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2.3.2两个变量的线性相关



2.3 变量间的相关关系
2.3.2 两个变量的线性相关

知识回顾 1.两个变量之间的相关关系的含义如何? 自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随 机性的两个变量之间的关系.

2.成正相关和负相关的两个相关变量的散点图分 别有什么特点? 散点图中的点的分布有一定的规律性。
正相关的散点图中的点散布在从左下角到右上

角 的区域,负相关的散点图中的点散布在从左上角 到右下角的区域

如果散点图中的点的分布,从整体上看大致 在一条直线附近,则称这两个变量之间具有 线性相关关系,这条直线叫做回归直线.
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

知识探究(二):回归方程

在直角坐标系中,任何一条直线都有相应的方 程,回归直线的方程称为回归方程.

对一组具有线性相关关系的样本数据,如果能 够求出它的回归方程,那么我们就可以比较具体、 清楚地了解两个相关变量的内在联系,并根据回 归方程对总体进行估计.

思考1:一组样本数据的平均数是样本数据的中心, 那么散点图中样本的中心点一定是散点图中的点 吗?
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40

(x , y )
45 50 55 60 65 年龄

对具有线性相关关系的两个变量,其回归直线一 定通过样本点的中心

思考2:回归直线与散点图中各点的位置应具有怎 样的关系?
脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

整体上最接近

思考3:对一组具有线性相关关系的样本数据: (x1,y1)? ,(x2,y2),…,(xn,yn),设其回归 方程为 y = bx + a 可以用哪些数量关系来 刻画各样本点与回归直线的接近程度?
(xi,yi) (x1, y1)

(xn,yn)
(x2,y2)

?|i )y i Q? 可以用 ? (yi ? y
2 i ?1

n

? ( y1 ? bx ) ? ( y2 ? + bx2 ? 其中 y1 ? a = bx aa). ? ? ? ( yn ? bxn ? a)
2 2

? i

- y i | 或 (y i - y )
i

?

? 2 , i
2

根据有关数学原理分析,当
b?

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( yi ? y )

2 ( x ? x ) ? i i ?1

?

?x y
i ?1 n i i ?1

n

i

? nx y , a ? y ? bx

2 2 x ? nx ? i

2 时,总体偏差 Q ? ( y ? y 为最小,这样 ? ) ? i i i ?1

n

就得到了回归方程,这种求回归方程的方法叫做 最小二乘法. ? 思考4:回归方程 y = bx + a中,a,b的几何意 义分别是什么?

知识探究(三):求线性回归方程方法

例1:观察两相关变量得如下表:
x -1 -2 -3 -4 -5 5 y -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5
6 5 1 5
10

4 3
7 3 5 15 8 4 3 12

2 7
9 2 7 14

1 9
10 1 9 9

求两变量间的回归方程
解 1: 列表:
i 1
i

2 -2 -7 14

3 -3 -5 15

4 -4 -3 12

5 -5 -1 5
2

x y xy
i
i

-1 -9
i

9

计算得:
b?

x ? 0, y ? 0
i

?x
i ?1

10

i

? 110 , ? xi
i ?1

y

i

? 110

?x y
i ?1 10 i

10

? 10x y
2

?x
i ?1

?

2 i

? 10 x

110 ? 10 ? 0 ?1 110 ? 10 ? 0

a ? y ? bx ? 0 ? b ? 0 ? 0

∴所求回归直线方程为 ^ y=x

1.回归方程被样本数据惟一确定,各样本点大致 分布在回归直线附近.对同一个总体,不同的样本 数据对应不同的回归直线,所以回归直线也具有 随机性.

2.对于任意一组样本数据,利用上述公式都可以 求得“回归方程”,如果这组数据不具有线性相 关关系,即不存在回归直线,那么所得的“回归 方程”是没有实际意义的.因此,对一组样本数据, 应先作散点图,在具有线性相关关系的前提下再 求回归方程.

小结:求线性回归直线方程的步骤:
, y ,x y x 第一步:列表 ;
i i i i

第二步:计算

x, y, ? xi , ? xi
2 i ?1 i ?1

n

n

y

i



第三步:代入公式计算b,a的值;
第四步:写出直线方程。

练习.
实验测得四组数据 ( x , y)的值分别( 2, 3), (1, 2), ( 3,4), (4,6).求y与x之间的回归直线方程 .


Y=1.3x+0.5

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理论迁移

例2 有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温 对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出的饮料杯 数与当天气温的对比表:
摄氏温 度(℃) 热饮杯 数 15 116 -5 0 4 7 12

156
19 104

150
23 89

132
27 93

128
31 76

130
36 54

(1)你能发现气温与热饮杯数之间关系的一般规律吗? (2)如果某天的气温是2℃,预测这天卖出的热饮杯数.

180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 -10 0 10 20 30 y = -2.3517x + 147.77 40 温度

热饮杯数

当x=2时,y=143.063.

练习 1.

由一组 10 个数据(xi,yi)算得 x ? 5, y ? 10,

?x y
i ?1 i

n

i

? 584, ? xi ? 292, 则 b= 2 ,a=
2 i ?1


n

0

,

回归方程为

Y=2x

.

练习 2.

1. 线性回归方程 y ? bx ? a必过(
A. (0,0) C . (0, y ) B. ( x ,0) D. ( x , y )

D



练习 2.

3. 设有一个回归方程为 y ? 3 ? 5 x,变量x增加 一个单位时 ( B) A. y平均增加3个单位 B. y平均减少5个单位 C . y平均增加5个单位 D. y平均增加3个单位

练习 3
4. 工人月工资y(元)与劳动生产率 x(千元) 变化的回归方程为 y ? 5 ? 80 x,下列判断正确 的是 ( B )
A.劳动生产率为 1千元,则工资为 130元; B .劳动生产率提高 1千元,则工资提高 80元; C .劳动生产率提高 1千元,则工资提高 130元; D.当月工资为 210元,劳动生产率为 2千元.

课堂小结

求样本数据的线性回归方程,可按下列步骤进行:

第一步:列表 x , y , x y ;
i i i i

第二步:计算

x, y, ? xi , ? xi
2 i ?1 i ?1

n

n

y ;
i

第三步:代入公式计算b,a的值;
第四步:写出直线方程。
b?

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( yi ? y )

2 ( x ? x ) ? i i ?1

?

?x y
i ?1 n i i ?1

n

i

? nx y , a ? y ? bx

2 2 x ? nx ? i

练习:根据下表,求回归方程.

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1、列表

2、代入公式计算

3、写出回归直线方程
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