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高三数学分段函数



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2.11 分段函数与绝对值函数
——随着高考命题思维量的加大,分段函数成了新的热点和亮点,单设专题,以明析强化 之

一、明确复习目标
了解分段函数的有关概念;掌握分段函数问题的处理方法

/>
二.建构知识网络
1.分段函数:定义域中各段的 x 与 y 的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的. 分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。 2.绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数. 3.分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。 4.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.

三、双基题目练练手
?( x ? 1) 2 ? 1.设函数 f(x)= ? ?4 ? x ? 1 ?
A.(-∞,-2]∪[0,10] C.(-∞,-2]∪[1,10] 2.(2006 安徽)函数 y ? ?

x ? 1, x ? 1,

则使得 f(x)≥1 的 x 的取值范围为

(

)

B.(-∞,-2]∪[0,1] D.[-2,0]∪[1,10] 的反函数是 ( )

? 2 x, x ? 0 2 ?? x , x ? 0

? x ? 2 x, x ? 0 ? ,x ?0 ? A. y ? ? 2 B. y ? ? ? ?x, x ? 0 ? ? ?x, x ? 0 ? ? x ,x ?0 ? 2 x, x ? 0 ? ? C. y ? ? 2 D. y ? ? ?? ? x , x ? 0 ? ?? ? x , x ? 0 ?
3.(2007 启东质检)已知 f ( x) ? ?

? x ? 1,x ? [ ?1, 0)
2 ? x ? 1,x ? [0,1]

,则下列函数图象错误的是( ) ..

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4.(2006 全国Ⅱ)函数 f ( x) ? (A)190 (B)171

? x ? n 的最小值为
n ?1

19

(

)

(C)90

(D)45

?x ? 2 5.(2005 北京市西城模拟)已知函数 f(x)= ? ?? 2

( x ? 2), ( x ? 2),

则 f(lg30-lg3)

=___________;不等式 xf(x-1)<10 的解集是_______________. 6. (2006 浙江)对 a, b ? R ,记则 max ?a, b? ? ?

?a , a ? b 则函数 ?b, a<b
.

f ?x ? ? max ?x ? 1 , x ? 2 ??x ? R ? 的最小值是

? x ( x ? 0) ?2 ? 7.已知函数 f ( x) ? ? 3 (0 ? x ? 1) ,当 a<0 时,f{f[f(a)]}= ?log x ( x ? 1) ? 1 ? 3
? x 2 ? 1 ( x ? 0) ? 8.函数 f ( x ) ? ? 2 的值域 ( x ? 0) ?? x ?


简答:1-4.ACDC;
4.x=10 时,取最小值 90.f(x)=|x-1|+|x-2|+?+|x-19| =|x-1|+?+|x-10|+|11-x|+?+|19-x| ≥|x-1+x-2+?x-9+11-x+?19-x|+|x-10| ≥|90|+0=90, 当 x=10 时取等号.一般地:? 5. f(lg30-lg3)=f(lg10)=f(1)=-2,
y=|x-2|

y

y=|x+1|

?x ? 3 f(x-1)= ? ?? 2

x ? 3, x ? 3.
-1 o 2 x

当 x≥3 时,x(x-3)<10 ? -2<x<5,故 3≤x<5. 当 x<3 时,-2x<10 ? x>-5,故-5<x<3.解集 {x|-5<x<5} 6. 由 x ? 1 ? x ? 2 ? ?x ? 1? ? ?x ? 2? ? x ?
2 2

1 , 2

? 1? ? ?x? ? ? x ?1 2? ? ? ?1? 3 f ? x? ? ? 如右图 f min ? x ? ? f ? ? ? 1? ?2? 2 ? ? x?2 ?x? ? ? 2? ? ? 1 2 2 7. ? ;8. 当 x≥0 时,x +1≥1;当 x<0 时,-x <0 原函数值域是[1,+∞]∪(-∞,0)。 2

四、经典例题做一做
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(n ? 2000), ?n ? 13 【例 1】设定义在 N 上的函数 f(x)满足 f(n)= ? 求 f(2002). ? f [ f (n ? 18)] (n ? 2000),
解:∵2002>2000, ∴f(2002)=f[f(2002-18) ]=f[f(1984) ]=f[1984+13]=f(1997)=1997+13=2010. 感悟方法 求值时代入哪个解析式,一定要看清自变量的取值在哪一段上. 【例 2】判断函数 f ( x ) ? ?

? x 2 ( x ? 1) ( x ? 0) ? 的奇偶性。 2 ? ? x ( x ? 1) ( x ? 0) ?

解:当 x>0 时,-x<0, f(-x)= -(-x)2(-x+1)=x2(x-1)=f(x); 当 x=0 时,f(-0)=f(0)=0;当 x<0 时,f(-x)=( -x)2(-x-1)= -x2(x+1)=f(x)。因此, 对任意 x∈R 都有 f(-x)=f(x),所以函数 f(x)为偶函数。

提炼方法::分段函数的奇偶性必须对 x 的值分类比较 f(-x)与 f(x)的关系,得出 f(x)是否是
奇偶函数的结论。 【例 3】(2007 启东质检)已知函数 f ( x) ?|1 ?

1 | , ( x ? 0) x (1)当 0 ? a ? b, 且f (a) ? f (b) 时,求证: ab ? 1 ;
(2)是否存在实数 a, b(a ? b) ,使得函数 y ? f ( x) 的定义域、值域都是 [a, b] ,若存

在,则求出 a, b 的值,若不存在,请说明理由; (3)若存在实数 a, b(a ? b) ,使得函数 y ? f ( x) 的定义域为 [a, b] 时,值域为

[ma, mb](m ? 0) ,求 m 的取值范围.
? 1 ?1 ? x , x ? 1, ? 解:(1)∵ x ? 0 ,∴ f ( x ) ? ? ? 1 ? 1, 0 ? x ? 1. ?x ?
∴ f (x) 在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上是增函数. 由 0 ? a ? b, 且f (a) ? f (b) ,可得 0 ? a ? 1 ? b , 所以有

1 1 1 1 ? 1 ? 1 ? ,即 ? ? 2 .∴ 2ab ? a ? b ? 2 ab a b a b

故 ab ? 1 ,即 ab ? 1 (2)不存在满足条件的实数 a, b . 若存在满足条件的实数 a, b ,使得函数 y ? f ( x) ?|1 ?

1 | 的定义域、值域都是[ a, b ], x

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? 1 ?1 ? x , x ? 1, ? 则 a ? 0 .由 f ( x ) ? ? ? 1 ? 1, 0 ? x ? 1. ?x ?
①当 a, b ∈(0,1)时, f ( x) ?

1 ? 1 在(0,1)上为减函数. x

?1 ? a ? 1 ? b, ? f ( a ) ? b, ? 故? ,即 ? ,解得 a ? b . 1 ? f (b) ? a. ? ? 1 ? a. ?b ?
故此时不存在适合条件的实数 a, b . ②当 a, b ∈ ?1, ?? ? 时, f ( x) ? 1 ?

? f ( a ) ? a, 1 在(1,+∞)上为增函数.故 ? , x ? f (b) ? b.

? 1 ?1 ? a ? a, ? 即? ?1 ? 1 ? b. ? b ?
此时 a, b 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的根,由于此方程无实根.
2

故此时不存在适合条件的实数 a, b . ③当 a ∈(0,1) b ? ?1, ?? ? 时,由于 1∈[ a, b ],而 f (1) ? 0 ? ?a, b ? ,故此时不存在 , 适合条件的实数 a, b . 综上可知,不存在适合条件的实数 a, b . (3)若存在实数 a, b(a ? b) ,使得函数 y ? f ( x) 的定义域为[ a, b ]时,值域为

[ma, mb] ,则 a ? 0, m ? 0 .
①当 a, b ∈(0,1)时,由于 f ( x) 在(0,1)上是减函数,值域为 [ma, mb] ,

?1 ? a ? 1 ? mb, ? 即? ? 1 ? 1 ? ma. ?b ?

解得 a=b>0,不合题意,所以 a, b 不存在.

②当 a ? (0,1)或b ? (1, ??) 时,由(2)知 0 在值域内,值域不可能是 [ma, mb] ,所以
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a, b 不存在.故只有 a, b ? ?1, ?? ? .
? 1 ?1 ? a ? ma, ? f (a ) ? ma, ? 1 ∵ f ( x) ?| 1 ? | 在(1,+∞)上是增函数,∴ ? ,即 ? x ? f (b) ? mb. ?1 ? 1 ? mb. ? b ?

a, b 是方程 mx2 ? x ? 1 ? 0 有两个根.
即关于 x 的方程 mx ? x ? 1 ? 0 有两个大于 1 的实根.
2

设这两个根为 x1 , x2 .则 x1 ? x2 ?

1 1 , x1 ? x2 ? m m

? ? ? 0, ?1 ? 4m ? 0, ? ? ∴ ?( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ? 0, 即 ? 1 ?( x ? 1)( x ? 1) ? 0. ? m ? 2 ? 0. ? ? 1 2
解得 0 ? m ?

1 . 4 1 . 4

综上 m 的取值范围是 0 ? m ?

【例 4】设 a 为实数,设函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a)。 (Ⅰ)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t); (Ⅱ)求 g(a); 解: (I)∵t= 1 ? x + 1 ? x , ∴要使 t 有意义,必须 1+x≥0 且 1-x≥0,即-1≤x≤1. ∵t =2+2 1 ? x ∈[2,4],t≥0,
2

2



∴t 的取值范围是[ 2 ,2].

1 2 t -1, 2 1 2 1 2 ∴m(t)=a( t -1)+t= at +t-a,t∈[ 2 ,2]. 2 2 1 2 (Ⅱ)由题意知 g(a)即为函数 m(t)= at +t-a, t∈[ 2 ,2]的最大值. 2 1 1 2 注意到直线 t=- 是抛物线 m(t)= at +t-a 的对称轴,分以下几种情况讨论. a 2
由①得 1 ? x =
2

(1)当 a>0 时,函数 y=m(t), t∈[ 2 ,2]的图像是开口向上的抛物线的一段,由

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t=-

1 <0 知 m(t)在[ 2 ,2]上单调递增, a

∴g(a)=m(2)=a+2. (2)当 a=0 时,m(t)=t,t∈[ 2 ,2], ∴g(a)=2. (3)当 a<0 时,函数 y=m(t), t∈[ 2 ,2]的图像是开口向下的抛物线的一段.

若 t=-

2 1 ∈(0, 2 ],即 a≤,则 g(a)=m( 2 )= 2 . 2 a 2 1 1 1 1 ∈( 2 ,2],即 a∈(,- ] 则 g(a)=m(- )=-a. 2 a 2 a 2a

若 t=-

1 1 ∈(2,+ ∞),即 a∈(- ,0),则 g(a)=m(2)=a+2. a 2 1 ? a?? , ?a ? 2, 2 ? 1 2 1 ? , ? ?a?? , 综上有 g(a)= ? ? a ? 2a 2 2 ? ? 2 a?? . ? 2, 2 ?
若 t=-

核心步骤:(1) m(t)=a(

1 2 1 2 t -1)+t= at +t-a,t∈[ 2 ,2]. 2 2

(2)求 g(a)=[m(t)]max,按对称轴相对于区间[ 2 ,2]的位置,对 a 分类分类讨论. 【研讨.欣赏】(2000 全国)某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日 起的 300 天内, 西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示; 西红柿的种植成 本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.

(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 P= f ?t ? ; 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式 Q= g ?t ? ; (Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿收益最大?
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(注:市场售价和种植成本的单位:元/ 102 kg,时间单位:天) 解:(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)= ?

0 ?300 ? t, ? t ? 200 , ?2t ? 300 ,200 ? t ? 300 ;

由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g(t)=

1 (t-150)2+100,0≤t≤300. 200

(Ⅱ)设 t 时刻的纯收益为 h(t),则由题意得 h(t)=f(t)-g(t)

? 1 2 1 175 0 ?? 200 t ? 2 t ? 2 , ? t ? 200 ? 即 h(t)= ? ?? 1 t 2 ? 7 t ? 1025 , ? t ? 300 200 ? 200 2 2 ?
当 0≤t≤200 时,配方整理得 h(t)=-

1 (t-50)2+100, 200

所以,当 t=50 时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值 100; 当 200<t≤300 时,配方整理得 h(t)=-

1 (t-350)2+100 200

所以,当 t=300 时,h(t)取得区间[200,300]上的最大值 87.5. 综上,由 100>87.5 可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值 100,此时 t=50,即从 二月一日开始的第 50 天时,上市的西红柿纯收益最大. 思路点拨: 题(Ⅱ)分段写出收益与时间的函数关系 h(t), 是分段函数,再分段求最值.

五.提炼总结以为师
1.分段函数、绝对值函数问题类型—— 2.分段函数的处理方法:分段函数分段研究;解题中务必看清自变量在哪一段,该代哪 个解析式。

同步练习
【选择题】

2.11 分段函数与绝对值函数

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? 2e x ?1 ? 1.(2006 山东)设 f ( x ) ? ? 2 ?log 3 ( x ? 1) ?
A. (1, 2) ? (3, ??) 2.已知函数 f ( x ) ? ? 的取值范围是 A. (0,1) B. ( 10, ??)

x?2 x?2

,则不等式 f ( x) ? 2 的解集为 (

)

C. (1, 2) ? ( 10, ??)

D. (1, 2)

?(2a ? 1) x ? 7 a ? 2( x ? 1) ?a
x

( x ? 1)

在(-∞,+∞)上单调递减,则实数 a

( ) B. (0, )
1 2

C. ? ,1?

?3 ? ?8 ?

D. ? , ?

?3 1 ? ?8 2 ?

3. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1, g ( x) ? 1 ? x 2 构造函数 F(x),定义 F 如下:当 | f ( x) |? g ( x) 时,

F ( x) ?| f ( x) | ,当 | f ( x) |? g ( x) 时, F ( x) ? ? g ( x) ,那么 F (x)
A.有最小值-1,无最大值 C.有最大值 1,无最小值 【填空题】 B.有最小值 0,无最大值 D.无最小值,也无最大值

(



?1, x ? 0, 4.已知 f(x)= ? 则不等式 xf(x)+x≤2 的解集是________________. ?0, x ? 0,

x ? 0, ?1 ? 5.(2005 北京东城模拟)定义“符号函数”f(x)=sgnx= ?0 x ? 0, 则不等式 x+2> ?? 1 x ? 0, ?
(x-2)sgnx 的解集是______________. 6.已知函数 f(x)=|x2-2x-3|的图象与直线 y=a 有且仅有 3 个交点,则 a= 。

简答提示:1-3. C DA; 4.分段解取并集{x|x≤1}; 5.(- 5 ,+∞);6. 由图象易知 a=4。
【解答题】

? x 2 ? 1 ( x ? 0) 7.求函数 f ( x) ? ? 的反函数。 ?1 ? x ( x ? 0)
解:∵ f(x)在 R 上是单调减函数, ∴ f(x)在 R 上有反函数。 ∵ y=x2+1(x≤0)的反函数是 y ? ? x ? 1 (x≥1), y=1-x(x>0)的反函数是 y=1-x(x<1), ∴ 函数 f(x)的反函数是 f
?1

? ? x ? 1 ( x ? 0) ? ( x) ? ? ( x ? 0) ?1 ? x ?

注 :求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可。

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8.设 A={x||x|=kx+1},若 A∩R+=φ ,A∩R-≠φ ,求实数 k 的取值范围. 解法 1:方程|x|=kx+1 的解是函数 y=|x|和 y=kx+1 交点的横坐标,结合图形知,当直线 y=kx+1 在α 范围内时,方程有负根,且没有正根,故 k≥1. 解法 2:由题意须 ?

?x ? 0 ①有解, ?? x ? kx ? 1

y y=|x+1| ? y=|x| -1 o 1 x

?x ? 0 ? ? x ? kx ? 1

②无解.

?1 ? 0 得k ? ?1 ; k ?1 1 ②中 k=1 时无解,k≠0 时,若 x ? ? 0 即 k ? 1, 则②有解, 1? k
①中 k=-1 时无解, k ? ?1时, x ? 所以, k≥1. 9. (2005 浙江)已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x +2x. (Ⅰ)求函数 g(x)的解析式; (Ⅱ)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|; (Ⅲ)若 h(x)=g(x)- ? f(x)+1 在[-1,1]上是增函数,求实数 ? 的取值范围. 解: (I)设函数 y ? f ( x) 的图象上任一点 Q( x0 , y0 ) 关于原点的对称点为 P( x, y ) ,
2

? x0 ? x ? 2 ?0 ? 则 ? 即 ? y0 ? y ? 0 ? 2 ? Q( x0 , y0 ) 在函数 y ? ∵点

? x0 ? ? x . ? ? y0 ? ? y

f ( x) 的图象上.
2

? ? y ? x ? 2 x,
2

即 y ? ? x ? 2 x,
2

故 g(x)= ? x ? 2 x .
2

(II)由 g ( x) ? f ( x)? | x ? 1| 可得: 2 x ? | x ? 1|? 0 当 x ? 1 时, 2 x ? x ? 1|? 0 此时不等式无解。
2

当 x ? 1时, 2 x ? x ? 1 ? 0
2

? ?1 ? x ?

1 2 1 ]. 2

因此,原不等式的解集为[-1,
2

(III) h( x) ? ?(1 ? ? ) x ? 2(1 ? ? ) x ? 1. ① 当 ? ? ?1 时, h( x ) = 4 x ? 1 在[-1,1]上是增函数,

? ? ? ?1
②当 ? ? ?1 时,对称轴的方程为 x ?

1? ? 1? ?

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1? ? ? ?1 ,解得 ? ? ?1。 1? ? 1? ? (ii) 当 ? ? ?1 时, ? 1 时,解得 ?1 ? ? ? 0 1? ? 综上, ? ? 0
(i) 当 ? ? ?1时, 10. 某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品.根据经 验知道,该厂生产这种仪器,次品率 P 与日产量 x (件)之间大体满足关系:

? 1 (1 ? x ? c, x ? N ) ? (其中 c 为小于 96 的正常数) P ? ? 96 ? x 2 ? ( x ? c, x ? N ) ? 3
注:次品率 P ? 品. 已知每生产一件合格的仪器可以盈利 A 元,但每生产一件次品将亏损
次品数 ,如 P 生产量

? 0.1 表示每生产 10 件产品,约有 1 件为次品.其余为合格
A 元,故厂方希望 2

定出合适的日产量. (1)试将生产这种仪器每天的盈利额 T (元)表示为日产量 x (件)的函数; (2)当日产量为多少时,可获得最大利润? 讲解 (1)当 x ? c 时, P ?

1 2 A 2 ,所以,每天的盈利额 T ? xA ? x ? ? 0 ; 3 3 2 3

当 1 ? x ? c 时, P ?

1 ? 1 ? ,所以,每日生产的合格仪器约有 ?1 ? ? x 件,次品 96 ? x ? 96 ? x ?

约有 ?

? 1 ? ? x 件.故,每天的盈利额 ? 96 ? x ?

? 1 ? 3x ? ? 1 ? A ? T ? ?1 ? ? A. ? xA ? ? ? x? ? ? x ? 2 ? 96 ? x ? ? ? 96 ? x ? ? 96 ? x ? 2 ? ? ?
综上,日盈利额 T (元)与日产量 x (件)的函数关系为:

?? ? 3x ?? x ? ? A, T ? ?? 2 ? 96 ? x ? ? ? x?c ?0,
? ?

1? x ? c

(2)由(1)知,当 x ? c 时,每天的盈利额为 0. 当 1 ? x ? c 时, T ? ? x ? ?

? 3x ?A. 2 ? 96 ? x ? ? ?

令 96 ? x ? t ,则 0 ? 96 ? c ? t ? 95 .故

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3 ? 96 ? t ? ? ? 144 ? ? 1 T ? ? 96 ? t ? ? A ? ? 97 ? t ? ?A 2t t ? ? 2 ? ? ? 1 144 ? 147 ? ? 97 ? 2 t ? A?0 ?A? ? 2 ? t ? 2 ?
当且仅当 t ?



144 ,即 t ? 12 ?即x ? 88? 时,等号成立. t 147 所以(i)当 c ? 88 时, Tmax ? . A (等号当且仅当 x ? 88 时成立) 2 (ii) 当 1 ? c ? 88 时,由 1 ? x ? c 得 12 ? 96 ? c ? t ? 95 , 144 易证函数 g ? t ? ? t ? 在 t ? (12, ??) 上单调递增(证明过程略) . t
所以, g (t ) ? g ? 96 ? c ? .所以,

? 144 ? 189c ? 2c 2 ? 144 ? 144 ? ? 1 ? 1 T ? ? 97 ? t ? ? A ? 0即 ? A ? ? 97 ? ? 96 ? c ? ? ?A?? t ? 96 ? c ? 192 ? 2c ? 2 ? 2 ? ? ? 144 ? 189c ? 2c 2 ? Tmax ? ? (等号当且仅当 x ? c 时取得) ? A. 192 ? 2c ? ?
综上,若 88 ? c ? 96 ,则当日产量为 88 件时,可获得最大利润;若 1 ? c ? 88 ,则当 日产量为 c 时,可获得最大利润. 点评:分段函数是历年高考的热门话题,常考常新,值得我们在复课时认真对待. 【探索题】(2006 福建)已知函数 f ( x) ? ? x ? 8 x, g ( x) ? 6ln x ? m.
2

(I)求 f ( x) 在区间 ? t , t ? 1? 上的最大值 h(t ); (II) 是否存在实数 m, 使得 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交 点?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由。 解: (I) f ( x) ? ? x ? 8 x ? ?( x ? 4) ? 16.
2 2

当 t ? 1 ? 4, 即 t ? 3 时, f ( x) 在 ? t , t ? 1? 上单调递增,

h(t ) ? f (t ? 1) ? ?(t ? 1)2 ? 8(t ? 1) ? ?t 2 ? 6t ? 7;
当 t ? 4 ? t ? 1, 即 3 ? t ? 4 时, h(t ) ? f (4) ? 16; 当 t ? 4 时, f ( x) 在 ? t , t ? 1? 上单调递减,

h(t ) ? f (t ) ? ?t 2 ? 8t.
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??t 2 ? 6t ? 7, t ? 3, ? 综上, h(t ) ? ?16,      t ? 4, 3? ??t 2 ? 8t ,   t ? 4 ?
(II)函数 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交点,即函数

? ( x) ? g ( x) ? f ( x) 的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
?? ( x) ? x 2 ? 8 x ? 6 ln x ? m, ?? '( x) ? 2 x ? 8 ? 6 2 x 2 ? 8 x ? 6 2( x ? 1)( x ? 3) ? ? ( x ? 0), x x x

当 x ? (0,1) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是增函数; 当 x ? (1,3) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是减函数; 当 x ? (3, ??) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是增函数; 当 x ? 1, 或 x ? 3 时, ? '( x) ? 0.

?? ( x)最大值 ? ? (1) ? m ? 7, ? ( x)最小值 ? ? (3) ? m ? 6ln 3 ? 15.

?当 x 充分接近 0 时, ? ( x) ? 0, 当 x 充分大时, ? ( x) ? 0. ?要使 ? ( x) 的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须
?? ( x)最大值 ? m ? 7 ? 0, ? ? ?? ( x)最小值 ? m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0, ?
即 7 ? m ? 15 ? 6ln 3.

所以存在实数 m,使得函数 y =f(x)与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,m 的取值 范围为(7,15-ln3)

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