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广东省13大市2013届高三数学上学期期末试题分类汇编9 三角函数 理 新人教A版



广东省 13 大市 2013 届高三上期末考数学理试题分类汇编 三角函数
一、选择、填空题 1、 (潮州市 2013 届高三上学期期末)在 ?ABC 中角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c , 若 ( 2b ? c ) cos A ? a cos C , 则 cos A ? ________. 答案:

1 2

解析:由 ( 2b ? c ) cos A ? a cos C ,得 2b cos A ? c cos A ? a cos C ,

2sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C ,故 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ,
又在 ?ABC 中 sin( A ? C ) ? sin B ? 0 ,故 cos A ?

1 , 2
2

2、 (东莞市 2013 届高三上学期期末)若函数 f ( x) ? cos x ?

? 的奇函数 2 C.最小正周期为 2? 的偶函数
A.最小正周期为 答案:D

1 ( x ? R) ,则 f ( x) 是 2

B.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为 ? 的偶函数

3、 (佛山市 2013 届高三上学期期末)函数 y ? sin x ? sin ? x ? 最大值是 .

? ?

??

? 的最小正周期为 3?



答案: 2? (2 分) , 3 (3 分) 4、 (广州市 2013 届高三上学期期末)函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

?
6

单位后与函数

y ? sin 2 x 的图象重合,
则 y ? f ( x) 的解析式是 A. f C. f 答案:B

? x? ? x?

? cos(2 x ? ? cos(2 x ?

? ?
3 6

) )

B. f D. f

? x? ? x?

? cos(2 x ? ? cos(2 x ?

? ?
6 3

) )

分析:逆推法,将

的图象向左平移

个单位即得

的图象,

1



5、 (江门市 2013 届高三上学期期末)函数 f ( x) ? ? sin(2 x ? A.周期为 ? 的奇函数 C.周期为 ? 的偶函数 B.周期为 2? 的奇函数 D.周期为 2? 的偶函数

3 ? ) 在其定义域上是 2

答案:C 6、 (茂名市 2013 届高三上学期期末) 已知函数 y ? sin x ? cos x , 则下列结论正确的是 ( A. 此函数的图象关于直线 x ? ? C. 此函数在区间 (?



?
4

对称

B. 此函数的最大值为 1 D. 此函数的最小正周期为 ?

? ?

, ) 上是增函数 4 4

答案:C 7、 (汕头市 2013 届高三上学期期末)若已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所 对的边,若 a=1, c ? 3 ,A+B=2C,则 sinB=____ 答案:1 8、 (汕头市 2013 届高三上学期期末)设命题 p:函数 y=sin2x 的最小正周期为 命题 q:函数 y=cosx 的图象关于直线 x= A、p 为真 答案:C 9、 (湛江市 2013 届高三上学期期末) 在△ABC 中, ∠A= 则边 AC 的长为 A、1 答案:A 10 、( 中 山 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 若 △ ABC 的 三 个 内 角 满 足 B、 3 C、2 D、1 B、 ? q 为假

? 对称,则下列的判断正确的是( 2 C、 p ? q 为假 D、 p ? q 为真

? ; 2


?
3

, AB=2, 且△ABC 的面积为

3 , 2

sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13,则△ ABC (
A.一定是锐角三角形 C.一定是钝角三角形 答案:C



B.一定是直角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

12、 (珠海市 2013 届高三上学期期末)函数 y=sin (2x+ 图象 A.向左平移

π )的图象可由函数 y=sin 2x 的 4

π 个单位长度而得到 8

B.向右平移

π 个单位长度而得到 8
2

C.向左平移 答案:A 二、解答题

π 个单位长度而得到 4

D.向右平移

π 个单位长度而得到 4

1、 (潮州市 2013 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x , f ?( x) 是 f ( x) 的导函 数. (1)求函数 g ( x) ? f ( x) ? f '( x) 的最小值及相应的 x 值的集合; (2)若 f ( x) ? 2 f ?( x) ,求 tan( x ?

?
4

) 的值.
…… 2 分

解: (1)∵ f ( x) ? sin x ? cos x ,故 f '( x) ? cos x ? sin x . ∴ g ( x) ? f ( x) ? f '( x) ? ( sin x ? cos x )( cos x ? sin x )

? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x .
∴当 2 x ? ?? ? 2k? ( k ? Z ) ,即 x ? ?

……… 5 分

?
2

? k? ( k ? Z ) 时, g ( x) 取得最小 ? k? , k ? Z } . ……… 7 分

值 ?1 ,相应的 x 值的集合为 { x | x ? ?

?
2

评分说明:学生没有写成集合的形式的扣分. (2)由 f ( x) ? 2 f ?( x) ,得 sin x ? cos x ? 2 cos x ? 2sin x , ∴ cos x ? 3sin x ,故 tan x ?

∴ tan( x ?

?
4

)?

tan x ? tan

?
4

1 ? tan x tan

?
4

1 , 3 1 1? 3 ?2. ? 1 1? 3

……… 10 分

……… 12 分

2、 (东莞市 2013 届高三上学期期末) 设函数 f ( x) ? sin x sin(

?
2

? x) ? cos 2 ,在△ABC 中,角 A、B、C的对边分别为 a,b,c

(1)求 f ( x) 的最大值; (2)若 f ( A) ? 1, A ? B ?

7? , b ? 6 ,求 A 和 a。 12

解: (1)因为 f ( x) ? sin x sin(

?

2

? x) ? cos 2 x

? sin x cos x ? cos2 x …………1 分

1 = [sin 2 x ? 1 ? cos 2 x] 2

…………3 分

3

?

2 ? 1 sin(2 x ? ) ? . 2 4 2
所以,当 sin(2 x ?

…………4 分

?
4

) ? 1 ,即 2 x ?
…………5 分

?
4

?

?
2

? 2k? , x ? k? ?

?
8

(k ? Z ) 时, f ( x )

取得最大值, 其最大值为

2 ?1 . 2

…………6 分

(2)由 f ( A) ? 1 得,

2 ? 1 ? 2 sin(2 A ? ) ? ? 1 ,即 sin(2 A ? ) ? . ……7 分 2 4 2 4 2

在 ?ABC 中,因为 A ? (0, ? ) ,所以 2 A ? 又 sin(2 A ?

?

? 9? ?( , ). 4 4 4
………9 分

?
4

)?

2 ? ? 3? ? 0 , 所以 2 A ? ? ,A? . 2 4 4 4

? 7? ,所以 B ? . ………10 分 3 12 a b 在△ ABC 中,由 及 b ? 6 ,得 ? sin A sin B
又因为 A ? B ?

b sin A a? ? sin B

6? 3 2

2 2 ? 2.

…………12 分

3、 (佛山市 2013 届高三上学期期末) 如图,在△ ABC 中, ?C ? 45 , D 为 BC 中点, BC ? 2 .
?

A

记锐角 ?ADB ? ? .且满足 cos 2? ? ? (1)求 cos? ; (2)求 BC 边上高的值. 解析: (1)∵ cos 2? ? 2cos ? ? 1 ? ?
2

7 . 25

∵ ? ? (0,

?
2

7 9 C 2 ,∴ cos ? ? , D B 25 25 第 16 题图
-----------------5 分
2

) ,∴ cos ? ?

3 . 5

(2)方法一、由(1)得 sin ? ? 1 ? cos ? ? ∵ ?CAD ? ?ADB ? ?C ? ? ? 45 ,
?

4 , 5

4

∴ sin ?CAD ? sin(? ?

?
4

) ? sin ? cos

?
4

? cos ? sin

?
4

?

2 , 10

----------9 分

在 ?ACD 中,由正弦定理得:

CD AD , ? sin ?CAD sin ?C
A ----------11 分

CD ? sin ?C ∴ AD ? ? sin ?CAD

1?

2 2 ? 5, 2 10

4 ? 4. 5 方法二、如图,作 BC 边上的高为 AH
则高 h ? AD ? sin ?ADB ? 5 ? 在直角△ ADH 中,由(1)可得 cos ? ?

-----------------12 分 C D B
第 16 题图

H

DB 3 ? , AD 5

则不妨设 AD ? 5m, 则 DH ? 3m, AH ? 4m
?

---------8 分

注意到 ?C =45 ,则 ?AHC 为等腰直角三角形,所以 CD ? DH ? AH , 则 1 ? 3m ? 4m 所以 m ? 1,即 AH ? 4 ----------10 分 ----------12 分

4、 (广州市 2013 届高三上学期期末)已知 V ABC 的内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c ,且

a ? 1,b ? 2, B ?

?
3

.

(1) 求 sin A 的值; (2) 求 cos 2C 的值.

(1)解:∵

,

依据正弦定理得:

,

…………… 1 分

即 (2)解:∵ ,

,解得

.

…………… 3 分



.

…………… 4 分

5



.

…………… 5 分



,

…………… 6 分

. ∵ ,

…………… 7 分



.

…………… 8 分



…………… 9 分

…………… 10 分

.

…………… 12 分

5、 (惠州市2013届高三上学期期末) 已知函数 f ( x) ? sin x cos ? ? cos x sin ?(其中 x ? R ,

?? ? ? ,且函数 y ? f ? 2 x ? ? 的图像关于直线 x ? 对称. 0 ?? ?? ) 4? 6 ?
(1)求 ? 的值;

2? 2 )? ,求 sin 2? 的值。 3 4 (1)解:∵ f ( x) ? sin ? x ? ? ? ,……………………………………2分
(2)若 f (? ? ∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? .……………………………………3分 ∵函数 y ? f ? 2 x ?

? ?

??

? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ,……………………………………5分 4? 4 ? ?

又 y ? sin x 的图像的对称轴为 x ? k? ? 令 2x ?

?

?
4

? ? ? k? ?

?
2

2

( k ?Z ) ,………………………………6分



6

将x?

?
6

代入,得 ? ? k? ?

?
12

( k ?Z ) .

11? .……………………………………7分 12 2? 2 2? 11? ? 2 (2)解: f (? ? )? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ) ? (sin ? ? cos ? ) ,…9 3 4 3 12 4 2
∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ? 分

1 1 3 ? 1 ? sin 2? ? ? sin 2? ? ? ………12分 2 4 4 6、 (江门市 2013 届高三上学期期末)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、C 所对的边长分别为 a 、b 、 c ,已知 cos A ? cos 2 A ? 0 . ⑴求角 A 的大小; sin ? ? cos ? ?
⑵若 a ? 3 , b ? 2 ,求 sin(B ?

?
4
2

) 的值.

解:⑴由 cos A ? cos 2 A ? 0 得 2 cos A ? cos A ? 1 ? 0 ……2 分, 解得 cos A ? ?1 或 cos A ?

1 ……4 分, 2

因为 A 是三角形的内角, 0 ? A ? ? ,所以 A ? ⑵由正弦定理

?
3

……6 分

a b 得 ? sin A sin B

3 sin

?
3

?

2 3 ……8 分,解得 sin B ? ……9 分, 3 sin B
6 ……10 分, 3 6?2 3 ……12 分 6

因为 b ? a ,所以 0 ? B ? A ? 所以 sin(B ?

?
3

, cos B ?

?
4

) ? sin B cos

?
4

? cos B sin

?
4

?

7、 (茂名市 2013 届高三上学期期末) 如图所示,角 A 为钝角,且 cos A ?

4 ,点 P 、 Q 分别在角 A 5 12 , 求 s in2 (? ? ? ) 的 13

的两边上. (1)已知 AP =5,AQ =2,求 PQ 的长; ( 2 ) 设 ?APQ ? ? , ?AQP ? ? , 且 cos? ? 值. 解: (1)? ?A 是钝角, sin A ?

3 4 ,? cos A ? ? ………………1 分 5 5 2 2 2 在 ?APQ 中,由余弦定理得: PQ ? AP ? AQ ? 2 AP ? AQ cos A 2 所以 AQ ? 8 AQ ? 20 ? 0 ………………4 分 解得 AQ ? 2 或 ?10 (舍去负值) ,所以 AQ ? 2 …………………6 分 12 5 (2)由 cos? ? …………………7 分 , 得 sin ? ? 13 13 在三角形 APQ 中, ? ? ? ? A ? ?

7

又 sin(? ? ? ) ? sin(? ? A) ? sin A ?

3 , 5

…………………8 分

4 ………………9 分 5 ?sin(2? ? ? ) ? sin[? ? (? ? ? )] ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? sin(? ? ? ) ……11 分 5 4 12 3 56 ………………………12 ? ? ? ? ? 13 5 13 5 65 1 ? 8、 (汕头市 2013 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? tan( x ? ) 3 6 cos(? ? ? ) ? ? cos A ?
(I)求 f(x)的最小正周期; (II)求 f ( ? ) 的值;

7 1 sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 的值. ? ) ? ? ,求 ? 2 2 2 sin(? ? ) 4 ? 解: (1) f ( x) 的最小正周期为 T= ? 3? …………(3 分) 1 3 3? 3? ? ? (2) f ( ) ? tan( ? ) ? tan ? 3 …………(6 分) 2 6 6 3 7? 1 1 7? ? 1 1 (3)由 f (3? ? ) ? ? 得 tan[ (3? ? ) ? ] ? ? 即 tan( ? ? ? ) ? ? ……(8 分) 2 2 3 2 6 2 2 1 所以 tan ? ? ? …………(9 分) 2
(皿)设 f (3? ?

3 2

? cos ? ? 0
sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 2 sin(? ? ) 4 tan ? ? 1 …………(11 分) ? tan ? ? 1 1 ? ?1 ? 2 ? ?3 …………(12 分) 1 ? ?1 2

?

?

sin ? ? cos ? .…………(10 分) sin ? ? cos ?

9、 (增城市 2013 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? 2 sin x(sin x ? cos x) (1)求 f ( x) 的最小正周期及最大值; (2)用五点法画出 f ( x) 在一个周期上的图像 (1) f ( x) ? 2 sin x ? 2 sin x cos x
2

1分 3分
8

? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x

= 1 ? 2 (sin 2 x cos = 1 ? 2 sin(2 x ?

?
4
)

? sin

?
4

cos 2 x)

4分 5分 7分 9分 10 分 11 分 12 分

?
4

? f ( x) 的最小正周期是 ? ,最小值是 2 ? 1
6.列表 画图 特征点 坐标系

10、 (湛江市 2013 届高三上学期期末) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 的部分图象如图所示。 (1)求函数 f(x)的表达式; (2)若 f (? ?

?
2

)

1 ? ) ? (? ? (0, )) ,求 tan ? 的值。 12 3 2

?

11、 (肇庆市 2013 届高三上学期期末) 已知向量 a ? ? A sin

? ?

x x? ? ?? ? , A cos ? , b ? ? cos ,sin ? , 3 3? 6 6? ?

函数 f ( x) ? a ? ,且 f (2? ) ? 2 .(1)求函数 y ? f ( x) 的表达式; (2)设 b ( A ? 0, x ? R )
9

5? ? 20 ? 16 ? ? , ? ? [0, ] , f (3? ? ? ) ? , f ? 3? ? ? ? ? ;求 cos(? ? ? ) 的值 2 ? 13 2 5 ?

解析: (1)依题意得 f ( x) ? A sin

x ? x ? ?x ?? cos ? A cos sin ? A sin ? ? ? 3 6 3 6 ?3 6?

(2 分)

又 f (2? ) ? 2 得 A sin ?

5? ? 2? ? ? ? ? ? 2 ,即 A sin ? 2 ,∴ A ? 4 6 ? 3 6?

(4 分)

∴ f ( x) ? 4sin ?

?x ?? ? ? ?3 6?

(5 分)

(2)由 f (3? ? ? ) ? ∴ cos ? ?

? ? 16 ? ? 16 16 ?1 ? 得 4sin ? (3? ? ? ) ? ? ? ,即 4sin ? ? ? ? ? 6? 5 2? 5 5 ?3 ?
(7 分)

4 , 5

又∵ ? ? [0, 由 f ? 3? ? ∴ sin ? ?

?

2

] ,∴ sin ? ?

3 , 5

(8 分)

? ?

5? 2

20 5? ? ? 20 5 ? ?1 ? ? ? 得 4sin ? (3? ? ) ? ? ? ? ,即 sin( ? ? ? ) ? ? 13 2 6? 13 13 ? ?3
(10 分)

5 , 13

又∵ ? ? [0,

?

2

] ,∴ cos ? ?

12 13
(12 分)

4 12 3 5 33 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65

12、 (珠海市 2013 届高三上学期期末)设向量 a= (2, sin ? ) ,b= (1, cos ? ) ,θ 为锐角. 13 (1)若 a·b= ,求 sinθ +cosθ 的值; 6 (2)若 a∥b,求 sin(2θ + π )的值. 3 ……………… 3 分

13 1 解: (1) 因为 a·b=2+sinθ cosθ = ,所以 sinθ cosθ = . 6 6 4 2 所以 (sinθ +cosθ ) =1+2 sinθ cosθ = . 3 2 3 又因为 θ 为锐角,所以 sinθ +cosθ = . 3 (2) 解法一 因为 a∥b,所以 tanθ =2.

……………… 6 分 ……………… 8 分

10

所以 sin2θ =2 sinθ cosθ =
2 2

2 sinθ cosθ 2 tanθ 4 = = , 2 2 2 sin θ +cos θ tan θ +1 5 cos θ -sin θ 1-tan θ 3 = =- .……………… 10 2 2 2 sin θ +cos θ tan θ +1 5
2 2 2

cos2θ =cos θ -sin θ = 分

π 1 3 所以 sin(2θ + )= sin2θ + cos2θ 3 2 2 1 4 3 3 4-3 3 = × + ×(- )= . 2 5 2 5 10 解法二 因为 a∥b,所以 tanθ =2. 2 5 5 所以 sinθ = ,cosθ = . 5 5 4 3 2 2 因此 sin2θ =2 sinθ cosθ = , cos2θ =cos θ -sin θ =- . 5 5 分 π 1 3 所以 sin(2θ + )= sin2θ + cos2θ 3 2 2 1 4 3 3 4-3 3 = × + ×(- )= . 2 5 2 5 10 ……………… 12 分 ……………… 10 ……………… 12 分 ……………… 8 分

11



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