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2014高考数学选择题解题专项练习(教师版)



2014 高考数学选择题解题策略
数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式,逻辑思维严格遵守数学概念和逻辑演绎的规则,而 直觉思维不受固定的逻辑规则约束,它直接领悟事物本质,是一种跳跃式的预见,因此大大缩短思 考时间。在解数学选择题时,巧妙运用直觉思维,能有效提高解题速度、准确度。 培养数学直觉思维,可以从特殊结构(包括代数式的结构、图形的结构、问题的结构) 、特殊数 值

、特殊位置、变化趋势、变化极限、范围估计、运算结果、特殊联系等方面来进行。 1、从特殊结构入手 【例题 1】 一个正四面体,各棱长均为 2 ,则对棱的距离 为( A、1 ) B、 1 2 C、 2 D、 2 2

此题情境设置简洁,解决方法也多,通常可以考虑作出对棱的公垂线段再转化为直角三角形求 解。不过若能意识到把这个正四面体置于一个正方体结构中(如图 1) ,则瞬间得到结果,就是该正 方体的棱长,为 1,选 A 2、从特殊数值入手 1 【例题 2】 、已知 sin x + cos x = , p < x ? 2p ,则 tan x 的值为( 5 4 4 3 3 4 A、 B、 - 或 C、 D、 3 3 4 4 3 )

3 4 由题目中出现的数字 3、4、5 是勾股数以及 x 的范围,直接意识到 sin x = - , cos x = ,从而得 5 5 3 到 tan x = - ,选 C 。 4 【例题 3】 、△ABC 中,cosAcosBcosC 的最大值是( A、 3 3 8 B、 1 8 C、1 D、 1 2 )

本题选自某一著名的数学期刊,作者提供了下列 “标准”解法,特抄录如下供读者比较: 设 y=cosAcosBcosC,则 2y=[cos(A+B)+ cos(A-B)] cosC, ∴cos2C- cos(A-B)cosC+2y=0,构造一元二次方程 x2- cos(A-B)x+2y=0,则 cosC 是一元二 次方程的根,由 cosC 是实数知:△= cos2(A-B)-8y≥0, 1 即 8y≤cos2(A-B)≤1,∴ y ? ,故应选 B。 8 这就是“经典”的小题大作!事实上,由于三个角 A、B、C 的地位完全平等,直觉告诉我们: 最大值必定在某一特殊角度取得,故只要令 A=B=C=60゜即得答案 B,这就是直觉法的威力,这也正 是命题人的真实意图所在。 3、从特殊位置入手

【例题 4】 、如图 2,已知一个正三角形内接于一个边长为 a 的正三角形中,问 x 取什么值时,内接正 三角形的面积最小( A、 a 2 B、 a 3 ) C、 a 4 D、 3 a 2

显然小三角形的端点位于大三角形边的中点时面积最小,选 A。 【练习 5】 、双曲线 x 2 - y 2 = 1 的左焦点为 F, 点 P 为左支下半支异于顶点的任意一点,则直线 PF 的 斜率的变化范围是( A、 (-?, 0) C、 (-?, 0) U (1, +?) ) B、 (-?, -1) U (1, +?) D、 (1, +?)

进行极限位置分析,当 P ? A 时,PF 的斜率 k ? 0 ;当 PF ^ x 时,斜率不存在,即 k ? +? 或
k ? -? ;当 P 在无穷远处时,PF 的斜率 k ? 1 。选 C。

4、从变化趋势入手 【例题 6】 、 (06 年全国卷Ⅰ,11)用长度分别为 2、3、4、5、6(单位:cm)的 5 根细木棍围成一个 三角形(允许连接,但不允许折断) ,能够得到的三角形的最大面积为多少?( A、8 5 cm2 B、6 10 cm2 C、3 55 cm2 D、20 cm2 )

此三角形的周长是定值 20,当其高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线,其面积趋向于零, 可知,只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时也就是形状接近于正三角形时面积最大,故三边长 应该为 7、7、6,因此易知最大面积为 6 10 cm2,选 B。 【例题 7】甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中个射箭 20 次,三人测试成绩如下表:
甲的成绩 环数 频数 7 5 8 5 9 5 10 5 环数 频数 乙的成绩 7 6 8 4 9 4 10 6 环数 频数 丙的成绩 7 4 8 6 9 6 10 4

S1 , S 2 , S3 分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( A、 S 3 > S1 > S 2 B、 S 2 > S1 > S 3 C、 S1 > S 2 > S 3



D、 S 2 > S 3 > S1

我们固然可以用直接法算出答案来,标准答案也正是这样做的,但是显然时间会花得多。凭直 觉你可以估计到:它们的期望值相同,离开期望值比较近的数据越多,则方差——等价于标准差会 越小!所以选 B。 5、从变化极限入手

【例题 8】 、在△ABC 中,角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c,若 c-a 等于 AC 边上的高,那么 sin C-A C+A + cos 的值是( ) 2 2 1 1 C、 A、1 B、 2 3

D、-1

进 行 极 限 分 析 , A ? 0o 时 , 点 C ? A , 此 时 高 h ? 0, c ? a , 那 么 C ? 180o , A ? 0o , 所 以 sin C-A C+A + cos ? sin 90o + cos 0o = 1 ,选 A。 2 2 )

【例题 9】与方程 y = e 2 x - 2e x + 1( x ? 0) 的曲线关于直线 y = x 对称的曲线方程为( A、 y = ln(1 + x ) B、 y = ln(1 - x ) C、 y = - ln(1 + x )

D、 y = - ln(1 - x )

用趋势判断法:显然已知曲线方程可以化为 y = (e x - 1) 2 ( x ? 0) ,是个增函数。再令 x ? +?, 那么
y ? +?, 那么根据反函数的定义,在正确选项中当 y ? +? 时应该有 x ? +?, 只有 A 符合.

6、从范围估计入手 【例题 10】甲乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3 局 2 胜” ,即以先赢 2 局者为胜,根据以往经 验,每局比赛中甲获胜的概率为 0.6,则本次比赛中甲获胜的概率为( A、0.216 B、0.36 C、0.432 D、0.648 )

先看“标准”解法——甲获胜分两种情况:①甲:乙=2:0,其概率为 0.6×0.6=0.36,②甲:乙=2:
1 1,其概率为 [C2 0.6 ? 0.4] ? 0.6 = 0.288 ,所以甲获胜的概率为 0.36+0.288=0.648,选 D。

现在再用直觉法来解:因为这种比赛没有平局,2 人获胜的概率之和为 1,而甲获胜的概率比乙 大,应该超过 0.5,只有选 D。 【例题 11】连续投掷两次骰子的点数为 m, n ,记向量 b=(m,n)与向量 a=(1,
? p ù 的概率是 -1)的夹角为 q ,则 q ? ? 0, ú è 2?

A、

5 12

B、

1 2

C、

7 12

D、

5 6

凭直觉可用估值法,画个草图(图 4) ,立刻发现在 ?AOB 范围内(含在 OB 上)的向量 b 的个数超过 一半些许,选 C,完全没有必要计算。 7、从运算结果入手

p 【例题 12】 、函数 y = sin( - 2 x) + cos 2 x 的最小正周期是( 3 p A、 B、 p C、 2p D、 4p 2



因为 a sin w x + b cos w x = A sin(w x + j ) ,所以函数 y 的周期只与 w 有关,这里 w = 2 ,所以选 B, 根本不必计算。

7 2 7 【例题 13】 、若 (1 - 2 x) = a0 + a1 x + a2 x + L + a7 x ,则 | a0 | + | a1 | + | a2 | + L + | a7 |= (



A、-1

B、1

C、0

D、 37

选 D。

8、从特殊联系入手 ìx > 0 ? 【例题 14】不等式组 í 3 - x 2 - x 的解集是( ?3 + x > 2 + x ? A、 {x 0 < x < 2 )

} }

B、 {x 0 < x < 2.5 D、 {x 0 < x < 3

}

C、 {x 0 < x < 6

}

直接求解肯定不是最佳策略;四个选项左端都是 0,只有右端的值不同,在这四个值中会是哪一 个呢?直觉:它必定是方程 3- x 3- x =| | 的根! ,代入验证:2 不是,3 不是, 2.5 也不是,所以选 C。 3+ x 3+ x ) C.15 D.16

【例题 15】 、四个平面,最多可以把空间分成几部分?( A.8 B.14

这个问题等价于:一个西瓜切 4 刀,假设在此过程中西瓜不散落,则最多可以切成几块? 前 3 刀沿横、纵、竖三个方向切成 8 块应该没有问题,第 4 刀怎么切呢?要得到最多的块数, 应该尽可能切到前 8 块,所以切法应该区别于前 3 刀的方向,即斜切,但总有 1 块切不到,所以答 案为 8×2-1=15,选 C。 也可以这样考虑:假设已经切好了,则中间必定有 1 块是没有皮的四面体,与每一个面相邻的 有 1 块,共 4 块;与每条棱相接的有 1 块,共 6 块;与每顶点相对的有 1 块,共 4 块;所以总数是 1+4+6+4=15,选 C。



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