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宁夏银川一中2013届高三上学期第一次月考数学(理)试题


银川一中 2013 届高三年级第一次月考

数 学 试 卷(理)
2012.08

命题人:裔珊珊

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合 M A.(3 2
2

? {x |

x ?1 x ?1

? 1} ,集合 N ? { x | 2 x ? 3 ? 0} ,则 (C R M ) ? N ? 3 2 3 2 3 2

(

)

,1 )

B.(-

,1 ]

C.[-

,1 )

D.[-

,1 ]

2.函数 f ( x) ?
1 2

2 x ? 3x ? 2 log 2 ( x ? 1)

的定义域是(

)

A. (-

,2 )

B.
2 x

( ?? ,?

1 2

] ? [ 2,?? )

C. (2,+ ? ) )
1

D. [1,+ ? )

3.下列函数 f ( x) ?

(x>1)的值域是(

0 ? A. ?? ?,? ? ?0, ? ?

B. R

C. ( ,??)
2

D. (0,2)

4. 下列函数中,在其定义域是减函数的是( A. f ( x) ? ? x ? 2 x ? 1
2

) C. f ( x) ? ( ) | x|
4 1

B.

f ( x) ?

1 x

D.

f ( x ) ? ln( 2 ? x )

5. 函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? A. (3,4) 6.已知二次函数 A. -1 7. 函数 f ( x) ?
x ?1
2

2 x

的零点所在的大致区间是(



B. (2,e) C. (1,2) D. (0,1)
f ( x) ? x
2

? ax ? 4 ,若 f ( x ? 1) 是偶函数,则实数

的值为(

) D. 2

B. 1 , 则
f (2) 1 f( ) 2 ?(

C. -2 )

x ?1
2

A. 1

B. -1

C.

3 5

D. ? )

3 5

8. 函数 y ? log a (| x | ?1), (a ? 1) 的图像大致是(

y

y

y

y

O

x

O

x

-1 O

1 x

-1 O

1

x

A.
3 2

B.

C.

D. y=f(x)

9. 设 a 为实数, 函数 f(x)=x +ax +(a-2)x 的导数是 在原点处的切线方程为( A.y=-2x 10.已知函数 B.y=3x ) C.y=-3x

f ' ( x ) , f ' ( x ) 是偶函数, 且 则曲线

D.y=4x )

? ? x ? 1( ?1 ? x ? 0) f ( x) ? ? ,则 f ( x ) ? f ( ? x ) ? ?1 的解集为( ? ? x ? 1( 0 ? x ? 1)

A.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,0)∪(1,+∞)

B. [-1,D. [-1,-

1 2 1 2

)∪(0,1] ]∪(0,1) .若 F(x)=max{f(x),g(x)}(x∈R),其中函

11.对于任意的实数 a、b,记 max{a,b}= ?

?a (a ? b ) ?b( a ? b )

数 y=f(x)(x∈R)是奇函数,且在 x=1 处取得极小值-2,函数 y=g(x) (x∈R)是正比例函 数, 其图象与 x≥0 时的函数 y=f(x)的图象如图所示, 则下列关于函数 y=F(x)的说法中, 正确的是( )

A.y=F(x)为奇函数 B.y=F(x)有极大值 F(-1) C.y=F(x)的最小值为-2,最大值为 2 D.y=F(x)在(-3,0)上为增函数 12.设函数
?( a ? 2 ) x ( x ? 2 ) ? f ( x) ? ? 1 x 是 ?( ) ? 1( x ? 2) ? 2

R 上的单调递减函数,则实数 a 的取值范围为(

)

A.(-∞,2)

B.(-∞,

13 8

]

C.(0,2)

D.[

13 8

,2)

二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分。 ) 13.设 a ? log 1
3

1 2

, b ? log 1
3

2 3

, c ? log 3

4 3

,则 a , b, c 大小关系是_______________.

14.若函数

f ( x) ?

x ( x ? 1)( 2 x ? a )

为奇函数,则 a=____________.

? 0 15. 函数 f(x)在 ?? ?, ? ? 上是奇函数, x ? ?? ?,? 时 f ( x) ? 2 x( x ? 1) , f(x)= ______. 当 则

16.已知 则

f ( x ) 是定义在 R 上的函数,且满足 f ( x ? 1) ? f ( x ) ? 3, x ? [0,1] 时, f ( x ) ? 2 ? x



f (?2005.5) 等于

.

三.解答题:(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 17.(本题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ax +bx+c (a>0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线 x-6y-7=0 垂直,导数 f ?(x) 的 最小值为-12,求 a,b,c 的值. 18.(本题满分 12 分) 设函数
f ( x ) ? ax ? 1 x?b
3



a



b

为常数) 且方程 ,

f ( x) ?

3 2

x

有两个实根为

x 1 ? ?1, x 2 ? 2 .

(1)求 y ?

f ( x ) 的解析式;
f ( x ) 的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心.

(2)证明:曲线 y ? 19.(本题满分 12 分)

f(x)=lnx-ax ,x∈(0,1]
(1)若 f(x)在区间(0,1]上是增函数,求 a 范围; (2)求 f(x)在区间(0,1]上的最大值.

2

20.(本题满分 12 分) 设 a ? 0 ,函数 (1) 设 t ? (2)求 g(a ) ; 21(本题满分 12 分) 设函数 f(x)=(1+x) -2ln(1+x) (1)若定义域内存在 x0,使得不等式 f(x0)-m≤0 成立,求实数 m 的最小值; (2)g(x)=f(x)-x -x-a 在区间[0,3]上恰有两个不同的零点,求 a 范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1;几何证明选讲. 如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC,过点 D 作 AC 的平行线 DE,交 BA 的延长线于点 E. 求证:DE·DC=AE·BD. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程. 从极点 O 作直线与另一直线 l : ? cos ? OM·OP=12.
?4
2 2

f ( x) ? a 1 ? x

2

?

1? x ?

1? x

的最大值为 g(a ) .
f ( x ) 表示为 t 的函数 m (t ) ;

1? x ?

1? x

,求 t 的取值范围,并把

相交于点 M,在 OM 上取一点 P,使得

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)设 R 为 l 上的任意一点,试求 RP 的最小值。 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 当 n>2 时,求证:logn(n-1)logn(n+1)<1.

银川一中 2013 届高三第一次月考数学(理科)试卷参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答数 1 B 2 C 3 D 4 D 5 C 6 D 7 B 8 B 9 A 10 B 11 B 12 B

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分 13.a>b>c 14. 2 15.
? 2 x ( x ? 1)( x ? 0) ? ? ? 2 x ( x ? 1)( x ? 0)

16. 1.5

三、解答题 17.∵ y=f(x)为奇函数 ∴c=0
f ( x ) ? ax
3

? bx

f ' ( x ) ? 3ax

2

?b

f ' (1) ? 3a ? b ? ?6

b=-12 ? 3a-12=-6 3a=6 ? a=2

∴y=2x -12x a=2,b=-12,c=0
1 3 ? ?a? ?? , ? , ?1? b 2 解得 ? a ? 1 18.解: (Ⅰ)由 ? ? 1 , ?b ? ?1 ? 2a ? ?3 2?b ?

3

故 f ( x) ? x ?

1 x ?1


1 x

(II)证明:已知函数 y1 ? x , y2 ? 所以函数 g ( x) ? x ? 而 f ( x) ? x ? 1 ?
1 x ?1 1 x ?1 .

都是奇函数.

也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形.

可知,函数 g ( x) 的图像沿 x 轴方向向右平移 1 个单位,再沿 y 轴方向向上平移 1 个单位, 即得到函数 f ( x) 的图像,故函数 f ( x) 的图像是以点 (11) 为中心的中心对称图形. ,

19. f(x)=lnx-ax

2

(1)∵y=f(x)在(0,1 ]上增
f ' ( x ) ? 0 在(0,1

]上恒成立 ]上恒成立



1 x

? 2ax ? 0 在(0,1

a?

1 2x
2

得a ? (2)

1 2

f ' ( x) ?

1 x

? 2ax ?

1 ? 2ax x

2

1)若 a≤0 时,

f ' ( x) ?

1 ? 2ax x

2

?0

∴y=f(x)在(0,1 ]上单调递增 f(1)max=-a
? 2a ( x
2

?

1 2a

) ?

? 2a ( x ?

1 2a x

)( x ?

1 2a

)

2)若 a>0,

f ' ( x) ? x

∴y=f(x)在(0, ①当
1 2a

1 2a

)上单调递增, (
1 2

1 2a

,+ ? )单调递减

≥1,即 0<a≤



f(1)max=-a

②当
f(

1 2a 1 2a

<1,即 a>
) ? ln 1 2a

1 2


1 2a ? ln 1 2a ? 1 2

?a?

20. 解: (Ⅰ) t ? 1 ? x ? 1 ? x , 要使有 t 意义,必须 1 ? x ? 0, 且 1 ? x ? 0 ,即 ? 1 ? x ? 1 , ∴ t 2 ? 2 ? 2 1 ? x 2 ? [0,2] ∴ t 的取值范围是 [? 2 , 2 ] . 由①得 1 ? x 2 ? 1 ? ∴ m(t ) ? a (1 ?
1 2
2



1 2

t ,
2

t )?t ? ?

1 2

at ? t ? a , t ? [? 2 ,
2

2] 2 ] 的最大值.

(Ⅱ)由题意知 g (a ) 即为函数 m(t ) ? ? 注意到直线 t ?
1 a

1 2

at ? t ? a, t ? [? 2 ,
2

是抛物线 m(t ) ? ?

1 2

at ? t ? a 的对称轴,
2

分以下几种情况讨论. (1)当 a ? 0 时, ①由 0 ?
1 a 1 a
g ( a ) ? m( 2 ) ?

?

2 ,即 a ?

2 2 2 2

时, g (a ) ? m( ) ?
a 1 2

1

1 2a

? a.

②由

?

2 ,即 0 ? a ?

时, m(t ) ? ?

at ? t ? a 在 t ? [? 2 ,
2

2 ] 单调递增,

2 . ………………6 分 2.

(2)当 a ? 0 时, m(t ) ? t , t ? [? 2 , 2 ] ,∴ g (a ) ? m( 2 ) ?
? 1 2 ? a, a ? . ? ? 2a 2 综上有 g (a ) ? ? 2 ? 2, 0?a? . ? 2 ?

21. (1)存在 x0 使 m≥f(x0)min
f ' ( x ) ? 2(1 ? x ) ? 2 1? x ? 2 x ( x ? 2) 1? x ( x ? ?1)



f ' ( x) ? 0 ? x ? 0

f ' ( x) ? 0 ? x ? 0

∴y=f(x)在(-1,0)上单减,在(0,+ ? )单增 f(0)min=1

∴m≥1 ∴mmin=1 (2)g(x)=x+1-a-2ln(1+x)在[0,3]上两个零点 ? x+1-2ln(1+x)=a 有两个交点 令 h(x)=x+1-2ln(1+x)
h' ( x ) ? 1 ? 2 x ?1 ? x ?1 x ?1

h' ( x ) ? 0 ? x ? 1

h' ( x ) ? 0 ? x ? 1

∴y=f(x)在[0,1]上单减,(1,3]上单增 h(0)=1-2ln1=1 h(1)=2-2ln2 h(3)=4-2ln4 ∴2-ln2<a≤1



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