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2-1 导数概念



2.1 导数的概念
一、问题的提出 二、导数的定义 三、由定义求导数 四、导数的几何意义与物理意义 五、可导与连续的关系 六、小结

一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t 0时刻的瞬时速度,

取一邻近于t 0的时刻t , 运动时间?t ,
?s s ? s 0 g 平均速

度 v ? ? ( t 0 ? t ). ? ?t t ? t 0 2

t0
t

?t

当 t ? t 0时,

取极限得

g(t 0 ? t) ? gt 0 . 瞬时速度 v ? lim t ?t0 2

2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
y

如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即
MN ? 0, ?NMT ? 0.

y ? f ( x)

N T

C
o
?

M
?

x0

x

x

设 M ( x0 , y0 ), N ( x , y ).

y ? y0 f ( x ) ? f ( x0 ) 割线MN的斜率为 tan ? ? ? , x ? x0 x ? x0 C N ?沿曲线 ?? ? ? M , x ? x0 , f ( x ) ? f ( x0 ) . 切线MT的斜率为 k ? tan ? ? lim x ? x0 x ? x0

二、导数的定义(变化率的极限) (瞬间变化率)
定义

设函数 y ? f ( x )在点 x0的某个邻域内

有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 ? x ( 点 x0 ? ? x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量? y ? f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ); 如果? y与

? x之比当? x ? 0时的极限存在, 则称函数
y ? f ( x )在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y ? f ( x )在点 x0处的导数, 记为f ?( x0 ),

y?

x ? x0

dy , dx

df ( x ) x ? x0 或 dx

x ? x0

.

即 y?

x ? x0

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?y ? lim ? lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x
f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ) f ?( x 0 ) ? lim . h? 0 h
f ( x ) ? f ( x0 ) f ?( x 0 ) ? lim . x ? x0 x ? x0

其它形式

关于导数的说明: ★

函数在点x0的导数是因变量在点x0 处的

变化率, 它反映因变量随自变量的变化而变 化的快慢程度.


如果函数 y ? f ( x )在开区间 I 内的每点

处都可导, 就称函数 f ( x )在开区间 I 内可导.

★ 对于任一 x ? I , 都对应着 f ( x ) 的一个确定的

导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x ) 的导函数. dy df ( x ) 记作 y?, f ?( x ), 或 . dx dx
f ( x ? ?x ) ? f ( x ) 即 y ? ? lim ?x ? 0 ?x f ( x ? h) ? f ( x ) 或 f ?( x ) ? lim . h? 0 h

注意:

f ?( x0 ) ? f ?( x )

x ? x0

.

★ 单侧导数
1.左导数:
f ( x ) ? f ( x0 ) f ??( x0 ) ? lim x ? x0 ? x ? x0

f ( x0 ? ? x ) ? f ( x 0 ) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? lim ? lim ; ? x ?0? h ? 0 ? ?x h

f ( x ) ? f ( x0 ) 2.右导数: f ?? ( x0 ) ? xlim ? x0 ? x ? x0 f ( x0 ? ? x ) ? f ( x 0 ) f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ) ? lim ? lim ; ? x ?0? h? 0+ ?x h

★ 函数 f ( x )在点 x 0 处可导 ? 左导数 f ?? ( x 0 ) 和右
导数 f ?? ( x 0 )都存在且相等.



讨论函数 f ( x ) ? x 在x ? 0处的可导性.

★ 如果 f ( x ) 在开区间?a , b ? 内可导,且 f ?? (a ) 及

f ?? (b ) 都存在,就说 f ( x ) 在闭区间?a , b? 上可导.

三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 ?y ? f ( x ? ?x ) ? f ( x );
?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ( 2) 算比值 ? ; ?x ?x ?y ? ( 3) 求极限 y ? lim . ?x ? 0 ? x

例1 求函数 f ( x ) ? C (C为常数) 的导数. 解 f ?( x ) ? lim
h? 0

f ( x ? h) ? f ( x ) C ?C ? 0. ? lim h? 0 h h



(C )? ? 0.

例2 求函数 y ? x n (n为正整数) 的导数.

更一般地

( x n )? ? nx n ?1 .

( x ? )? ? ?x ? ?1 .
1

(? ? R )

例如,

1 ?1 1 2 ? . ( x )? ? x 2 x 2

( x )? ? (?1) x
?1

? 1? 1

1 ?? 2. x

例3 设函数 f ( x ) ? sin x , 求(sin x )?及(sin x )?

sin( x ? h) ? sin x (sin x )? ? lim h? 0 h h sin h 2 ? cos x. ? lim cos( x ? ) ? h? 0 h 2 2 即 (sin x )? ? cos x .

? x? 4

.

? (sin x )?

x?

? 4

? cos x

x?

? 4

2 ? . 2

例4 求函数 f ( x ) ? a x (a ? 0, a ? 1) 的导数. 解
x?h x a ? a (a x )? ? lim h? 0 h h a ?1 x ? a lim h? 0 h

? a x ln a .



(a x )? ? a x ln a .

( e x )? ? e x .

例5 求函数 y ? log a x(a ? 0, a ? 1) 的导数. 解
log a ( x ? h) ? log a x y ? ? lim h? 0 h h log a (1 ? ) x ?1 ? lim h? 0 h x x x 1 h h 1 ? lim log a (1 ? ) ? log a e . x h? 0 x x
即 1 (log a x )? ? log a e . x

1 (ln x )? ? . x

四、导数的几何意义与物理意义
1.几何意义
f ?( x0 )表示曲线 y ? f ( x ) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率, 即 o ? f ( x0 ) ? tan ? , (?为倾角)
?

y
y ? f ( x)

T

M

x0

x

切线方程为 y ? y 0 ? f ?( x 0 )( x ? x 0 ).
1 ( x ? x 0 ). 法线方程为 y ? y 0 ? ? f ?( x 0 )

1 1 例7 求等边双曲线 y ? 在点( ,2)处的切线的 x 2 斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k ? y?
1 x? 2

1 ? ( )? x

1 x? 2

1 ?? 2 x

1 x? 2

? ?4.

1 所求切线方程为 y ? 2 ? ?4( x ? ), 即 4 x ? y ? 4 ? 0. 2 1 1 法线方程为 y ? 2 ? ( x ? ), 即 2 x ? 8 y ? 15 ? 0. 4 2

2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度. ?s ds v ( t ) ? lim ? . ?t ? 0 ? t dt 交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
?q dq i ( t ) ? lim ? . ?t ? 0 ? t dt

非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度.

五、可导与连续的关系
定理 证 凡可导函数都是连续函数.
设函数 f ( x )在点 x0可导,
?y lim ? f ?( x 0 ) ?x ? 0 ? x ?y ? f ?( x 0 ) ? ? ?x

? ? 0 ( ?x ? 0 )
?x ? 0 ?x ? 0

?y ? f ?( x0 )?x ? ??x

lim ?y ? lim [ f ?( x 0 )?x ? ??x ] ? 0

?函数 f ( x )在点 x0 连续 .

注意: 该定理的逆定理不成立. ★ 连续函数不存在导数举例

1. 函数 f ( x )连续 , 若 f ??( x0 ) ? f ??( x0 )则称点 x0 为函数 f ( x ) 的角点 , 函数在角点不可导 .
例如,
?x2, f ( x) ? ? ? x, x?0 , x?0
y
y ? x2
y?x

0

x

在 x ? 0处不可导, x ? 0为 f ( x )的角点.

2. 设函数 f ( x )在点 x0 连续, 但 f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?y lim ? lim ? ? , ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x 称函数 f ( x )在点 x0有无穷导数. (不可导)
例如,

y

y ? 3 x ?1

f ( x ) ? 3 x ? 1,

在 x ? 1处不可导.

0

1

x

3. 函数 f ( x )在连续点的左右导数都不存在 (指摆动不定) , 则 x0点不可导 .
例如,
y

1 ? ? x sin , f ( x) ? ? x ? ? 0,
在x ? 0处不可导.

x?0 , x?0

1

-1/π

0

1/π

x

4. 若f ?( x0 ) ? ? , 且在点 x0的两个单侧导数 符号相反 , 则称点 x0为函数 f ( x )的尖点 (不可导点) .
y
y ? f ( x)

y

y ? f ( x)

o

x

o

x0

x



1 ? ? x sin , x ? 0 讨论函数 f ( x ) ? ? , x ? x?0 ? 0, 在x ? 0处的连续性与可导性 .
1 ? lim x sin ? 0 x ?0 x

1 解 ? sin 是有界函数 , x

? f ( x )在x ? 0处连续. x ?0 1 (0 ? ?x ) sin ?0 1 ?y 0 ? ? x ? sin ? 但在x ? 0处有 ?x ?x ?x ?y 当?x ? 0时, 在 ? 1和1之间振荡而极限不存在. ?x ? f ( x )在x ? 0处不可导.

? f (0) ? lim f ( x ) ? 0

六、小结
1. 导数的实质: 变化率的极限;

2. f ?( x 0 ) ? a ? f ?? ( x 0 ) ? f ?? ( x 0 ) ? a;
3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续,但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
不连续,一定不可导.

6. 判断可导性
连续

直接用定义;

看左右导数是否存在且相等.

练习题
习题2-1 3;6;7;8;9;13;17;19;20.

作业题
习题2-1 20;



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