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一轮复习 第八章 平面解析几何 8.9 圆锥曲线的综合问题课时规范训练



第八章 平面解析几何 8.9 圆锥曲线的综合问题课时规范训练 理 北师大版
[A 级 基础演练] 1. (2014?高考新课标全国卷Ⅱ)设 F 为抛物线 C: y =3x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( A. C. 3 3 4 63 32 9 3 B. 8 D. 9 4 )
2

/>
解析:先求直线 AB 的方程,将其与抛物线的方程联立组成方程组化简,再利用根与系 数的关系求解. 3? 3? ?3 ? 由已知得焦点坐标为 F? ,0?,因此直线 AB 的方程为 y= ?x- ?,即 4x-4 3y-3 3 ? 4? ?4 ? =0. 法一:联立抛物线方程化简得 4y -12 3y-9=0. 故|yA-yB|= ?yA+yB? -4yAyB=6. 1 1 3 9 因此 S△OAB= |OF||yA-yB|= ? ?6= . 2 2 4 4 21 9 21 2 法二:联立方程得 x - x+ =0,故 xA+xB= . 2 16 2 21 3 根据抛物线的定义有|AB|=xA+xB+p= + =12,同时原点到直线 AB 的距离为 h= 2 2 3 1 9 = ,因此 S△OAB= |AB|?h= . 8 2 4 4 +?-4 3?
2 2 2 2

|-3|

答案:D 2.已知点 A(0,2)和双曲线 x - =1,过点 A 与双曲线只有一个交点的直线的条数为 4 ( ) A.1 C.3 B.2 D.4
2

y2

解析:设过点 A(0,2)的直线为 y=kx+2,

y=kx+2, ? ? 由? 2 y2 x - =1. ? 4 ?
2

得(4-k )x -4kx-8=0,

2

2

当 k =4 即 k=±2 时,方程只有一解,即直线与双曲线只有一个交点.
1

当 k ≠4,方程有一解时, Δ =(-4k) -4?(4-k )?(-8)=0. ∴k =8,∴k=±2 2,为切线的斜率.共有 4 条直线. 答案:D 3.(2014?高考湖北卷)已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共 π 点,且∠F1PF2= ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( 3 A. 4 3 3 B. 2 3 3 )
2 2 2

2

C.3

D.2

解析:法一:利用椭圆、双曲线的定义和几何性质求解. 设|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1>r2),|F1F2|=2c,椭圆长半轴长为 a1,双曲线实半轴长为 a2, 椭圆、双曲线的离心率分别为 e1,e2,由(2c) =r1+r2-2r1r2cos
?r1+r2=2a1, ? ?r1-r2=2a2 ? ?r1=a1+a2, ? ?r2=a1-a2, ?
2 2 2

π 2 2 2 ,得 4c =r1+r2-r1r2. 3

由?

得?

1 1 a1+a2 r1 ∴ + = = .

e1 e2

c

c

令 m= 2= = 4

2 r2 4r1 1 2 c r2 1+r2-r1r2

1+? ? - r

?r2?2 r2 ? 1? r1



4 , ?r2-1?2+3 ?r1 2? 4 ? ?

r2 1 16 当 = 时,mmax= , r1 2 3
4 3 ?r1? ∴? ?max= , c 3 ? ? 1 1 4 3 即 + 的最大值为 . e1 e2 3 法二:利用椭圆、双曲线的定义和几何性质,柯西不等式求解.设|PF1|=r1,|PF2|=

r2,|F1F2|=2c,椭圆长半轴长为 a1,双曲线实半轴长为 a2,椭圆、双曲线的离心率分别为 e1,e2,
π 2 2 2 依题意得(2c) =r1+r2-2r1r2cos ,① 3 在椭圆中,①式化简得 4c =4a1-3r1r2, 则 3r1r2 1 2 = 2-1.② 4c e1
2
2 2

在双曲线中,①式化简得 4c =4a2+r1r2, 则

2

2

r1r2 1 2 =- 2+1.③ 4c e2 e1 e2

1 3 联立②③得 2+ 2=4. 3?2 1 1 4 3 ? 1?? 1 3 ? ? 1 1 由柯西不等式得?1+ ?? 2+ 2?≥?1? + ? ? ,解得 + ≤ ,当且仅当 e1= e1 e2 3 ? 3??e1 e2? ? e1 3 e2 ? 3 ,e2= 3时等号成立. 3 答案:A 4.过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交抛物线于 A、B 两点,若 线段 AB 的长为 8,则 p=________.
2

y =2px ? ? p 解析: 由题意可知过焦点的直线方程为 y=x- , 联立有? p 2 y=x- ? 2 ?
0, 又|AB|= ?1+1 ? 答案:2
2

2

? x -3px+ = 4

2

p2

?3p? -4? =8? p=2. 4

2

p2

5.过抛物线 y=ax (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 1 1 的长分别是 p、q,则 + 等于________.

2

p q

1 1 1 1 解析:取特殊情况:直线 y= ,得 p=q= ,∴ + =4a. 4a 2a p q 答案:4a 6. (2016?江西宜春质检)已知抛物线 C: y =2px(p>0)的准线 l, 过 M(1,0)且斜率为 3 → → 的直线与 l 相交于 A,与 C 的一个交点为 B,若AM=MB,则 p=________. 解析:设直线 AB 的方程为 y= 3x- 3,代入 y =2px 得 3x +(-6-2p)x+3=0, → → 又∵AM=MB,即 M 为 A,B 的中点,
2 2 2

p p 3 xB-*4/5=1+ ,即 xB=2+ ,则 yB= 3xB- 3= p+ 3,将(xB,yB)代入 C:y2=
2 2 2 2px, 得 p +4p-12=0,解得 p=2,p=-6(舍去). 答案:2
2

3

? ? 2 7.(2016?河南洛阳一模)已知过点 M? ,0?的直线 l 与抛物线 y =2px(p>0)交于 A,B ?2 ?
p
→ → 两点,且OA?OB=-3,其中 O 为坐标原点. (1)求 p 的值; (2)若圆 x +y -2x=0 与直线 l 相交于 C,D(A,C 两点均在第一象限),且线段 AC,CD,
2 2

DB 的长构成等差数列,求直线 l 的方程.
解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l:x=my+ ,代入抛物线方程,消去 x,得 y -2pmy 2 → → 2 2 -p =0,y1+y2=2pm,y1y2=-p ,由于OA?OB=-3,即 x1x2+y1y2=-3,

p

2

y2 y2 p2 p2 1 2 x1x2= ? = ,即有 -p2=-3,解得 p=2. 2p 2p 4 4
(2)由(1)得,y1+y2=4m,y1y2=-4, 则(y1-y2) =(y1+y2) -4y1y2=16(1+m ), |AB| =(y1-y2) +(x1-x2) =(y1-y2) +?
2 2 2 2 2 2 2 2

?y1-y2?2 ? ? 4 ? ?y1+y2?2? ?? ? 4 ??
2

2

2

=(y1-y2) ?1+?
2 2

? ?

=16(1+m ) ,即有|AB|=4(1+m ), 如图,由于线段 AC,CD,DB 的长构成等差数列,则 2|CD|=|AC|+|DB|=|AC|+|BC| -|CD|=|AB|-|CD|,

又 CD 为圆 x +y -2x=0 的直径,即有|CD|=2, 则 4(1+m )=6,解得 m=±
2

2

2

2 , 2

则直线 l 的方程是 2x+y- 2=0 或 2x-y- 2=0. 8. (2014?高考安徽卷)如图, 已知两条抛物线 E1: y =2p1x(p1>0)和 E2: y =2p2x(p2>0), 过原点 O 的两条直线 l1 和 l2,l1 与 E1,E2 分别交于 A1,A2 两点,l2 与 E1,E2 分别交于 A1,A2 两点.
2 2

4

(1)证明:A1B1∥A2B2. (2)过 O 作直线 l(异于 l1,l2)与 E1,E2 分别交于 C1,C2 两点.记△A1B1C1 与△A2B2C2 的面 积分别为 S1 与 S2,求 的值.
?y=k1x, ? ? ?y =2p1x,
2

S1 S2

解:(1)证明:设直线 l1,l2 的方程分别为 y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),由? 得 A1? 2p1? 1 ?2p 2 , ?, ? k1 k1 ?
? ?y=k1x, ?y =2p2x, ?
2

由?

得 A2?

2p2? 2 ?2p 2 , ?. ? k1 k1 ?

同理可得 B1?

2p1? 1 ?2p ?2p2 2p2? ,B2? 2 , ?. 2 , ? ? k2 k2 ? ? k 2 k2 ?

→ ?2p1 2p1 2p1 2p1? 所以A1B1=? 2 - 2 , - ?

? k2

k1

k2

k1 ?

?1 1 1 1? =2p1? 2- 2, - ?, ?k2 k1 k2 k1?
A2B2=?
→ 2p2 2p2 2p2? 2 ?2p - ? 2 - 2 , ? k2 k1 k2 k1 ?

?1 1 1 1? =2p2? 2- 2, - ?. ?k2 k1 k2 k1?
p2
→ p1 → 故A1B1= A2B2,所以 A1B1∥A2B2. (2)由(1)知 A1B1∥A2B2, 同理可得 B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2, 所以△A1B1C1∽△A2B2C2.

S1 ?|A1B1|? ? 2. 因此 =? → ? S2 ?|A B|


?

2 2

?

→ |A1B1| p1 → p1 → 又由(1)中的A1B1= A2B2,知 = , p2 → p2 |A2B2|

S1 p2 1 故 = 2. S2 p2
5

[B 级 能力突破] 1.(2015?高考浙江卷)如图,设抛物线 y =4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三 个不同的点 A,B,C,其中点 A,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之 比是( )
2

A.

|BF|-1 |AF|-1

|BF| -1 B. 2 |AF| -1 |BF| +1 D. 2 |AF| +1
2

2

|BF|+1 C. |AF|+1

解析:选 A.由图形可知,△BCF 与△ACF 有公共的顶点 F,且 A,B,C 三点共线,易知 |BC| △BCF 与△ACF 的面积之比就等于 .由抛物线方程知焦点 F(1,0), 作准线 l, 则 l 的方程 |AC| 为 x=-1.如图,∵点 A,B 在抛物线上,过 A,B 分别作 AK,BH 与准线垂直,垂足分别为 点 K,H,且与 y 轴分别交于点 N,M.由抛物线定义,得|BM|=|BF|-1,|AN|=|AF|-1.在 |BC| |BM| |BF|-1 △CAN 中,BM∥AN,∴ = = . |AC| |AN| |AF|-1 答案:A 2.(2016?江西兴国一模)椭圆 ax +by =1 与直线 y=1-x 交于 A,B 两点,过原点与 线段 AB 中点的直线的斜率为 3 a ,则 的值为( 2 b )
2 2

A. C.

3 2 9 3 2

B. D.

2 3 3 2 3 27
6

解析:联立椭圆方程与直线方程,得 ax +b(1-x) =1,(a+b)x -2bx+B-*4/5=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 2b 2b 2a ,y1+y2=1-x1+1-x2=2- = ,AB 中点 a+b a+b a+b

2

2

2

a a + ? b , a ?,AB 中点与原点连线的斜率 b=a= 3,故选 A. 坐标为? ? b b 2 ?a+b a+b? a+b
答案:A 3.(2014?高考四川卷)已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x → → 轴的两侧,OA?OB=2(其中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( A.2 C. 17 2 8 B.3 D. 10 )
2

解析:设直线 AB 的方程为 x=ny+m(如图),

A(x1,y1),B(x2,y2),
→ → ∵OA?OB=2, ∴x1x2+y1y2=2. 又 y1=x1,y2=x2, ∴y1y2=-2.
? ?y =x, 联立? ?x=ny+m, ?
2 2 2

得 y -ny-m=0,

2

∴y1y2=-m=-2, ∴m=2,即点 M(2,0). 1 1 又 S△ABO=S△AMO+S△BMO= |OM||y1|+ |OM||y2|=y1-y2, 2 2

S△AFO= |OF|?|y1|= y1,
1 ∴S△ABO+S△AFO=y1-y2+ y1, 8 9 2 = y1+ ≥2 8 y1 9 2 y1? =3, 8 y1

1 2

1 8

7

4 当且仅当 y1= 时,等号成立. 3 答案:B 4.(2016?山东莱芜一模)已知圆 G:x +y -2 2x-2y=0 经过椭圆 2+ 2=1(a>b>0) 2π 的右焦点及上顶点. 过椭圆外一点 M(m,0)(m>a), 倾斜角为 的直线 l 交椭圆于 C, D 两点, 3 若点 N(3,0)在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部,则 m 的取值范围是________. 解析:∵圆 G:x +y -2 2x-2y=0 与 x 轴,y 轴交点为(2 2,0)和(0,2), ∴c=2 2,b=2,∴a =b +c =12, ∴椭圆方程为 + =1, 12 4 设直线 l 的方程为 y=- 3(x-m)(m>2 3),
2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

x2

y2

? ?y=- 3?x-m?, 由? x2 y2 + =1 ? ?12 4
2 2

得 10x -18mx+9m -12=0.

2

2

由 Δ =324m -40(9m -12)>0, 2 30 2 30 可得- <m< , 3 3 2 30 ∴2 3<m< . 3 设 C(x1,y1),D(x2,y2),
2 9m 9m -12 x1+x2= ,x1?x2= ,

5

10



NC?ND=(x1-3,y1)?(x2-3,y2)
=(x1-3)(x2-3)+y1y2 =4x1x2-(3m+3)(x1+x2)+9+3m >0. 7 2 化简得 2m -9m+7>0,解得 m> . 2
2



?7 2 30? ∴m 的取值范围是? , ?. 3 ? ?2 ?7 2 30? 答案:? , ? 3 ? ?2
5.(2016?武汉模拟)设直线 l:2x+y-2=0 与椭圆 x + =1 的交点为 A、B,点 P 是 4
2

y2

8

1 椭圆上的动点,则使得△PAB 的面积为 的点 P 的个数为________. 3 解析:由题知直线 l 恰好经过椭圆的两个顶点(1,0),(0,2),故|AB|= 5,要使△PAB 1 1 1 2 y 2 2 的面积为 ,即 ? 5?h= ,所以 h= .联立 y=-2x+m 与椭圆方程 x + =1 得 8x 3 2 3 4 3 5 -4mx+m -4=0,令 Δ =0 得 m=±2 2,即平移直线 l 到 y=-2x±2 2时与椭圆相切, |±2 2+2| 2 它们与直线 l 的距离 d= 都大于 ,所以一共有 4 个点符合要求. 5 3 5 答案:4 8 3 6.两条渐近线为 x+2y=0,x-2y=0,则截直线 x-y-3=0 所得弦长为 的双曲线 3 方程为________. 解析:∵渐近线为 ±y=0, 2
2 2

x

b 1 x 2 ∴ = .设双曲线为 -y =λ , a 2 4
即 x -4y =4λ . 把 y=x-3 代入得:3x -24x+36+4λ =0, 16 ? 64 ? ∴2?64-48- λ ?= , 3 ? 3 ? 解得 λ =1, ∴方程为 -y =1. 4 答案: -y =1 4 → → 7. 已知椭圆 + =1 两焦点分别为 F1、 F2, P 是椭圆在第一象限弧上一点, 并满足PF1?PF2 2 4 =1,过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点. (1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值; (3)求△PAB 面积的最大值. 解:(1)由题可得 F1(0, 2),F2(0,- 2),设 P(x0,y0)(x0>0,y0>0), → → 则PF1=(-x0, 2-y0),PF2=(-x0,- 2-y0), → → 2 2 ∴PF1?PF2=x0-(2-y0)=1,① ∵点 P(x0,y0)在曲线上,则 + =1,② 2 4
9
2 2 2

2

x2

2

x2

2

x2 y2

x2 y2 0 0

∴由①②得 x0=1,y0= 2.则点 P 的坐标为(1, 2). (2)证明:由题意知,两直线 PA、PB 的斜率必存在,设 PB 的斜率为 k(k>0),则 BP 的 直线方程为:y- 2=k(x-1).

? ?y- 2=k?x-1?, 由?x2 y2 + =1, ? ?2 4
得(2+k )x +2k( 2-k)x+( 2-k) -4=0, 2k?k- 2? 设 B(xB,yB),则 1+xB= , 2 2+k
2 2 2

xB=

2k?k- 2? k -2 2k-2 -1= , 2 2 2+k 2+k

2

同理可得 xA=

k2+2 2k-2 , 2 2+k

4 2k 则 xA-xB= 2 2+k

yA-yB=-k(xA-1)-k(xB-*4/5)=
所以 AB 的斜率 kAB=

8k 2. 2+k

yA-yB = 2为定值. xA-xB

(3)设 AB 的直线方程:y= 2x+m.

? ?y= 2x+m, 由?x2 y2 + =1, ? ?2 4
2

得 4x +2 2mx+m -4=0,

2

2

由 Δ =(2 2m) -16(m -4)>0,得-2 2<m<2 2.

2

P 到 AB 的距离为 d=

|m| , 3

1 1 则 S△PAB= |AB|?d= 2 2 = 1 2 m ?-m2+8?≤ 8

?4-1m2??3?|m| ? 2 ? ? ? 3
1?m -m +8?2 ? ? = 2. 2 8? ?
2 2

当且仅当 m=±2∈(-2 2,2 2)时取等号, ∴△PAB 面积的最大值为 2.

10



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