若已知 f ( x) 的定义域为 [a, b] ,其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域由不等式 a ? g ( x) ? b 解出即可;若已知 f [ g ( x)] 的定义域为 [a, b] ,求 f ( x) 的定义域,相当于当 x ? [a, b] 时, 求 g ( x) 的值域(即 f ( x) 的定义域) 。如
?1 ? (1)若函数 y ? f ( x) 的定义域为 ? ,2? ,则 f (log2 x) 的定义域为__________ ?2 ?

(答: x | 2 ? x ? 4 ) ; (2)若函数 f ( x 2 ? 1) 的定义域为 [?2,1) ,则函数 f ( x) 的定义域为________ (答:[1,5]) . 五.求函数值域(最值)的方法: 1.配方法――二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间 [m, n] 上的最值;二 是求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题,勿忘数形结合 ,注 意“两看” :一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系) ,如 2 (1)求函数 y ? x ? 2x ? 5, x ?[?1, 2] 的值域 (答:[4,8]) ; 2 (2)当 x ? (0,2] 时,函数 f ( x) ? ax ? 4(a ? 1) x ? 3 在 x ? 2 时取得最大值,则 a 的取值范围是 ___ 1 (答: a ? ? ) ; 2 (3)已知 f ( x) ? 3x?b (2 ? x ? 4) 的图象过点(2,1) ,则 F ( x) ? [ f ?1 ( x)]2 ? f ?1 ( x2 ) 的值域为______ (答:[2, 5]) 2.换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是函数解析式 含有根式或三角函数公式模型,如 (1) y ? 2sin 2 x ? 3cos x ?1的值域为_____ 17 (答: [?4, ] ) ; 8 (2) y ? 2x ?1 ? x ?1 的值域为_____ (答: (3, ??) ) (3) y ? sin x ? cos x ? sin x cos x 的值域为____ 1 (答: [ ?1, ? 2] ) ; 2 (4) y ? x ? 4 ? 9 ? x 2 的值域为____ (答: [1,3 2 ? 4] ) ; 3.函数有界性法――直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定所求函数 的值域,最常用的就是三角函数的有界性,如

?

?

求函数 y ?

2 sin ? ? 1 2 sin ? ? 1 3x ,y? ,y? 的值域 x 1 ? sin ? 1 ? cos ? 1? 3

1 3 ,] ) (答: (??, ] 、 (0,1) 、 (?? ; 2 2 4.单调性法――利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性,如 1 9 求 y ? x ? (1 ? x ? 9) , y ? sin 2 x ? , y ? 2x?5 ? log3 x ?1 的值域 2 x 1 ? sin x 80 11 (答: (0, ) 、 [ ,9] 、 [2,10] ) ; 9 2 5.数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率、等等,如 y (1)已知点 P ( x, y ) 在圆 x2 ? y 2 ? 1上,求 及 y ? 2 x 的取值范围 x?2 3 3 (答: [? ; , ] 、 [? 5, 5] ) 3 3

(2)求函数 y ? ( x ? 2) 2 ? ( x ? 8) 2 的值域 (答: [10, ??) ) ; (3)求函数 y ? x2 ? 6 x ? 13 ? x2 ? 4 x ? 5 及 y ? x2 ? 6 x ? 13 ? x2 ? 4 x ? 5 的值域 (答: [ 43, ??) 、 (? 26, 26) ) 注意:求两点距离之和时,要将函数式变形,使两定点在 x 轴的两侧,而求两点距离之差时, 则要使两定点在 x 轴的同侧。 6.判别式法――对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用 其它方法进行求解,不必拘泥在判别式法上,也可先通过部分分式后,再利用均值不等式: b ①y? 型,可直接用不等式性质,如 k ? x2 3 求y? 的值域 2 ? x2 3 (答: (0, ] ) 2 bx ②y? 2 型,先化简,再用均值不等式,如 x ? mx ? n x (1)求 y ? 的值域 1 ? x2 1 (答: (??, ] ) ; 2 x?2 (2)求函数 y ? 的值域 x?3 1 (答: [0, ] ) 2 2 x ? m?x ? n? ③y? 2 型,通常用判别式法;如 x ? mx ? n mx 2 ? 8 x ? n 已知函数 y ? log 3 的定义域为 R,值域为[0,2],求常数 m, n 的值 x2 ? 1 (答: m ? n ? 5 ) 2 x ? m?x ? n? ④y? 型,可用判别式法或均值不等式法,如 mx ? n

求y?

x2 ? x ? 1 的值域 x ?1

(答: (??, ?3] [1, ??) ) 7.不等式法――利用基本不等式 a ? b ? 2 ab (a, b ? R? ) 求函数的最值,其题型特征解析式是和式 时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技 巧。如 (a ? a 2 ) 2 设 x, a1 , a2 , y 成等差数列, x, b1, b2 , y 成等比数列,则 1 的取值范围是__. b1b2 (答: (??,0] [4, ??) ) 。 8.导数法――一般适用于高次多项式函数,如 求函数 f ( x) ? 2x3 ? 4x2 ? 40 x , x ?[?3,3] 的最小值。 (答:-48) 提醒: (1)求函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗? (2)函数的最值与值域之间有何关系? 六.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表示对应关 系的函数,它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值 f ( x0 ) 时,一定首先要判断 x0 属于定义 域的哪个子集,然后再代相应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系 式的取值范围的并集。如 2 ? ?( x ? 1) .( x ? 1) (1)设函数 f ( x) ? ? ,则使得 f ( x) ? 1 的自变量 x 的取值范围是__ 4 ? x ? 1.( x ? 1) ? ? (答: (??, ?2] [0,10] ) ; ( x ? 0) ?1   (2)已知 f ( x) ? ? ,则不等式 x ? ( x ? 2) f ( x ? 2) ? 5 的解集_____ ( x ? 0) ??1   3 (答: (??, ] ) 2 七.求函数解析式的常用方法: 1. 待定系数法――已知所求函数的类型 (二次函数的表达形式有三种: 一般式:f ( x) ? ax2 ? bx ? c ; 顶点式: f ( x) ? a( x ? m)2 ? n ;零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ,要会根据已知条件的特点,灵 活地选用二次函数的表达形式) 。如 已知 f ( x) 为二次函数, 且 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) , 且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为 2 2 , 求 f ( x) 的解析式 。 1 (答: f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ) 2 2.代换(配凑)法――已知形如 f ( g ( x)) 的表达式,求 f ( x) 的表达式。如 (1)已知 f (1 ? cos x) ? sin 2 x, 求 f x 2 的解析式 (答: f ( x2 ) ? ? x4 ? 2x2 , x ?[? 2, 2] ) ;
1 1 (2)若 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 ,则函数 f ( x ? 1) =_____ x x

? ?

(答: x 2 ? 2 x ? 3 ) ; 3 ( 3 ) 若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? x(1 ? x ) ,那么当 x ? (??,0) 时, f ( x) =________ (答: x(1 ? 3 x ) ). 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即 f ( x) 的定义域应是 g ( x) 的值域。 3.方程的思想――已知条件是含有 f ( x) 及另外一个函数的等式,可抓住等式的特征对等式的进行

赋值,从而得到关于 f ( x) 及另外一个函数的方程组。如 (1)已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? 2 ,求 f ( x) 的解析式 (答: f ( x) ? ?3 x ? (2)已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) + g ( x) =
1 ,则 f ( x) = x ?1

2 ) ; 3

_ (答:
x )。 x ?1
2

八.反函数: 1.存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个 y 值,都有唯一的 x 值与之对应,故单调函 数一定存在反函数,但反之不成立;偶函数只有 f ( x) ? 0( x ?{0}) 有反函数;周期函数一定不存 在反函数。如 函数 y ? x2 ? 2ax ? 3 在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是 A、 a ? ? ??,1? B、 a ??2, ??? C、 a ? [1, 2] D、 a ? ? ??,1? ? 2, ?? ? (答:D) 2.求反函数的步骤:①反求 x ;②互换 x 、 y ;③注明反函数的定义域(原来函数的值域) 。注 ?1 ?1 意函数 y ? f ( x ? 1) 的反函数不是 y ? f ( x ? 1) ,而是 y ? f ( x) ?1。如 设 f ( x) ? (
x ?1 2 ) ( x ? 0) .求 f ( x) 的反函数 f x
?1

( x)

(答: f ?1 ( x) ?

1 ( x ? 1) ) . x ?1

3.反函数的性质: ①反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域。如 单调递增函数 f ( x) 满足条件 f (ax ? 3) = x ,其中 a ≠ 0 ,若 f ( x) 的反函数 f ?1 ( x) 的定义域为 ?1 4? ,则 f ( x) 的定义域是____________ , ? ?a a? ? (答:[4,7]). ?1 ②函数 y ? f ( x) 的图象与其反函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称,注意函数 y ? f ( x) 的 图象与 x ? f ?1 ( y) 的图象相同。如 (1)已知函数 y ? f ( x) 的图象过点(1,1),那么 f ? 4 ? x ? 的反函数的图象一定经过点_ (答: (1,3) ) ; 2x ? 3 (2)已知函数 f ( x ) ? ,若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ?1 ( x ? 1) 的图象关于直线 y ? x 对称,求 x ?1 g (3) 的值 7 (答: ) ; 2 ③ f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a 。如 (1)已知函数 f ( x) ? log3 ( ? 2 ) ,则方程 f ?1 ( x) ? 4 的解 x ? ______ (答:1) ; (2)设函数 f(x)的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数 f ( x) ,f (4)=0,则 f (4) = (答:-2) ④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如 已知 f ? x ? 是 R 上的增函数,点 A? ?1,1? , B ?1,3? 在它的图象上, f ?1 ? x ? 是它的反函数,那么不等式
?1 ?1

4 x

f ?1 ? log2 x ? ? 1的解集为________

(答: (2,8) ) ;

⑤设 f ( x) 的定义域为 A,值域为 B,则有 f [ f ?1 ( x)] ? x( x ? B) , f ?1[ f ( x)] ? x ( x ? A) ,但 f [ f ?1 ( x)] ? f ?1[ f ( x)] 。 九.函数的奇偶性。 1.具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须关于原点对称!为此确定函数的奇偶性时,务 必先判定函数定义域是否关于原点对称。如 若函数 f ( x) ? 2sin(3x ? ? ) , x ?[2? ? 5? ,3? ] 为奇函数,其中 ? ? (0,2? ) ,则 ? ? ? 的值是 (答:0) ; 2.确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性) : | x ? 4 | ?4 ①定义法:如判断函数 y ? 的奇偶性____(答:奇函数) 。 9 ? x2 f (? x) ②利用函数奇偶性定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 或 。如 ? ?1 ( f ( x) ? 0 ) f ( x) 1 1 ? ) 的奇偶性___.(答:偶函数) 判断 f ( x) ? x( x 2 ?1 2 ③图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称。 3.函数奇偶性的性质: ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性, 则其单调性完全相同; 偶函数在关于原点对称 的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. ②如果奇函数有反函数,那么其反函数一定还是奇函数. ③若 f ( x) 为偶函数,则 f (? x) ? f ( x) ? f (| x |) .如 1 若定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 (??, 0) 上是减函数,且 f ( ) =2,则不等式 f (log1 x) ? 2 的解集 3 8 为______. (答: (0,0.5) (2, ??) ) ④若奇函数 f ( x) 定义域中含有 0, 则必有 f (0) ? 0 .故 f (0) ? 0 是 f ( x) 为奇函数的既不充分也不 必要条件。如 a · 2x ? a ? 2 若 f ( x) ? 为奇函数,则实数 a =____(答:1). 2x ? 1 ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数, 都可表示成 “一个奇函数与一个偶函数的和 (或 差) ” 。如 f ( x) ? f (? x) 设 f ( x) 是定义域为 R 的任一函数, F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,G ( x) ? 。①判断 F ( x) 与 2 2 G ( x) 的奇偶性; ②若将函数 f ( x) ? lg(10x ? 1) ,表示成一个奇函数 g ( x) 和一个偶函数 h( x) 之和, 则 g ( x) =____ 1 (答:① F ( x) 为偶函数, G ( x) 为奇函数;② g ( x) = x ) 2 ⑥复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”. ⑦既奇又偶函数有无穷多个( f ( x) ? 0 ,定义域是关于原点对称的任意一个数集). 十.函数的单调性。 1.确定函数的单调性或单调区间的常用方法: ①在解答题中常用:定义法(取值――作差――变形――定号)、导数法(在区间 (a, b) 内, 若总有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;反之,若 f ( x) 在区间 (a, b) 内为增函数,则 f ?( x) ? 0 ,请注意 两者的区别所在。如 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 在区间 [1, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是____ (答: (0,3] ));

b ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意 y ? ax ? (a ? 0 x b b b ? 0) 型函数的图象和单调性在解题中的运用:增区间为 (??, ? ],[ , ??) ,减区间为 a a b b [? , 0), (0, ] .如 a a (1)若函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间(-∞,4] 上是减函数,那么实数 a 的取值范围 是______ (答: a ? ?3 )); ax ? 1 (2)已知函数 f ( x) ? 在区间 ? ?2, ?? ? 上为增函数,则实数 a 的取值范围_____ x?2 1 (答: ( , ??) ); 2 a ? ? (3)若函数 f ? x ? ? log a ? x ? ? 4 ? ? a ? 0, 且a ? 1? 的值域为 R,则实数 a 的取值范围是______ x ? ? (答: 0 ? a ? 4 且 a ? 1 )); ③复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减,如 函数 y ? log 1 ? x2 ? 2 x 的单调递增区间是________

?

?

2

(答:(1,2))。 a 2.特别提醒:求单调区间时,一是勿忘定义域,如若函数 f ( x) ? loga ( x2 ? ax ? 3) 在区间 (??, ] 上 2 为减函数,求 a 的取值范围(答: (1, 2 3) );二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ” 和“或”;三是单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等式表示. 3.你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?(①比较大小;②解不等式;③求参数范围).如已 知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数 m 的取值范围。 1 2 (答: ? ? m ? ) 2 3 十一.常见的图象变换 1.函数 y ? f ?x ? a ? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴向左平移 a 个单位得到的。 如 设 f ( x) ? 2? x , g ( x) 的图像与 f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称,h( x) 的图像由 g ( x) 的图像向右平 移 1 个单位得到,则 h( x) 为__________ (答: h( x) ? ? log2 ( x ?1) ) 2.函数 y ? f ?x ? a ?( (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位得到的。 (1)若 f ( x ? 199) ? 4 x2 ? 4 x ? 3 ,则函数 f ( x) 的最小值为____ (答:2); (2)要得到 y ? lg(3 ? x) 的图像,只需作 y ? lg x 关于_____轴对称的图像,再向____平移 3 个 单位而得到 (答: y ;右); (3)函数 f ( x) ? x ? lg( x ? 2) ? 1的图象与 x 轴的交点个数有____个 (答:2) 3.函数 y ? f ?x ? + a (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 助图象沿 y 轴向上平移 a 个单位得到的; 4.函数 y ? f ?x ? + a (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 助图象沿 y 轴向下平移 a 个单位得到的; 如 如

b ? a 的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位,所得图象如果与原图象关 x?a 于直线 y ? x 对称,那么 ( A)a ? ?1, b ? 0 ( B)a ? ?1, b ? R (C )a ? 1, b ? 0 ( D)a ? 0, b ? R (答:C) 1 5.函数 y ? f ?ax? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴伸缩为原来的 得到的。如 a 1 (1)将函数 y ? f ( x) 的图像上所有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变) ,再将此图像沿 x 3 轴方向向左平移 2 个单位,所得图像对应的函数为_____ (答: f (3x ? 6) ); (2)如若函数 y ? f (2 x ? 1) 是偶函数,则函数 y ? f (2 x) 的对称轴方程是_______ 1 (答: x ? ? ). 2 6.函数 y ? af ?x ? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 y 轴伸缩为原来的 a 倍得到的. 十二.函数的对称性。 a?b 1.满足条件 f ? x ? a ? ? f ?b ? x ? 的函数的图象关于直线 x ? 对称。如 2 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0) 满足条件 f (5 ? x) ? f ( x ? 3) 且方程 f ( x) ? x 有等根,则 f ( x) =_____ 1 (答: ? x 2 ? x ); 2 2.点 ( x, y ) 关于 y 轴的对称点为 (? x, y ) ;函数 y ? f ?x ? 关于 y 轴的对称曲线方程为 y ? f ?? x ? ; 3.点 ( x, y ) 关于 x 轴的对称点为 ( x, ? y ) ;函数 y ? f ?x ? 关于 x 轴的对称曲线方程为 y ? ? f ?x ? ; 4.点 ( x, y ) 关于原点的对称点为 (? x, ? y) ;函数 y ? f ?x ? 关于原点的对称曲线方程为 y ? ? f ?? x ? ; 5.点 ( x, y ) 关于直线 y ? ? x ? a 的对称点为 (?( y ? a), ? x ? a) ;曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? ? x ? a 的对称曲线的方程为 f (?( y ? a), ? x ? a) ? 0 。特别地,点 ( x, y ) 关于直线 y ? x 的对称点为 ( y , x ) ;曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? x 的对称曲线的方程为 f ( y, x) ? 0 ;点 ( x, y ) 关于直线 y ? ? x 的对称点为 (? y, ? x) ;曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? ? x 的对称曲线的 方程为 f (? y, ? x) ? 0 。如 x ?3 3 , ( x ? ) ,若 y ? f ( x ? 1) 的图像是 C1 ,它关于直线 y ? x 对称图像是 己知函数 f ( x) ? 2x ? 3 2 C2 , C2 关于原点对称的图像为 C3 , 则C3 对应的函数解析式是___________ x?2 (答: y ? ? ) ; 2x ?1 6.曲线 f ( x, y) ? 0 关于点 (a, b) 的对称曲线的方程为 f (2a ? x, 2b ? y) ? 0 。如

将函数 y ?

若函数 y ? x 2 ? x 与 y ? g ( x) 的图象关于点(-2,3)对称,则 g ( x) =______ (答: ? x 2 ? 7 x ? 6 ) 7. 形如 y ? ax ? b (c ? 0, ad ? bc) 的图像是双曲线,其两渐近线分别直线 x ? ? d (由分母为零确 c cx ? d 定)和直线 y ? a (由分子、分母中 x 的系数确定),对称中心是点 (? d , a ) 。如 c c c 2 已知函数图象 C ? 与 C : y( x ? a ? 1) ? ax ? a ? 1 关于直线 y ? x 对称,且图象 C ? 关于点(2,-3) 对称,则 a 的值为______ (答:2)

8. | f ( x) | 的图象先保留 f ( x) 原来在 x 轴上方的图象,作出 x 轴下方的图象关于 x 轴的对称图 形,然后擦去 x 轴下方的图象得到; f (| x |) 的图象先保留 f ( x) 在 y 轴右方的图象,擦去 y 轴左方的 图象,然后作出 y 轴右方的图象关于 y 轴的对称图形得到。如 (1)作出函数 y ?| log2 ( x ? 1) | 及 y ? log2 | x ? 1| 的图象; (2)若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ) 的图象关于____对称 (答: y 轴) 提醒: (1)从结论②③④⑤⑥可看出,求对称曲线方程的问题,实质上是利用代入法转化为求 点的对称问题; (2)证明函数图像的对称性,即证明图像上任一点关于对称中心(对称轴)的对称 点仍在图像上; (3)证明图像 C1 与 C2 的对称性,需证两方面:① 证明 C1 上任意点关于对称中心(对 称轴)的对称点仍在 C2 上;②证明 C2 上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在 C1 上。如 x ?1? a (a ? R) 。求证:函数 f ( x) 的图像关于点 M (a, ?1) 成中心对称图 (1)已知函数 f ( x) ? a?x 形; (2)设曲线 C 的方程是 y ? x 3 ? x ,将 C 沿 x 轴, y 轴正方向分别平行移动 t , s 单位长度后得曲 线 C1 。①写出曲线 C1 的方程
?t s? (答: y ? ( x ? t )3 ? ( x ? t ) ? s ) ;②证明曲线 C 与 C1 关于点 A? , ? 对称。 ? 2 2?

十三.函数的周期性。 1.类比“三角函数图像”得: ①若 y ? f ( x) 图像有两条对称轴 x ? a, x ? b(a ? b) ,则 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期为 T ? 2| a ?b| ; ②若 y ? f ( x) 图像有两个对称中心 A(a,0), B(b,0)(a ? b) ,则 y ? f ( x) 是周期函数,且一周期为 T ? 2| a ?b| ; ③如果函数 y ? f ( x) 的图像有一个对称中心 A(a, 0) 和一条对称轴 x ? b(a ? b) ,则函数 y ? f ( x) 必 是周期函数,且一周期为 T ? 4 | a ? b | ; 如 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是以 2 为周期的奇函数,则方程 f ( x) ? 0 在 [?2, 2] 上至少有 __________个实数根(答:5) 2.由周期函数的定义“函数 f ( x) 满足 f ?x ? ? f ?a ? x ? (a ? 0) ,则 f ( x) 是周期为 a 的周期函数”得: ①函数 f ( x) 满足 ? f ?x ? ? f ?a ? x ? ,则 f ( x) 是周期为 2 a 的周期函数; 1 ②若 f ( x ? a) ? (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a ; f ( x) 1 ③若 f ( x ? a) ? ? (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a . f ( x) 如(1) 设 f ( x) 是 (??,??) 上的奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ,则 f (47.5) 等于_____ (答: ? 0.5 ); (2)定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且在 [?3, ?2] 上是减函数,若 ? , ? 是锐角三 角形的两个内角,则 f (sin ? ), f (cos ? ) 的大小关系为________ _(答: f (sin ? ) ? f (cos ? ) ); (3)已知 f ( x) 是偶函数,且 f (1) =993, g ( x) = f ( x ? 1) 是奇函数,求 f (2005) 的值 (答:993); (4)设 f ? x ? 是定义域为 R 的函数,且 f ? x ? 2 ? ? ?1 ? f ? x ? ? ? ? 1 ? f ? x ? ,又 f ? 2? ? 2 ? 2 ,则

f ? 2006? =

(答: 十四.指数式、对数式:
a n ? n am , a
m

2 ?2 ) 2

?m n

, , a0 ? 1 , loga 1 ? 0 , loga a ? 1 , lg 2 ? lg 5 ? 1 , loge x ? ln x , ? 1 m an
log c a
m

ab ? N ? loga N ? b(a ? 0, a ? 1, N ? 0) , a loga N ? N , log a b ? logc b , log a b n ?
(1) log2 25 log3 4 log5 9 的值为________

n log a b 。如 m

(答:8);
1 log (2) ( ) 2
2

8

的值为________ (答:
1 ) 64

十五.指数、对数值的大小比较: (1)化同底后利用函数的单调性; (2)作差或作商法; (3)利用中间量(0 或 1) ; (4)化同指数(或同真数)后利用图象比较。 十六.函数的应用。 (1)求解数学应用题的一般步骤:①审题――认真读题,确切理解题意,明 确问题的实际背景,寻找各量之间的内存联系;②建模――通过抽象概括,将实际问题转化 为相应的数学问题,别忘了注上符合实际意义的定义域;③解模――求解所得的数学问题; ④回归――将所解得的数学结果,回归到实际问题中去。 (2)常见的函数模型有:①建立一 b 次函数或二次函数模型;②建立分段函数模型;③建立指数函数模型;④建立 y ? ax ? 型。 x 十七.抽象函数:抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式,只给出了其它一些条件(如 函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等)的函数问题。求解抽象函数问题的常用方 法是: 1.借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 : ①正比例函数型: f ( x) ? kx(k ? 0) --------------- f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ; x f ( x) ②幂函数型: f ( x) ? x2 -------------- f ( xy) ? f ( x) f ( y) , f ( ) ? ; y f ( y) f ( x) ③指数函数型: f ( x) ? a x ------------ f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) , f ( x ? y ) ? ; f ( y) x ④对数函数型: f ( x) ? loga x ----- f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( ) ? f ( x) ? f ( y) ; y f ( x) ? f ( y ) ⑤三角函数型: f ( x) ? tan x ----- f ( x ? y ) ? 。如已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函 1 ? f ( x) f ( y ) T 数,且为周期函数,若它的最小正周期为 T,则 f (? ) ? ____(答:0) 2 2.利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等)进行演绎探究:如 (1)设函数 f ( x)( x ? N ) 表示 x 除以 3 的余数,则对任意的 x, y ? N ,都有 A、 f ( x ? 3) ? f ( x) B、 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) C、 f (3x) ? 3 f ( x) D、 f ( xy) ? f ( x) f ( y) (答:A) ; 3 (2) 设 f ( x) 是定义在实数集 R 上的函数, 且满足 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) , 如果 f (1) ? lg , 2

f (2) ? lg15 ,求 f (2001 )

(答:1) ; (3) 如设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 证明: 直线 x ? 1 是函数 f ( x) 图 象的一条对称轴; (4)已知定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x ? 4) ,且当 x ? 2 时, f ( x) 单调递增。 如果 x1 ? x2 ? 4 ,且 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值的符号是____ (答:负数) 3.利用一些方法(如赋值法(令 x =0 或 1,求出 f (0) 或 f (1) 、令 y ? x 或 y ? ? x 等) 、递推法、 反证法等)进行逻辑探究。如 (1)若 x ? R , f ( x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) ,则 f ( x) 的奇偶性是______ (答:奇函数) ; (2)若 x ? R , f ( x) 满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y ) ,则 f ( x) 的奇偶性 是 y ______ (答:偶函数) ; (3) 已知 f ( x) 是定义在 (?3,3) 上的奇函数, 当 0 ? x ? 3 时, f ( x) 的图 像 如 右 图 所 示 , 那 么 不 等 式 f ( x) cos x ? 0 的 解 集 是 O 1 2 3 x _____________ ? ? (答: (? , ?1) (0,1) ( ,3) ) ; 2 2 x (4)设 f ( x) 的定义域为 R ? ,对任意 x, y ? R ? ,都有 f ( ) ? f ( x) ? f ( y) ,且 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,又 y 1 f ( ) ?1 ,①求证 f ( x) 为减函数;②解不等式 f ( x) ? f (5 ? x) ? ?2 . 2 (答: ? 0,1? ?4,5? ) .



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