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圆锥曲线统一定义的课件



2010.12.09

圆锥曲线的背景介绍
? 圆锥曲线(即椭圆、双曲线、抛物线)是我们现实生活中常见的曲线, 它因圆锥面被一个平面所截得到的截线而得名。圆锥曲线的发现和研究 起始于古希腊Euclid,Archimedes,Apollonius,Pappus等几何学大师 都热衷于圆锥截线的研究,而且都有专著论述其几何性质,其中以 Apollonius所著的八册《圆锥截线论》集著名,可以说是希腊几何一个 登峰造极的精辟之作。当时对于这种既简朴又完美的曲线的研究,乃是 一种纯理念的探索,并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结 构中扮演重要的角色。此事,一直到十六、十七世纪之交,行星运行三 大定律的发现,才知太阳系中九大行星运动轨道,乃是一种以太阳为焦 点的椭圆。而彗星运动的轨道分为椭圆形、双曲线形和抛物线形三种 (由于大行星引力的影响,有些彗星的轨道也会改变)。轨道是椭圆形 的彗星称为周期彗星,我们可以定期观测到它,如著名的哈雷彗星,平 均每隔76年我们可以观测一次。轨道是双曲线形和抛物线形的彗星,称 为非周期彗星,我们只能看到它一次,然后它将永远不再回来。 ? 有兴趣的同学,请查阅:香港科技大学数学系教授项武义的讲稿《圆锥 截线的故事》。

复习 椭圆,双曲线,抛物线的定义
1、椭圆 的定义:平面内与两个定点 F1、F2距离的和等于常数2a(2a> F1F2) F1 的动点的轨迹。 2、双曲线 的定义:平面内与两个

y

P
o

F2
P

x

y
F1 o

定点F1、F2距离之差的绝对值等于 常数2a (2a< F1F2 )的动点的轨迹。
3、抛物线 的定义:平面内到一个
l

F2

x

y

d
o

定点F的距离和一条定直线l的距离 相等的点的轨迹。

.P .
F
x

高考试题重现

1、(四川2009 线右焦点的距离为2,那么点P到左焦点的距离是 6

x2 y2 ? ?1 5 )如果双曲线 4 上一点P到双曲 2

.

2、(北京2008 4 )若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0) 2 的距离小1,则点P的轨迹方程是y _____ ? 8x

?ABC 3、(江苏2010 15)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 2 2 顶点 A(?4, 0) 和 C (4, 0) ,顶点 B 在椭圆 x ? y ? 1 上, 25 9 则 sin A ? sin C ? 5 .
sin B

4

.

y

l

y

F1

o

.
P
F

P
F (2,0)

y B

x

-2 -1 o

x

A

C

x

应用一 利用定义求轨迹

例题1
已知圆

A : ( x ? 5) ? y ? 1
2 2
6

2 2 ? ? y ? 16 ,若动圆 M 与圆 A、 B 都相 圆 B : ( x 5)

切,求动圆圆心 M 的轨迹方程
y
4

2

A
-5

B o
-2 5 10

x

-4

6

y

(1)
M

A : ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 1
2? 2?
10

8

4

(2)

6

2

B:(x?5) y 16
B o
5

4

2

M
B
5

A
-5

A

x

-5

o
-2 -4

x

-2

4x2
(3)

-4

9

?

4y 2 91

? 1 (X<0)
6

y

4y 2 ? ?1 9 y 91 (4)
-6 10 8 6 4

4x2

(X>0)

4

M A
-10 -5

2

B

2

M B
5 10

o
-2

5

10

x

A
-5

o
-2 -4

x

4x2 25

?

4y 2 75

-4

-6

? 1(X<0)

4x2

4y 2 ? ? 1(X>0) 25 75

变式训练 已知命题:椭圆的两个焦点为F1、 F2,Q为椭圆上任意一点,从任一焦点向 ΔF1QF2的顶点Q的外角平分线引垂线,垂足为 P,则点P的轨迹 以点o为圆心以椭圆长半轴a为半径的圆
类比上述命题,将“椭圆”改为“双曲线”, 则有命题以点o为圆心以双曲线实半轴a为半径的圆
y Y Q M P F1 O F2 X
F1 M

Q P
O

F2

x

1 1 | OP |? F1 M ? F1Q ? QF2 ? a 2 2

1 1 | OP |? F1 M ? F1Q ? QF2 ? a 2 2

应用二 利用定义判定某些位置关系 B两点,研究以AB为直径的圆与抛物线的准线L的 位置关系,并证明你的结论.
L y B

例题2 过抛物线C的焦点F作直线与抛物线交于A、

?
O A

x

F

| AB | 只需比较 | MN | 与 的大小 2 / /
| AA | ? BB | 而 | MN |? , 2

过抛物线C的焦点F作直线与抛物线交于 A、B两点,研究以AB为直径的圆与抛物线的准线L 的位置关系,并证明你的结论. 分析: 如图,设AB中点为M,A、B、M在准线L上的射 L y 影为A’、B’、N, B
B’
N A’ O A

例题2

?M

x

|AA’|=|AF|,|BB’|=|BF|
| AF | ? | BF | | AB | ?| MN |? ? , 2 2

F

故以AB为直径的圆与L相切.

变式训练 1 以抛物线 y2=2px(p>0) 的焦半径
|PF|为直径的圆与y轴位置关系是:
相切

Y
2

S

Q N O

P M

MN ?
X

1 ( PQ ? OF ) 2

F

QS ? OF

1 1 1 MN ? ( PQ ? QS ) ? PS ? PF 2 2 2

变式训练2 求证:以椭圆的任意焦半径为
直径的圆,与以长轴为直径的圆相切.
y
y
P

P
Q Q

F1

O

F2

x

F1

O

F2

x

变式训练3 求证:以双曲线的任意焦半径
为直径的圆,与以实轴为直径的圆相切.

利用定义求最值 例题3 2 若点A 的坐标为(3,1),F 为抛 物线 y ? 2 x的焦点,点M 在抛物线上移 动时,求|MA|+|MF|的最小值,并求这时 M 的坐标. y
?1 ? ? ? 2 ,1? ? ? ?
N
(N) l M A (M) o F x

应用三

?

1 2

变式训练:已知定长为3的线段AB的两端 2 y ? x 上移动,AB的中点 点在抛物线

为M,求M到y轴的最短距离。

y A1 M1 B1 B

A

思考:如何求点M的的坐标
M F

x

小结:
1、本节的重点是掌握圆锥曲线的定义在解题 中的应用。 2、利用圆锥曲线的定义解题时,要注意几何 图形的性质,结合平面几何的知识解决问题。 3、利用圆锥曲线的定义解题时,涉及圆锥曲 线上的点与两个焦点的问题,要注意数形结合、 化归思想的应用,以便得到解题的最佳途径。



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