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等差数列性质及习题



等差数列
1.定义: an?1 ? an ? d (d 为常数) 或 an ?1 ? an ? an ? an ?1 (n ? 2) 2.等差数列的通项: an ? a1 ? (n ? 1)d 或 an ? am ? (n ? m)d 。 3.等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ? 4.等差数列的前 n 和: Sn ?

5. 等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜 率为公差 d ;

n(a1 ? an ) n(n ? 1) , Sn ? na1 ? d 2 2

a?b 2

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2 2 2 (2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列, 若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列, 若公差 d ? 0 ,则为常数列。 Sn ? na1 ?
(3)当 m ? n ? p ? q ? 2w 时,则有 am ? an ? a p ? aq ? 2aw (4)若 {an } 、 {bn } 是等差数列,则 {kan } 、 {kan ? pbn } ( k 、 p 是非零常数)、 {a p ? nq }( p, q ? N ) 、
*

Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S2 n ,?也成等差数列.
(5)在等差数列 {an } 中,当项数为偶数 2n 时, S偶-S奇 ? nd , S偶:S奇 ? an ?1 : an ; 项数为奇数 2n ? 1时, S奇 ? S偶 ? an ; S奇:S偶 ? (n ? 1) : n 。

(6)若等差数列 {an } 、 {bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ,且

An ? f ( n) , Bn



an (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? ? f (2n ? 1) . bn (2n ? 1)bn B2 n ?1

(7)“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。

an ? 0 ? ?an ? 0 ? 确定出前多少项为非负(或非正) 法一:由不等式组 ? ; ? 或? ? ? ? ? ?an ?1 ? 0? ? a n ?1 ? 0 ?

法二:因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性

n ? N* 。
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专题 1 等差数列的定义
1、已知数列 ?an ? 中, an ? an?1 ? 2(n ? N *, n ? 2) ,若 a1 ? 3, 则此数列的第 10 项是
2、已知 a n?1 ? a n ? 3 ? 0 ,则数列 ?a n ?是 A. 递增数列 B. 递减数列 ( ) D. 摆动数列

C. 常数列

3、在 x 和 y 之间插入 n 个实数,使它们与 x,y 组成等差数列,则此数列的公差为 4、首相为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围

5、已知数列{an}中,a3=2,a7=1,又数列{

1 }为等差数列,则 an=________ an ? 1

6、在等差数列 ?a n ?中, a m ? n , a n ? m ( m , n ∈N+),则 a m? n ?

专题 2 等差数列的性质
1、在等差数列中, a1 与 a11 是方程 2x2 ? x ? 7 ? 0 的两根,则 a6 为

2、设数列{an}和{bn}都是等差数列,其中 a1=24, b1=75,且 a2+b2=100,则数列{an+bn}的第 100 项为

3、设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 ,则 a11 ? a12 ? a13 ?

4、若 ?a n ?为等差数列, a 2 , a10 是方程 x 2 ? 3x ? 5 ? 0 的两根,则 a5 ? a7 ? _______

5、若 lg2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则 x 等于_______

6、等差数列 {a n } 中, a1 ? 3a8 ? a15 ? 120 , 则2a9 ? a10 ? A.24 B.22 C.20 第 2 页 共 2 页



) D.-8

专题 3 等差数列的前 n 项和
1、等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ,若 a4 ? 18 ? a5 ,则 s8 等于

2、已知等差数列 ?an ? 中,前 15 项之和为 S15 ? 90 ,则 a8 等于

3、 设 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,若 S7=35,则 a4= (A)8 (B)7 (C)6 (D)5

专题 4 等差数列的前 n 项和的性质
1、等差数列 ?an ? 共有 2n ?1 项,所有奇数项之和为 132,所有偶数项之和为 120,则 n 等于 2、已知在数列{an}中,a1=-10,an+1=an+2,则|a1|+|a2|+|a3|+?+|a10|等于 3、已知等差数列共有 10 项,其中奇数项之和 15,偶数项之和为 30,则其公差是
4、已知 ?an ? 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105 , a2 ? a4 ? a6 ? 99 , S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,则 使得 S n 达到最大值的 n 是( A.21 B.20 ) C.19 D.18

5、

专题 5 综合应用
1.在等差数列{an}中,如果 a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+?+a14=77, (1)求此数列的通项公式 an; (2)若 ak=13,求 k 的值。 2.三个实数 a,b,c 成等差数列,且 a+b+c=81,又 14-c,b+1,a+2 也成等差数列,求 a, b,c 的值. 3、在等差数列 ?an ? 中, Sn 为前 n 项和: (1)若 a1 ? a9 ? a12 ? a20 ? 20 ,求 S20 ; (2)若 S4 ? 1 , S8 ? 4 ,求 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值; (3)若已知首项 a1 ? 13 ,且 S3 ? S11 ,问此数列前多少项的和最大?
4、已知等差数列 ?an ? 的前三项为 a ? 1, 4, 2a, 记前 n 项和为 S n . (Ⅰ)设 Sk ? 2550 ,求 a 和 k 的值;
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(Ⅱ)设 bn ?

Sn ,求 b3 ? b7 ? b11 ? ??? ? b4 n ?1 的值. n

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