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利用导数研究函数的性质


利用导数研究函数的性质
基础过关 1. 函数的单调性 ⑴ 函数 y= f (x) 在某个区间内可导, f ?(x) >0, f (x ) 为 若 则 为 .(逆命题不成立) (2) 如果在某个区间内恒有 f ?( x ) ? 0 ,则
f (x)

; f ?( x ) <0, f (x ) 若 则

.

注:连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法: ① 确定函数 f (x) 的 ; ② 求 f ?(x) ,令 ,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根; ③ 把函数 f (x) 的间断点(即 f (x) 的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺 序排列起来,然后用这些点把函数 f (x) 的定义区间分成若干个小区间; ④ 确定 f ?(x) 在各小开区间内的 , 根据 f ?(x) 的符号判定函数 f (x) 在各个相应小开区 间内的增减性. 2.可导函数的极值 ⑴ 极值的概念 设函数 f (x) 在点 x0 附近有定义,且对 x0 附近的所有点都有 f ( x 0 ) 为函数的一个极大(小)值.称 x0 为极大(小)值点.

(或

),则称

⑵ 求可导函数极值的步骤: ① 求导数 f ?(x) ; ② 求方程 f ?(x) =0 的 ; ③ 检验 f ?(x) 在方程 f ?(x) =0 的根左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负, 那么函数 y= f (x) 在这个根处取得 ;如果在根的左侧附近为负,右侧为正,那么函 数 y= f (x) 在这个根处取得 . 3.函数的最大值与最小值: ⑴ 设 y= f (x ) 是定义在区间[a ,b ]上的函数,y= f (x) 在(a ,b )内有导数,则函数 y= f (x) 在[a ,b ]上 有最大值与最小值;但在开区间内 有最大值与最小值. (2) 求最值可分两步进行: ① 求 y= f (x) 在(a ,b )内的 值; ② 将 y= f (x) 的各 值与 f (a) 、 f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个 为最小值. (3) 若函数 y= f (x) 在[a ,b ]上单调递增,则 f (a) 为函数的 , 的 ;若函数 y= f (x ) 在[a ,b ]上单调递减,则 f (a ) 为函数的 数的 典型例题 例 1. 已知 f(x)=e -ax-1.? (1)求 f(x)的单调增区间;? (2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围;? (3)是否存在 a,使 f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增?若存在,求 出 a 的值;若不存在,说明理由. x 解: f ?(x) =e -a.? x (1)若 a≤0, f ?(x) =e -a≥0 恒成立,即 f(x)在 R 上递增.?
x

f (b)

为函数 , f (b) 为函

.

若 a>0,e -a≥0,∴e ≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).? (2)∵f(x)在 R 内单调递增,∴ f ?(x) ≥0 在 R 上恒成立.? ∴e -a≥0,即 a≤e 在 R 上恒成立.? x x ∴a≤(e )min,又∵e >0,∴a≤0.? x (3)方法一 由题意知 e -a≤0 在(-∞,0]上恒成立.? x x ∴a≥e 在(-∞,0]上恒成立.∵e 在(-∞,0]上为增函数.? x x ∴x=0 时,e 最大为 1.∴a≥1.同理可知 e -a≥0 在[0,+∞)上恒成立.? x ∴a≤e 在[0,+∞)上恒成立.∴a≤1,∴a=1.? 0 方法二 由题意知,x=0 为 f(x)的极小值点.∴ f ?(0) =0,即 e -a=0,∴a=1. 变式训练 1. 已知函数 f(x)=x -ax-1.? (1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围;? (2)是否存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出 a 的取值范围;若不 存在,说明理由;? 3 (3)证明:f(x)=x -ax-1 的图象不可能总在直线 y=a 的上方.? 2 (1)解 由已知 f ?(x) =3x -a,∵f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,? 2 2 ∴ f ?(x) =3x -a≥0 在(-∞,+∞)上恒成立,即 a≤3x 对 x∈R 恒成立.? 2 2 ∵3x ≥0,∴只需 a≤0,又 a=0 时, f ?(x) =3x ≥0,? 故 f(x)=x -1 在 R 上是增函数,则 a≤0.? 2 2 (2)解 由 f ?(x) =3x -a≤0 在(-1,1)上恒成立,得 a≥3x ,x∈(-1,1)恒成立.? 2 2 ∵-1<x<1,∴3x <3,∴只需 a≥3.当 a=3 时, f ?(x) =3(x -1),? 在 x∈(-1,1)上, f ?(x) <0,即 f(x)在(-1,1)上为减函数,∴a≥3.? 故存在实数 a≥3,使 f(x)在(-1,1)上单调递减.? (3)证明 ∵f(-1)=a-2<a,∴f(x)的图象不可能总在直线 y=a 的上方. 例 2. 已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,曲线 y=f(x) 在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0, x= 时, 若 y=f(x)有极值. (1)求 a,b,c 的值;? (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值. 3 2 2 解 (1)由 f(x)=x +ax +bx+c,得 f ?(x) =3x +2ax+b,? 当 x=1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2a+b=0
2 2 当 x= 时,y=f(x)有极值,则 f ?? ? =0,可得 4a+3b+4=0 ? ? 3 ?3?
3 2 3 3 x x

x

x

2 3

①? ②?

由①②解得 a=2,b=-4.由于切点的横坐标为 x=1,∴f(1)=4.? ∴1+a+b+c=4.∴c=5.? 3 2 2 (2)由(1)可得 f(x)=x +2x -4x+5,∴ f ?(x) =3x +4x-4,? 令
f ?(x ) =0,得

x=-2,x= .?

2 3

当 x 变化时,y,y′的取值及变化如下表: x y′ y 8 -3 (-3,-2) + 单调递增 ↗ -2 0 13
2? ? ? ? 2, ? 3? ?
2 3

?2 ? ? ,1? ?3 ?

1

单调递减 ↘

0
95 27

+ 单调递增 ↗

4

∴y=f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为
4 2

95 . 27

变式训练 2. 函数 y=x -2x +5 在区间[-2,2]上的最大值与最小值. 3 3 解 先求导数,得 y′=4x -4x,令 y′=0,即 4x -4x=0.解得 x1=-1,x2=0,x3=1.? 导数 y′的正负以及 f(-2),f(2)如下表:? x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) y′ 0 + 0 0 + ↘ ↗ ↘ ↗ y 13 4 5 4 从上表知,当 x=±2 时,函数有最大值 13,当 x=±1 时,函数有最小值 4. 2 -ax 例 3. 已知函数 f(x)=x e (a>0),求函数在[1,2]上的最大值. 2 -ax -ax 2 -ax -ax 2 解 ∵f(x)=x e (a>0),∴ f ?(x) =2xe +x ·(-a)e =e (-ax +2x). 令
f ?(x ) >0,即

2 13

e (-ax +2x)>0,得 0<x<

-ax

2

2 .? a

2 2 ∴f(x)在(-∞,0), ? ,?? ? 上是减函数,在 ? 0, ? 上是增函数.? ? ? ? ? ?a ?

?

a?

①当 0<

2 <1,即 a>2 时,f(x)在(1,2)上是减函数,? a
-a

∴f(x)max=f(1)=e . ②当 1≤
2 ≤2,即 1≤a≤2 时,? a

2 2 f(x)在 ?1, ? 上是增函数,在 ? ,2 ? 上是减函数,? ? ? ? ? ? a? ?a ?
-2 -2 2 ∴f(x)max=f ? ? =4a e . ? ?

?a?

③当

2 >2 时,即 0<a<1 时,f(x)在(1,2)上是增函数,? a
-2a

∴f(x)max=f(2)=4e .? -2a 综上所述,当 0<a<1 时,f(x)的最大值为 4e ,? -2 -2 当 1≤a≤2 时,f(x)的最大值为 4a e ,? -a 当 a>2 时,f(x)的最大值为 e . 2 变式训练 3. 设函数 f(x)=-x(x-a) (x∈R),其中 a∈R.? (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)当 a≠0 时,求函数 f(x)的极大值和极小值.? 2 3 2 解:(1)当 a=1 时,f(x)=-x(x-1) =-x +2x -x,? 2 f(2)=-2, f ?(x) =-3x +4x-1,? f ?(2) ? -12+8-1=-5,? ∴当 a=1 时,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为? 5x+y-8=0.? 2 3 2 2 (2)f(x)=-x(x-a) =-x +2ax -a x,? 2 2 f ?(x ) =-3x +4ax-a =-(3x-a)(x-a),? 令
f ?(x ) =0,解得

x=

a 或 x=a.? 3

由于 a≠0,以下分两种情况讨论.? ①若 a>0,当 x 变化时, f ?(x) 的正负如下表:?

x
f ?(x )

(-∞, ↘

a ) 3

a 3

( +

a ,a) 3

a 0 0

(a,+∞) ↘

0
4 3 ? a 27

f(x)



因此,函数 f(x)在 x= 且 f(
a 4 )=- a 3 ; ? 27 3

a a 处取得极小值 f( ),? 3 3

函数 f(x)在 x=a 处取得极大值 f(a),且 f(a)=0.? ②若 a<0,当 x 变化时, f ?(x) 的正负如下表:? x
f ?(x )

(-∞,a) ↘

a 0 0

(a, + ↗

a ) 3

a 3

( -

a ,+∞) 3

0 4 3 a 27

f(x)



因此,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 f(a),且 f(a)=0;? 函数 f(x)在 x= 且 f(
a a 处取得极大值 f( ),? 3 3

a 4 )=- a3 . 27 3

例 4. 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元(3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元(9≤x≤11)时,一年的销售量为 2 (12-x) 万件.?(1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; ? (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a). 2 解 (1) 分公司一年的利润 L 万元) ( 与售价 x 的函数关系式为: L=(x-3-a)(12-x) ,x∈ [9,11] . ? 2 (2) L?(x) =(12-x) -2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).? 令 L? =0 得 x=6+ a 或 x=12(不合题意,舍去).? ∵3≤a≤5,∴8≤6+ a≤
2 3 2 3
28 .? 3

2 3

在 x=6+ a 两侧 L′的值由正变负.? 所以①当 8≤6+ a<9 即 3≤a< 时,Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9) =9(6-a).? ②当 9≤6+ a≤
2 3 2 3
28 9 ,即 ≤a≤5 时,? 2 3

2 3

9 2

2

Lmax=L(6+ a)=(6+ a-3-a)[12-(6+ a)] =4(3- a) .?

2 3

2 3

2

1 3

3

? ?9(6 ? a ), ? 所以 Q(a) ? ? 3 ?4? 3 ? 1 a ? , ? ? ? ? 3 ? ?
9 2

3? a ?

9 , 2

9 ? a ? 5. 2

答 若 3≤a< , 则当每件售价为 9 元时, 分公司一年的利润 L 最大, 最大值 Q (a) =9(6-a) (万元);若 ≤a≤5,则当每件售价为(6+ a)元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值
? ? Q(a)= 4? 3 ? a ? (万元). ? 1 3 ?
3

9 2

2 3

变式训练 4: 某造船公司年造船量是 20 艘, 已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)=3 700x+45x -10x (单位:万元),成本函数为 C(x)=460x+5 000(单位:万元),又在经济学中,函数 f(x) 的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x). (1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x);(提示:利润=产值-成本)? (2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?? (3) 求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么? 3 2 * 解:(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x +45x +3 240x-5 000(x∈N ,且 1≤x≤20);? 2 * MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x +60x+3 275 (x∈N ,且 1≤x≤19).? 2 (2) P?(x) =-30x +90x+3 240=-30(x-12)(x+9),? ∵x>0,∴ P?(x) =0 时,x=12,? ∴当 0<x<12 时, P?(x) >0,当 x>12 时, P?(x) <0,? ∴x=12 时,P(x)有最大值.? 即年造船量安排 12 艘时,可使公司造船的年利润最大.? 2 2 (3)MP(x)=-30x +60x+3 275=-30(x-1) +3 305.? 所以,当 x≥1 时,MP(x)单调递减,? * 所以单调减区间为[1,19],且 x∈N .? MP(x)是减函数的实际意义是:随着产量的增加,每艘利润与前一艘比较,利润在减少. 小结归纳 研究可导函数 f (x) 的单调性、 (最值) 应先求出函数 极值 时, =0 的 x 取值或 f ' ( x) >0( f ' ( x) <0)的 x 的取值范围.
f (x) 的导函数 f ' ( x ) , 再找出 f ' ( x)

2

3


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