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高中数学 第一章 用函数观点看数列问题拓展资料素材 北师大版必修5



用函数观点看数列问题
新教材将数列安排在函数之后学习,强调了数列与函数知识的密切联 系.从函数的观点出发,变动地、直观地研究数列的一些问题,一方面有利 于认识数列的本质,另一方面有利于加深对函数概念的理解.本文拟用函数 的观点来认识一些数列问题. 1 数列的本质 数列可看作一个定义域为 N (或它的有限子集{1,2,3, ?,n})的函数, 用图象表示是一群孤立的点.例

如,对于公差不为零的等差数列{an}来说, 它的通项是关于 n 的一次函数,从图象上看,表示这个数列各点均匀地分布 在一次函数 y=ax+b(a≠0)的图象上;它的前 n 项和 Sn 是关于 n 的无常数项 的二次函数,因此 Sn/n 也是关于 n 的一次函数.
*

式是________.

考虑到 an 是关于 n 的一次函数,故 pn+q 与(n-1)或(2n-1)是同类因 式. 由待定系数法知: p+q=0(舍去)或 p+2q=0. 例 2 等差数列{an}中,ap=q,aq=p(p≠q)求 ap+q. 解 由于等差数列的通项 an 是关于 n 的一次函数,故三点(p,q),(q, p),(p+q,ap+q)共线.

解 由题设知:公差 a≠0.

例 4 已知{an}是等差数列. (1)2a5=a3+a7 是否成立?2a5=a1+a9 是否成立? (2)2an=an-2+an+2(n>2)是否成立?2an=an-k+an+k(n>k>0)是否成立? (新教材第一册(上)第 119 页习题 10) 解 表示数列{an}的各点, 均匀地分布在一条直线上. 不妨设公差 d>0. (1)如图 1,画出点(3,a3),(5,a5),(7,a7).

由中位线定理得 2a5=a3+a7. 如图 2,画出点(1,a1),(5,a5),(9,a9). 作辅助线 AC,同样有 2a5=a1+a9.故(1)中两式全成立. (2)画出图 3,图 4. 类似(1),有 2an=an-2+an+2(n>2),2an=an-k+an+k(n>k>0).故(2)中两 式全成立.

说明 在例 4 中运用图象直观地刻划了等差数列的有关性质, 同样还可 直观地刻划等差数列的其它性质,如 (i)an=am+(n-m)d (m,n,∈N );
*

(ii)若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N ). 2 数列的单调性 在数列{an}中,如果 an<an+1 对 n∈N 都成立,那么称{an}是单调递增 数列;如果 an>an+1 对 n∈N 都成立,那么称{an}是单调递减数列.数列的单 调性可以用函数的单调性来刻划.例如,公差不为零的等差数列的单调性与 一次函数的单调性相同; 公比大于零且不等于 1 的等比数列的单调性与指数 型函数 y=ka (a>0 且 a≠1)的单调性相同. 例 5 已知数列的通项公式为 an=n -10n+10.这个数列从第几项起各 项的数值逐渐增大?从第几项起各项的数值均为正值?数列中是否还存在 数值与首项相同的项? 解 表示数列{an}的各点都在函数 y=x -10x+10 的图象上.
2 2 x * *

*

由图 5 可得,这个数列从第 5 项起各项的数值逐渐增大,从第 9 项起各 项的数值均为正值,第 9 项是与首项相同的项.

说明 以函数的观点认识、理解数列,才能自觉地用函数的单调性去研 究数列的单调性.

∴数列{an}为递减数列, ∴数列{an}中的最大项为

即 log(a-1)a-2loga(a-1)>1 成立. 解此不等式可得

3 数列的最值 运用函数观点求数列的最值,可以更深刻地认识数列的本质,同时又能 深化对函数概念的理解. 例 7 若数列{an}的通项公式为 an=-n +7n(n∈N ), 求 an 的最大值, 并 与函数 y=-x +7x(x∈R)的最大值作比较. 解 作出函数 y=-x +7x(x∈R)的图象. 从图象上看,表示数列{an}的各点都在抛物线 y=-x +7x(x∈R)上,由 图象得
2 2 2 2 *

说明 经比较发现数列{an}与函数 y=-x +7x(x∈R)在不同的地方取到 不同的最大值,这是由于两者的定义域不同所造成的.

2

例 8 等差数列{an}前 n 项和为 Sn,已知 a1>0,S9=S16,问 n 为何值 时,Sn 最大? 解 由题意知:{an}是单调递减数列,故点(n,Sn)在开口向下的抛物线 上,又点

∴当 n=12 或 n=13 时,Sn 最大. 函数是高中数学的重要知识, 它象一根主线贯穿于高中数学的各个章节 中.新教材在数列这一章中大量渗透了函数思想,这正是新教材“新”之所 在,它不仅有助于学生认识数列的本质,而且也使学生对函数概念的理解逐 步升华.



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