9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2014届高考数学总复习 第2章 第4讲 幂函数与二次函数课件 理 新人教A版


第4讲

幂函数与二次函数

不同寻常的一本书,不可不读哟!

1. 理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.

2. 会求二次函数在闭区间上的最值.
3. 能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的 联系去解决有关问题.
4. 了解幂函数的概念;结合函数y=x,y=x2,y=x3,y 1 1 = ,y=x2 的图象,了解它们的变化情况. x

1个必会代表 1 函数y=x,y=x2,y=x3,y= x2 ,y=x-1可做为研究和学习 幂函数图象和性质的代表. 2种必会方法 1. 函数y=f(x)对称轴的判断方法 对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(x1)=f(x2),那 x1+x2 么函数y=f(x)的图象关于x= 2 对称. 2. 对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(a+x)=f(a -x)成立的充要条件是函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称 (a为常数).

3个熟知规律 1. 在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次函

数的图象数形结合来解,一般从四个方面分析:①开口方向;
②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号. 2. 在研究一元二次不等式的有关问题时,一般需借助于二 次函数的图象、性质求解. 3. 研究二次函数图象要结合二次函数对应方程的根及对应

二次不等式的解集来确定图象形状.

课前自主导学

1. 二次函数的定义

形如:f(x)=____________的函数叫做二次函数.
2. 二次函数的图象与性质
函数 图象 定义域 值域 单调性 最值 顶点 对称轴 R R __________ __________ 在__________上递减,在_________上递 在______上递增,在______上递减. 增. b b 当x=- 时,函数有最小值________ 当x=- 时,函数有最大值________ 2a 2a 2 b 4ac-b (- , ) 2a 4a b 函数的图象关于x=- 成轴对称 2a y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)

4ac-b2 一定是函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最值吗? 4a

(1) 函 数 f(x) = ax2 + ax + 1 在 x 轴 的 上 方 则 a 的 取 值 范 围

________.
(2)f(x) = x2 - 2x + 2 的 定 义 域 , 值 域 均 为 [1 , b] , 则 b = ________. 3. 幂函数的概念 形如________的函数叫做幂函数,其中________是自变

量,________是常数.

幂函数与指数函数有何不同?y=(x+1)3,y=x3-1,y = x是幂函数吗?

设 f(x) = (m - 1)xm2 - 2. 如 果 f(x) 是 正 比 例 函 数 , 则 m =
________,如果f(x)是反比例函数,则m=________,如果f(x)是 幂函数,则m=________.

4. 常用幂函数的性质
函数 y=x 特征 性质 R 定义域 R 值域 奇偶性 奇 单调性 增 (1,1) (0,0) y=x2 R [0,+∞) 偶 x∈[0,+∞) 时,__ x∈(-∞,0] 时,__ (1,1) (0,0) y=x3 R R 奇 增 (1,1) (0,0) 1 y=x2 [0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶 增 x∈(-∞,0) 时,__ (1,1) (0,0) (1,1) y=x-1 (-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 奇 x∈(0,+∞) 时,__

特殊点

1 1 1 (1)试比较a=1.2 2 ,b=0.9- 2 ,c=1.1 2 的大小关系 ________. (2)正整数p使函数f(x)=xp-2在(0,+∞)上是减函数,则 p=________,函数的单调递减区间________.

1. ax2+bx+c(a≠0) 4ac-b2 4ac-b2 b 2. [ 4a ,+∞) (-∞, 4a ] (-∞,-2a] b b [- 2a ,+∞) (-∞,- 2a ] 4ac-b2 4a b [- 2a ,+∞) 4ac-b2 4a

b 想一想:提示:当- 在定义区间上时是函数的最 2a 值,否则就不是. 填一填:(1)0≤a<4 (2)2

3. y=xα

x

α

想一想:提示:幂函数与指数函数的本质区别就在于 自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数 函数的自变量在指数位置.在所给的三个函数中只有y= 是幂函数. 填一填:± 3 4. 增 减 减 -1 减 (2)1 (-∞,0),(0,+∞) 2 x

填一填:(1)a>b>c

核心要点研究

例1 [2013· 苏州调研]已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2+ m-3是幂函数,且x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,则m的 值为( ) B.2 D.3

A.-1 C.-1或2

[审题视点]

先利用幂函数的定义确定出m的取值范围,再

利用f(x)在(0,+∞)上是增函数确定m的具体值.
[解] ∵f(x)是幂函数,

∴m2-m-1=1, ∴m=-1或m=2, 当m=-1时,m2+m-3=-3, 当m=2时,m2+m-3=3, ∴f(x)=x 3或f(x)=x3,


而易知f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数, 1 f(x)=x = 3在(0,+∞)上为减函数 x
-3

∴m的值为2.

[答案] B
奇 思 妙 想 : 本 例 已 知 变 为 “ 幂 函 数 f(x) = (t3 - t + 1)· (t∈N)是偶函数”,则实数 t 的值如何求解?

解:∵函数是幂函数,∴t3-t+1=1, 解得 t=0 或 1 或-1.

7+3t-2t2 7 当t=0时, = ,函数是奇函数; 5 5 7+3t-2t2 8 当t=1时, = ,函数是偶函数; 5 5 7+3t-2t2 2 当t=-1时, =5,函数是偶函数, 5 故实数t的值为-1或1.

(1)幂函数的形式是y=xα,其中只有参数α,因此只需一个

条件即可确定其解析式.
(2)若幂函数y=xα(α∈Z)是偶函数,则α必为偶数.当α是分 数时,一般将其先化为根式,再判断. (3)若幂函数y=xα在(0,+∞)单调递增,则α>0,若在(0, +∞)上单调递减,则α<0.

1 [变式探究] [2013· 杭州模拟]若(a+1)- 2 <(3-2a)- 1 2,则a的取值范围是________. 2 3 答案:(3,2)

1 1 解析:令f(x)=x- = ,则f(x)的定义域是{x|x>0}, 2 x 且在(0,+∞)上单调递减,则原不等式等价于 ?a+1>0, ? ?3-2a>0, ?a+1>3-2a, ? 2 3 解得 <a< . 3 2

例2 已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].
(1)当a=-2时,求f(x)的最值; (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函 数; (3)a=-1时,求f(|x|)的单调区间.

[审题视点]

解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系,结

合图象式单调性求解,对于(3)应先将函数化为分段函数,再求

单调区间.
[解] (1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1 则函数在(-4,2)上为减函数,在(2,6]上为增函数. ∴f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4×(-4)+3 =35.

2a (2)函数f(x)=x +2ax+3对称轴为x=- 2 =-a,
2

∴要使f(x)在[-4,6]上为单调, 只需-a≤-4或-a≥6. ∴a≥4或a≤-6. (3)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3=
?x2+2x+3=?x+1?2+2 ? ? 2 ?x -2x+3=?x-1?2+2 ?

x≤0 x>0

其图象如图所示:

又∵x∈[-4,6],∴f(|x|)在区间(-4,-1)和(0,1)上为减函

数,在区间(-1,0)和(1,6)上为增函数.

奇思妙想:若将(2)问“函数y=f(x)在区间[-4,6]上不单 调”,求a的范围.

解:∵函数在[-4,6]上不单调,
∴由图象性质得-4<-a<6,∴-6<a<4.

(1)影响二次函数f(x)在区间[m,n]上最值的要素有三个,

即抛物线的开口方向,对称轴位置,闭区间,常用数形结合思
想求解,当三要素中一要素不明确时,要分类讨论,往往需讨 论区间和轴的位置或根与区间关系式判别式Δ符号等. (2)确定与应用二次函数单调性常借助其图象数形结合.

[变式探究] [2011· 天津高考]对实数a和b,定义运算
?a,a-b≤1, ? “?”;a?b= ? ?b,a-b>1. ?

设函数f(x)=(x2-2)?(x-x2),

x∈R.若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实 数c的取值范围是( ).

3 A.(-∞,-2]∪(-1, ) 2 3 B.(-∞,-2]∪(-1,-4)

1 1 C.(-1,4)∪(4,+∞) 3 1 D.(-1,-4)∪[4,+∞)

答案:B

解析:由题意得,
?x2-2,?x2-2?-?x-x2?≤1, ? f(x)=? ?x-x2,?x2-2?-?x-x2?>1, ?

3 ? 2 ?x -2,-1≤x≤2, 即f(x)=? ?x-x2,x<-1或x>3. 2 ?

在同一坐标系内画出函数y=f(x)与y=c 的图象如图所示,结合图象可知,当c∈ 3 (-∞,-2]∪(-1,- 4 )时两个函数的图 象有两个公共点,从而方程f(x)-c=0有两个不同的根,即y =f(x)-c与x轴有两个不同交点.

例3

[2013·衡水月考]设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x

-a|.
(1)若f(0)≥1,求a的取值范围; (2)求f(x)的最小值. [审题视点] (1)求a的取值范围,是寻求关于a的不等式, 解不等式即可;(2)求f(x)的最小值,由于f(x)可化为分段函数,

分段函数的最小值分段求,各段上最小值的最小者即为所求.

[解]

(1)因为f(0)=-a|-a|≥1,

所以-a>0,即a<0,由a2≥1知a≤-1, 因此,a的取值范围为(-∞,-1]. (2)记f(x)的最小值为g(a),则有 f(x)=2x2+(x-a)|x-a| a 2 2a ? ?3?x- ? + ,x>a 3 3 =? ??x+a?2-2a2,x≤a ?
2

① ②

(ⅰ)a≥0时,f(-a)=-2a2, 由①②知f(x)≥-2a2,此时g(a)=-2a2. a 2 2 (ⅱ)当a<0时,f(3)=3a , 2 2 若x>a,则由①知f(x)≥ a . 3 2 2 2 2 若x≤a,由②知f(x)≥2a >3a .此时g(a)=3a ,
2

?-2a2, ? 2 综上,得g(a)=?2a ? 3 , ?

a≥0 a<0 .

在解答本题时有两点容易造成失分:一是求实数a的值 时,讨论的过程中没注意a自身的取值范围,易出错;二是求

函数最值时,分类讨论的结果没能用分段函数表示.

[变式探究]

(1)设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的

最小值为g(a),则g(a)=________. (2)[2013·金版原创题]设函数y=-x2+2ax-a在x∈[0,1]时

有最大值2,则a的值为________.
?a2-2a,-2<a<1 ? 答案:(1)? ?-1,a≥1 ?

(2)a=-2或3

解析:(1)函数图象的对称轴是直线x=1,分对称轴在区间 [-2,a]内,对称轴在区间[-2,a]右边两种情况进行讨论. ∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,∴对称轴为直线x=1,而x

=1不一定在区间[-2,a]内,应进行讨论.
当-2<a<1时,函数在[-2,a]上单调递减,则当x=a时, ymin=a2-2a;

当a≥1时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调 递增,则当x=1时,ymin=-1.
?a2-2a,-2<a<1 ? 综上,g(a)=? ?-1,a≥1 ?

.

(2)函数f(x)=-(x-a)2+a2-a,其对称轴为x=a. ①当a<0时,f(x)max=f(0)=-a, ∴-a=2,∴a=-2.

②当0≤a≤1时,f(x)max=a2-a,

∴a2-a=2,∴a=-1或a=2(都舍去).
③当a>1时,f(x)max=f(1)=a-1, ∴a-1=2,a=3 综上可知a=-2或a=3.

课课精彩无限

【选题·热考秀】

[2012·江苏高考]已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域
为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则 实数c的值为________.

[规范解答] 通过值域求a,b的关系是关键. a2 a2 由题意知f(x)=x2+ax+b=(x+2) +b- 4 . a2 a2 ∵f(x)的值域为[0,+∞),∴b- =0,即b= . 4 4 a2 ∴f(x)=(x+2) .

【备考·角度说】 No.1 角度关键词:易错分析

(1)值域为[0,+∞)不知如何转换是失分的主要原因.(2) 不能正确地配方或记错抛物线的顶点坐标是导致失误的原因之

一.(3)解不等式的过程是等价转化过程,且注意隐含条件,否
则易错,因此要深刻理解三个“二次”之间的关系,运用函数 与方程的思想方法,将它们进行相互转化.

No.2 角度关键词:备考建议 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式 a2 a a f(x)<c,∴(x+2) <c,即-2- c<x<-2+ c. ? a ?-2- c=m, ∴? ?-a+ c=m+6. ? 2 6,∴c=9. ① ②-①,得2 ② c= 又∵

[答案]

9,(三个“二次”)是一个有机的整体,是高考的热

点.把三个“二次”经常联系思考有助于提高解题效率,这更
体现了数形结合的思想,解题时应注意对称轴与区间相结合, 注意系数a的符号对开口方向的影响.

经典演练提能

1 1. [2012· 烟台模拟]幂函数y=f(x)的图象经过点(4, 2 ), 1 则f(4)的值为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

答案:B
1 1 解析:设f(x)=x ,则4 =2,m=-2.
m m

1 1 ∴f(x)=x-2,∴f(4)=2,故选B.

2 . [2013· 金 版 原 创 题 ] 如 果 函 数 f(x) = x2 + (a + 2)x + b(x∈[a,b])的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的最小值为 ( )

A.30
C.6 答案:D

B.3
D.5

a+2 解析:∵函数f(x)=x +(a+2)x+b的对称轴为x=- , 2
2

又∵函数f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图象关于直线x =1对称, a+2 a+b ∴- 2 =1且 2 =1, ∴a=-4,b=6. f(x)=x2-2x+6(x∈[-4,6]), 因此,该函数当x=1时函数取最小值5.

1 3.[2012· 南昌一模]函数y=x 2 -1的图象关于x轴对称的图象 大致是( )

答案:B
1 解析:函数y=x 2 = x,该函数的图象就是抛物线y2=x 1 在x轴及其以上的部分,故函数y=x 2 -1= x -1是将上述 图象向下平移一个单位得到的,再作其关于x轴对称的图 象,即选项B中的图象.

4.[2013·福州质检]已知a=20.2 ,b=0.40.2 ,c=0.40.6 ,则

(

)
A.a>b>c C.c>a>b B.a>c>b D.b>c>a

答案:A 解 析 : 由 0.2<0.6,0.4<1 , 并 结 合 指 数 函 数 的 图 象 可 知

0.40.2>0.40.6 ,即b>c;因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.综
上,a>b>c.

5.[2013·银川质检]二次函数f(x)=2ax2 -ax+1(a<0),若 x1<x2,x1+x2=0,则f(x1)与f(x2)的大小关系( )

A.f(x1)=f(x2)
C.f(x1)<f(x2) 答案:C

B.f(x1)>f(x2)
D.与a值有关

1 解析:二次函数口向下,对称轴x= ,又依题意得 4 1 1 x1<0,x2>0,且x1+x2=0,则4-x1>x2-4,故f(x1)<f(x2),选 C.


赞助商链接

更多相关文章:
...年高考数学总复习:第2章 第4讲 幂函数与二次函数(含...
高考复习】2018年高考数学总复习:第2章 第4讲 幂函数与二次函数(含解析)_高考_高中教育_教育专区。第4讲 幂函数与二次函数 1 2 3 1 最新考纲 1.了解...
...一轮复习配套讲义:第2第4讲 幂函数与二次函数
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高考数学(人教A版,)一轮复习配套讲义:第2第4讲 幂函数与二次函数_数学_高中教育_教育专区。宜宾市优学堂培训学校 第...
...初等函数I第4讲幂函数与二次函数练习理新人教A版
创新设计2018版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I第4讲幂函数与二次函数练习理新人教A版_数学_高中教育_教育专区。第二章 函数概念与基本初等函数 ...
...总复习教师用书:第2章 第4讲 幂函数与二次函数 Word...
2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书:第2章 第4讲 幂函数与二次函数 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。第4讲 幂函数与二次函数 1 2 3 1 最新...
《创新设计》2014届高考数学人教A版()一轮复习:第二...
《创新设计》2014届高考数学人教A版()一轮复习:第二篇 第6讲 幂函数与二次函数_数学_高中教育_教育专区。第 6 讲 幂函数与二次函数 A级 基础演练(时间:...
高考数学一轮复习 第二章 第4课时二次函数与幂函数课时...
高考数学一轮复习 第二章 第4课时二次函数与幂函数课时作业 新人教版_高考_高中教育_教育专区。高考数学一轮复习 第4 课时 考纲索引 1. 二次函数的图象与...
2014届高三北师大版数学()一轮复习限时规范训练 第二...
2014届高三北师大版数学()一轮复习限时规范训练 第二第4讲 二次函数性质的再研究与幂函数_高中教育_教育专区。2014届高三北师大版数学()一轮复习限时规...
高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第2章 第4二次...
1.(2014·南京模拟 【高考讲坛】 2016 届高考数学一轮复习 第 2 章第 4二次函数与 幂函数课后限时自测 苏教版 [A 级 基础达标练] 一、填空题 ...
...届高考数学()一轮总复习课后限时自测:第2章-第4节...
【课堂新坐标】2015届高考数学()一轮总复习课后限时自测:第2章-第4二次函数与幂函数]_高中教育_教育专区。【课堂新坐标】2015届高考数学()一轮总复习...
...总复习配套题库:第2章 第6讲 幂函数与二次函数 Word...
2015届高考人教A版数学()总复习配套题库:第2章 第6讲 幂函数与二次函数 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2015届高考人教A版数学()总复习配套题库:第...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图