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2016年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛



?

2016 年全国高中 中数学联 联合竞赛广 广东赛区 区选拔赛 赛试答卷
(考试时间:2016 年 6 月 11 日上 上午 10:00-11:20)







9

二 10

11

/>


得 分 评 评卷人 复 复核人
注意 意事项: 0 分。 1.本试卷共 共二大题,全 全卷满分 120 2.用圆珠笔 笔或钢笔作答 答,解题书写 写不要超过装 装订线。 3.不能使用 用计算器。 得分? 评 评卷人 ? ? ? 一、填空题:本大题共 8 小题,每小 小题 8 分,共 共 64 分.把 把答案 填在横线上.

f (x) (x 6= 0)的导 f (?1) = 0, f 0 (x)是偶函数 xf 0 (x) ? f (x) < 0, 1. 设 设函数 是 导函数, 当x > 0时,
_ _________. 则使 使得f (x) > 0成立的x的取 取值范围是____________ 2.若 ___________ _____. 若正数x; y 满足 满 x + 3y = 5xy ,则3x + 4y 的最小 小值是______

1; 2; ? ? ? ; n; ? ? ?按第 (1; 2); (3; 4; 5); (6; 7; 8; 9); ? ? ?, 3. 将 将正整数 按 k 组含k + 1个数分组: 那么2016
___________ _组. 在第 第__________

1 g,n = 1; 2; ? ? ?,中的最小 4.数 _________. 数列f p 小项的值是__ n n
5. ___________ _____. 设 设函数 递增, 则a的取 取值范围为__ f (x) = ex ? 1 ? x ? ax2当x > 0时单调递

0 > m > n > 4)中任选2个人当班长 6.从 从m个男生和 和n个女生(10 长.假设事件A表示选出的 的2个
人性 性别相同,事 事件B 表示选出的2个人性 性别不同.如 如果A的概率和 和B 的概率相 相同,则(m; n)可 ___________ _. 能为 为__________ 7.已 已知锐角?; ? 满足条件:

sin4 ? co os4 ? _ ________ . + = 1,则? + ? =____________ cos2 ? si in2 ?

P Q两点.设 8.设 设抛物线C : y 2 = 4x的焦 焦点为F ,过 过点F 的直线 线L与C 交于P; 设L与抛物线 线C 的 ?? !? ?? ? ? ? ! ? ? ! ________. 准线 线交于点M ,且F M = 3F P ,则?F P ? =_______

2016 年全国 国高中数学联合 合竞赛广东赛区 区选拔赛第 1 页(共 页 4 页)

?

56 分.解答应写 二、解答题:本 本大题共 3 小题,共 小 分 写出文字说明 明、证明过程 程或演算步骤.

CD,AB = AD 9. 角梯形ABC (本题满分 16 分)如图 1,直角 A =
得分? 评卷人? ? ? ?

1 C=1 DC 2

?平面BCD B D沿BD折起 A A 的 起来, 使平面ABD , 如图 图 2, 设G为AD 将4ABD

H = 2HC ,BD的中点为O. 中点,AH
(1) 求证:AO?平面BCD;

CD所成锐二 (2) 求平面GH B 与平面BC 二面角的余弦值; D 平面GB BH , (3) 在线段BC 上是否存在点 上 点E , 使得DE 若存在确 确定点E 的位 位置, 若不存在,
说明理由.
A B

A G B

H C

D
图1

C

D
图2

2016 年全国 国高中数学联合 合竞赛广东赛区 区选拔赛第 2 页(共 页 4 页)

?

得 ? 得分 评 评卷人 ?

? ?

10. 满分 20 分)已知椭圆C : (本题满

x2 y 2 + 2 = 1 (a > b > 0), b2 a

直线l不过原 原点O且不平 平行于坐标轴,l与C 有两个交点A; B ,线 段AB 的中点 点为M .证明 明:

(1) 直线OM 的斜 斜率与l的斜 斜率的乘积为定值?

a2 ; b2

(2) 若l过点(b; a), 延长线段OM 与C 交于 于点P , 当四 四边形OAP B 为平行四边 边形时, 则直线 线l的 p 4§ 7 a 斜率kl = ? . 3 b

2016 年全国 国高中数学联合 合竞赛广东赛区 区选拔赛第 3 页(共 页 4 页)

?

得 ? 得分 评 评卷人 ?

? ?

11 . 满分 20 分 ) 已知 a1 ; a2 ; ? ? ? ; am 都是不等于 于 0 的数 (本题满

(m > 2),且 且对于任意整 整数k ,k = 0; 1; 2; ? ? ? ; n (n < m ? 1)都有

在n + 1对相邻 邻的数符号相 相反. a1 + 2k a2 + ? ? ? mk am = 0,证明数列a1 ; a2 ; ? ? ? ; am中至少存在

2016 年全国 国高中数学联合 合竞赛广东赛区 区选拔赛第 4 页(共 页 4 页)

?

2016 6 年全国 国高中数学 学联合竞 竞赛广东 东赛区选拔 拔赛 参考答 答案
(考试时间:2016 年 6 月 11 日上 上午 10:00-11:20) 64 分.把答案填在 一、填空 空题:本大题 题共 8 小题,每小题 8 分,共 分 在横线上. 1.设函数 数f 0 (x)是偶函数f (x) (x 6= 0)的导函 函数,f (?1) = 0,当x > 0时,xf 0 (x) ? f (x) < 0,则使 ___________ __. 得f (x) > 0成立的x的取值范围是 是_________ 【答案】 】(?1; 0) [ (0; 1)

) = 0. 【提示】 】f (x)为奇函 函数,则f (1)
? f (x) ?0 f ( x) 当 x > 0 时, 递减. < 0,即 x x
y ,则3x + 4y 的最小值是 2.若正数x; y 满足x + 3y = 5xy ____________ _. 是_________
】5 【答案】 【提示】 】

3 1 3 1 + = 5,由柯西不等式(3x + 4y )( + ) > 25. x y x y

2 (1 ( ; 2); (3; 4; 5) 5 ; (6; 7; 8; 9) ); ? ? ?,那么2016 3.将正整数1; 2; ? ? ? ; n; ? ? ?按第k 组含k + 1个数分组: 个 在第
_______ ____________ ___组. 【答案】 】63 【提示】 】前62组共2 + 3 + ? ? ? + 63 = 2015个数. 个

1 g,n = 1; 2; ? ? ?,中 4.数列f p ______. 中的最小项的 的值是_____ n n 1 】p 【答案】 3 3
【提示】 】设f (x) = x x ,则f 0 (x) = x x ?

1 ? ln x ,当x = e时,f (x)最大. x2 p 故f (n)最大 大值为f (2)或者 或 f (3).经试 试验,f (n)最大值为 最 f (3 3) = 3 3 .
1

1

___________ ___. 5.设函数f (x) = ex ? 1 ? x ? ax2当x > 0时单调递增,则a的取值 值范围为____

1 】(?1; ] 【答案】 2
【提示】 】f 0 (x) = ex ? 1 ? 2ax > 0恒成立,即当a > 0时, 时 a< 故a 6 lim

ex ? 1 恒成立. 2x

ex ? 1 1 = . x!0 2 x 2

1? ?

?

(10 > m > n > 4)中任选2个人 6.从m个男生和 n个女生 个 人当班长.假 假设事件A表 表示选出的2个人性别 个
相 同 , 事 件 B 表 示 选 出 的 2 个 人 性 别 不 同 . 如 果 A 的 概 率 和 B 的 概 率 相 同 , 则 (m; n) 可 能 为 _______ ____________ ___. 【答案】 】(10; 6)
2 【提示】 】C2 m + Cn = mn.

7.已知锐角?; ? 满足 足条件: 】 【答案】

sin4 ? cos4 ? ___________ _____ . = 1,则? + ? =_____ + cos2 ? sin2 ?

? 2

【提示】 】由柯西不等 等式(

sin4 ? cos4 ? + os2 ? + sin2 ? ) > (sin2 ? + cos2 ?)2 = 1 )(co cos2 ? sin2 ? sin4 ? cos4 ? t ?. 等号成立时 时, 4 = ,即 即tan ? = cot cos ? sin4 ?

L与 8.设抛物 物线C : y 2 = 4x的焦点为 为F ,过点F 的直线L与C 交于P; Q两点.设 两 与抛物线C 的准 准线交于 ?? ? !? ?? ? ? ! ? ? ! _______. 点M ,且 且F M = 3F P ,则?F P ? =________
【答案】 】

4 3

1 【提示】 】由xF = 1,xM = ?1,有xP = . 3 ?? ? !? 4 ?? 故?F P ? = xP + 1 = . 3

答题:本大题 题共 3 小题,共 56 分.解 解答应写出文 文字说明、证 证明过程或演 演算步骤. 二、解答

ABC CD, 10. 题满分 16 分) 分 如图 1, 直 直角梯形 (本题 AB = AD =

1 A 将4ABD 沿BD折起来, 折 C = 1. DC 2

?平面BCD B A A 的中点,AH = 2HC C ,BD的中点为O. 使平面ABD ,如图 图 2,设G为AD
(1) 求证 证:AO?平面 面BCD; (2) 求平 平面GHB 与平面BCD所成锐二面角 所 角的余弦值;

DE 平面GBH ,若存在确定 (3) 在线 线段BC 上是 是否存在点E ,使得 , 定点E 的位置 置,若不存在,说明理
由.

2? ?

?

A

B

A G B

H C

D
图1

C

D
图2

【提示】 】(1) AO ? BD. (2) 以O为原点建立 立坐标系,则 则A(0; 0;

p p p 2 2 2 p 2 , , , ; 2; 0) D( ; 0; 0) ) B (? ; 0; 0) C (? 0, 2 2 2 2 p p p p p 2 2 2 2 2 2 G( ; ; 0; ),H (? ; ). 4 4 3 3 6 ! = (?2; 1; 6),平 ! = (0; 0; 1). 平面 面GHB 的法向量? 平面BCD的法 法向量? n n
1
2

p

!?? ! 6 j? n 1 n2 j =p 故cos μ = ? ! ? ! jn1 j ? jn2 j 41 p p p 2 ? ? ! (3) 若存 存在,设E (? . DE = (? 2; y; 0). ; y; 0),y 2 [0; 2].则 2 p ? ! ! ? ? ! ! D 平面GB BH ,有? 由DE n1 ,即DE D ?? n1 = 2 2 + y = 0,无解. DE ? ?
故不 不存在点E .

10. 题满分 20 分) 分 已知椭圆C : (本题

x2 y 2 直线l不过原点O且不平行于坐 坐标轴, + 2 = 1 (a > b > 0), b2 a

l与C 有两 B 的中点为M .证明: 两个交点A; B ,线段AB
(1) 直线 线OM 的斜率 率与l的斜率的 的乘积为定值 值?

a2 ; b2

M 与C 交于点 (2) 若l 过点 过 (b; a),延 延长线段OM 点P ,当四边 边形OAP B 为平行四边形 为 形时,则直线 线l 的斜率 p 4§ 7 a kl = ? . 3 b
【提示】 】 (1) 法一:

3? ?

?

8 x1 + x2 > > x = > < M 2 设A(x1 ; y1 ),B (x2 ; y2 ),则有 ,且 > > + y y 1 2 > : yM = 2 8 2 2 x1 y1 > > > + 2 =1 > < b2 a yM y1 ? y2 a2 式相减,即得 得kOM ? kl = ,两式 ? = ? 2. > xM x1 ? x2 b > > x2 y 2 > : 2 + 2 =1 b2 a2
法二:

? a sin ?); B (b cos ?; a sin s ? ),则M ( 设A(b cos ?;
故kOM

cos ? + cos s ? sin ? + sin ? b; a). 2 2 sin ? + sin s ? a sin s ? ? sin ? a a2 ? kl = ? ? ? =? 2 cos ? + cos c ? b cos ? ? cos ? b b x2 y 2 联立,得: + 2 = 1 (a > b > 0)联 b2 a

(2) 法一:设l : y = k (x ? b) + a,与椭 椭圆C :

(a2 + b2 k 2 )x2 ? 2b2 (kb b ? a)kx + b2 (k2 b2 ? 2kab k )=0
故x1 + x2 =

2b2 k(kb ? a) b3 k(kb ? 2a) , . x x = 1 2 a2 + b2 k 2 a2 + b2 k2
(x1 + x2 )2 (y1 + y2 )2 + = 1. b2 a2

M = M P ,则 由题知OM 则P (x1 + x2 ; y1 + y2 ),从 从而

2a2 x1 x2 + 2b2 y1 y2 + a2 b2 = 0,(2 2a2 + 2b2 k2 )x1 x2 ? 2b2 k (kb ? a)(x1 + x2 ) + a2 b2 = 0. p 4§ 7 a 2 2 2 2 代入,整理 理得:a (3b k ? 8abk + 3a ) = 0,解得k = ? . 3 b

in ?); B (b co os ?; a sin ? ),则M ( 法二:设A(b cos ?; a si

cos ? + cos ? sin ? + sin ? b; a), 2 2 1 P ((cos ? + cos ? )b; (si in ? + sin ? )a),代入椭圆 圆方程,得: :cos(? ? ? ) = ? . 2

n ? + cos ? + sin ? ? co os ? = 0, ; a)三点共线,得:sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin 由A; B; (b;

p ?+? ? ??? ??? ) ? 2 2 cos( ) ? (2 cos( ? )) = 0 2 2 2 4 p 1 ??? 1 ?+? ? 2 由cos(? ? ? ) = ? ,知:cos( . ) = § ,则cos( ? )=§ 2 2 2 2 4 4 p ?+? 4§ 7 故tan( . )=? 2 3 p 4§ 7 a in ? ? sin ? a ?+? a si = kl = ? = ? ? cot ? . b co os ? ? cos ? b 2 3 b
则sin(

4? ?

?

11 . 0 分 ) 已 知 a1 ; a2 ; ? ? ? ; am 都 是 不 等 于 0 的 数 (m > 2) , 且 对 于 任 意 整 数 k , ( 本 题 满 分 20

k = 0; 1; 2; ? ? ? ; n (n < m ? 1)都有 都 a1 + 2k a2 + ? ? ? mk am = 0 ,证 证明数列 a1 ; a2 ; ? ? ? ; am 中至少存在 中
n + 1对相 相邻的数符号 号相反.
【提示】 】用反证法,设不超过n组相邻的数符 组 符号相反. 相反,t 6 n. 设fak1 ; ak1 +1 g; fak2 ; ak2 +1 g; ? ? ? ; fakt ; akt +1 g这t组符号相

1 1 1 构造函数f (x) = (x ? k1 ? )(x ? k2 ? ) ? ? ? (x ? kt ? ) = b0 + b1 x + ? ? ? + bt xt 2 2 2
设Sk = a1 + 2k a2 + ? ? ? + mk am,则当k = 0; 1; 2; ? ? ? ; n (n < m ? 1)时,Sk = 0.
m X

m X

ai f (i) =
i=1

ai (b0 + b1 i + b2 i + ? ? ? + bt i ) =
i=1 k=0

2

t

t X

bk Sk = 0

1 1 1 由f (x) = (x ? k1 ? )(x ? k2 ? ) ? ? ? (x ? kt ? ),可知 知: 2 2 2 1 f (i)与f (i + 1)异号, f (i + ) = 0 ,ai与ai+1异号. 2
m X ai f (i) = 0矛盾 故ai f (i)与ai+1 f (i + 1)同号,即全 全体ai f (i)同号 号,与 盾. i=1

5? ?



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