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05.第52届IMO第六题的常规证明



2  0

中 等 数 学 



 
第5 2届 I 第六 题 的常 规 证 明 MO  
黄 全 福 
( 安徽省怀宁县江镇 中学 ,4 12  2 64 ) 中图分类号:0 2.  13 1 文献标识码 :A   文章编号 :10 6 1 (0 2 0 0 5— 4 6 2 1 )6

—02 0 0一O  l

第5 2届 I MO第 六 题 是 一 道形 式 简 洁 、   内涵 丰富 、 度大 的平 面几何 题 . 难   原题 设 锐角 △ A C的 外接 圆 为 圆 f, B  
Z 证 明:   . 由 

△ A曰 C. 3 33  

观 察 点  关 于 △ A C 的西 姆 松 线 , B 知  A 、  C  B 、  三 点 共 线 , 点 H也 在 这 条 直 线  且
上。 长 C 到点 尼  延  

Z 圆 , 的一条 切线. 是 记切线 z 关于直线 B 、 C 
C A 的对 称 直线 分 别 为 Z A、B  
相切 .  

由三 角形 垂 心 性 质 , 知  关 于 B C   C、A、 A B的对 称 点分 别 为 A 、 、  此 时 ,    C.  
对 称.  

直线 Z、 、 构成 的三 角形 的外 接 圆 与 圆 厂 。f f 6   
本文 运用 常规方法 , 对此题 进行证 明.  
证明 如图 1 .  

与 

AA 、  :CC    1 、 , 分 别 关 于 B C A C、A、B成 轴 
设 直 线  , 与 C C A   :交 于 点  , 结  联
B1 B】   B2、 X.

因  A   C X=/ A 1 2   A T C  = C H 
=1 0。一 8  
:  

T HA1=1 0。一 8  

A2 H  Al

AA1   X,

所以 , C A、  、 X四点共圆, 即点  在 圆 厂上.  

由轴对 称性 质知 
i B2= lB1   =1 0。一 8  
=  

Tt IB1=1 0。一 8  

T B  l XC1 B 

C2 B =1 0。一 C  8  
IBl t  

BB1 = X  

从而 , 、  2 点共线 ,    、 三 即 1 2  B 、 A 、 2 

CC 三线 共点 , 。  且该点 ( 即  ) 圆 , 上. 在  
因 
图 l  
=  

2 X:/ B 2 l A A 
BT = l   B 2 , C Cl 

取 △ A C的垂 心  , B 射线 AlB C l、H、日分 
别 交 圆 , 于 A 、 C   B 、  设 Z 圆 厂 于点  , 切   关于 B C A C、A、B的对 称点 是 A 、 、 2设 切  2 2 C .

所 以 ,   、   四点共圆.  、  、  
又 


2 3= B G= B 2 则  、 B   T   C G,  

线z 与直 线 B 、A、B交 于 点  、 G 则 直  CC A K、 . 线 A 、 2 CG就 是 f 6l, 构 成 的 是  2 BK、 2  2、 其  
收 稿 日期 :0 1 0—1  2 1 —1 0

B 、 四点共圆.       从 而 , C 、 A 、 五点共 圆.  、 2  、2 3  
同理 ,  3B 、 C 和 C 、 2 、 、 2 A、 、 2 、 2 3B 、 C A 

分别 五点 共 圆.  

( 下转第 3 3页 )  

万方数据

21 第 6   0 2年 期
l al=6.  I=4. 1  

3  3

由题设 知  :  

, =  .   —  

2 = 4 个集合含有平方数. 5 18   综上 ,。S 一,5 中 , s ,  J9 有  s9
6 oo一1 —1 8=43   3 4 9

因为 0为边 B C的 中点 , 以 , 所  

个 集合 不含有 平方 数.   1. 2 当  = 2时 , 不等 式 为  ( + 2  (   + 21   l   ) ≥2 12 XX )
( 一 ) >0  1  2  I .  

=   B+ )    ̄(   = - — A
又 一      — 一   MO =MA +A A O

+ .    
,  

又 


  = + =一   +{西      { +  ,
一  

NO 一 A +A =   N   — A 0 O  


= + = 口一 .      _ ÷  
. 

O 

因为 MO上 N 所 以 , O,  
5 1  一7 口l    
-   = 一

故凡 2 = 满足题意.   当 n= 3时 , 等式 为  不 ( l   + 3 13 X 2     + 3 1   + 2   ) > ( l + 23     )     ( 1   ) +( 2   )   一 12 .   一 22   一 3  +(3   ) ≥o  
故 n= 3满足题 意.   当 n= 4时 , 等式 为  不 (l  +3  )≥ (1 +2 +3 + 1   +2   +   4 X     X   ) 2 4  
车 戈 一 2   一 4  .  ( l   + 3   ) ≥0  

十3 ?=   _口西 0

j 口? =9 j   ×4c sA =9 6   6 o   

cA 音j =r s   o    A ao s   e 专? c
1 . 意到 , 1注   (  +1 一 = x+1 0 x∈ N) )   2  ̄5 (  
铮  ̄2 ( 4 x∈ N) .   而 ( 4+1  =6 5∈ S 于 是 , 0 , 2 ) 2   S,    。

故 n 4满足题意. =   下证 : > 当  4时 , 不等式不 可能对任意  正实数 。 ,   都成立. , …,    
取  2 ,3      一一 n     ?  

S。  中含 有 的平 方数 都 不超 过 2  且 每个  5, 集合都是由连续 5 个非负整数组成 的. 0 故每  个集合至少含有 1 个平方数.   在集合 | , , 5 中, 含有平 方  s 5 …,  。 , 若




则原不 等式 为 

【 l( 2 l +n   + - 而  】  

数, 则都 不小 于 2  6.   而 当 ≥2 6时 , +1 5 , 而 ,1, 1      3从 > I J3J , s s 4


≥“ n  [
§  
1   ’1

+ 赫
+  

】  

,  

中, 每个集合至多含有 1 个平方数  另一方面 , 中最大数是  s
6 0 X5 —1=2   9   0  0 9 9 9.



 

等,  

这 与  < ≤ 矛盾. 5     所以, 满足 题意 的正整 数 n为 234  、、. ( 熊
叶 声扬
由 
=  

而 13 2 9 7 < 999<14 , s3|4 … , 9中  7  故 l s ,  5 ,1 9 含有 的平方数 不超 过 13. 7    因此 ,。, ,, ,  中有且 仅 有 1 3— .  |  … |9 s s s9 7  
( 上接 第 2 0页)  
因 
=  



顾 鸿达  李 大 元  刘 鸿 坤 

命题)  
= B P一 B B   X   X 
BXA 一   BC,   B ,

: A CX= A B     2 3   :2
C B2 = 2     C A3 : 2     B A , 33  

则  B  
=  

= B X一 B C   A   A 
CA 2  =   B A3    

所以, A、3 四点共圆 , x在 △ A8c  X、,c、   即点 3,3
的外接 圆上.  

CA = ,   

根据弦切角逆定理 , P 知 Q与△ A c    
的外接 圆 切于 点  , P 即 Q是 △ A , , 接  , c外 圆和 圆 厂 的公切 线 , 为切点.    
由此 得 △  C 的外 接 圆与 圆 厂 必相  , 切( 内切 ) 切 点就是 . ,  

过点  作 圆 厂 的切线 P . Q 
注意 到 ,  
/ BC B   BT    = L=/ B T=/ B C . A A2  

万方数据

第52届IMO第六题的常规证明
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 黄全福 安徽省怀宁县江镇中学,246142 中等数学 High-School Mathematics 2012(6)

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