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椭圆离心率的背景探求



2010年第6期

中学数学研究
(1)当£>(仇2—1)尺2时,点F的轨迹是

(丢m2—1)R2,得l cD l:^、/2t.t-(2。-m2)R2.
当向量内积£一定时,l CD l为定值.即中点C 到定点D的距离为定值,则点C的轨迹是圆或
圆弧.

以P、o为焦点,长轴长为 ̄/2£+(2一m2)R2
的椭圆(④o内);

(2)当£<(优2—1)R2时,点F的轨迹是 以P、0为焦点,实轴长为、/2f+(2一优2)R2

(1)当(i1 m2—1)R2<£<(加一1)2R2时,

的双曲线(00内). 证明:如图3,连结OF、 OE,设OE交弦AB于点C.

即(丢优2—1)/22<2
l告,棵一R
≤2,f 的圆.
DO

cD

2+(昙m2—1)R2<
f<i1
7”一2 R= CE

(m一1)2R2.解得0<f l=I
DO

CD

由o、E关于AB对称可知

l—R;.由定理知o≤磁
CD

l=I∞l、I EFl=l砌|.

图3

取PO的中点D,连结∞,则!PEI=2IaDI.
(1)当£>(优2—1)R2时,£=2 f
CD
2+

I<R,点D在oo内,则0<f

<R—l DO|.所以点C的轨迹是内含于00 I=I
DO

(告777.2—1)R2>(m2—1)R2.解得l cDI>告?
mR.则I CD l>}DO},P、E在直线AB的异 侧.所以f PF』+{FO I=f =2l
2l cD FP

(2)当£=(仇一1)2R2时,f
DO

CD

R—

I.若I

DO

I<R,l

CD

I=R—l

f,点

l+I FE f=f


PE

C的轨迹是内切于oo的圆;若l
CD

DO

I≥R,

I.由t=2

cD

2+(告m2—1)R2,得

l=l

DO

I—R,点C的轨迹仅是PO与

oo的交点. (3)当(m一1)2R2<£<(m-I-1)2R2时, (m一1)2R2<2
c’D

a)l=√2f+(2一m2)R2.所以l即I+lFOl=
FO

 ̄/2£+(2一m2)R2.当£一定时,l FP I+l

2+(告m2—1)R2<(”z
DO

为定值.由椭圆的定义可知,点F的孰迹是以 P、0为焦点,长轴长为 ̄/2£+(2一m2)R2的椭
圆000内);

+1)2R2.解得I R—I i
DO

I<I

CD

I<j℃+

f.所以点C的轨迹是含在oO内的圆 命题2 如图3,已知定点P和半径为R <l

(2)当£<(m2—1)R2时,同理可得l
DO

CD

弧.

I,P、E在直线AB的同侧.1
FP

FP CD FP

l— I= l—

FO

的定圆00,AB是oo的弦,且PO=rnR,

l=I

l—I

FE

J=I

PE

I=2

 ̄/2£+(2一m2)R2.当£一定时,I
PA?PB=£,圆心。关于直线,4t3的对称点为 E,直线PE交弦AB于点F,£为定值. 轨迹是以尸、O为焦点,实轴长为

FO{l为定值.由双曲线的定义可知,点F的

 ̄/2£+(2一m2)R2的双曲线(oO内).
啦誊业业誊啦业螺省}誓坐坐业9略j缸--ale-监-业嵌鞋逝9k盥船誊啦幸船鞋逝逝业誊业妇尊}■e业业曾}坐■}

椭圆离心率的背景探求
江西省高安中学
(33 1)800)

鄢旭春

椭圆是二次曲线中一个重要内容,高考及 各地的模拟考试中,以椭圆离心率为背景的题

目频繁出现.本文以我校一道数学模拟题为例, 探求椭圆离心率的背景.
?21?

万方数据

中学数学研究
题目

2010年第6期
生、口一f等. 背景5若椭圆通径的长等于长轴长的(1 一m2)倍,则椭圆的离心率等于班; 背景6若椭圆两准线间距离等于其焦距

设椭圆≤+篙=1(口>b>o)的右
口 D

焦点为.F1,右准线为z1,若过F1且垂直于z 轴的弦的长等于点F1到11的距离,求椭圆的 离心率.

该题实质上是在“椭圆通径的长等于焦点
到相应准线间距离”的背景下,探求“椭圆的离
心率”.

的七倍,则椭圆的离心率等于m;
背景7若椭圆通径长等于焦点到相应准 线距离的2m倍,则椭圆的离心率等于m; 背景8若椭圆短轴的一个端点到椭圆一 焦点的距离是该焦点到长轴较近的端点距离的

以下探求椭圆离心率e=m(m为常数,且 0<m<1)的背景. 1.基本量背景 椭圆的基本量主要指长轴长、短轴长、焦 距,即2口、26、2c,及口、b、C满足的基本关系式
口2=b2+c2.

r%倍,则椭圆的离心率等于m?
背景8的探究过程如下: 根据题意,设口=k(口一f),将c=优,即c

背景1

若椭圆长轴的长是其焦距的上

倍,则椭圆的离心率等于m; 背景2


若椭圆长轴的长是其短轴长的

=&m代入得忌=而1
思考题

;反之,若忌=r岛,代

了=兰=:倍,则椭圆的离心率等于m;
√1一m。

入口=k(口一c),得上=优.

背景3
、/1一m‘

若椭圆的焦距与短轴长之比为

设椭圆≤+篙=1(口>b>o)的

_=mi倍,则椭圆的离心率等于m;
背景4 若椭圆的短半轴与长半轴、半焦 距的乘积的算术平方根成正比,且比例系数为

左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆上一点,且 PF2上z轴,当tan么F1f)F2为何值时,椭圆的 离心率等于m. 3其他相关背景 背景9

^/L型,则椭圆的离心率等于,扎.
Y ,,‘

广=_——1

设椭圆季+篆2 1(口>6>o)的

背景4的探究过程如下:

由条件设b=k厄,则a2一C2=k2ac.将
ic=优,即c=am代入得忌2=Li芷,...忌=

左焦点分别为F,右顶点为A,短轴两端点分 别为B1、B2,若四边形ABlFB2面积是三角形 ABlB2面积的(1+m)倍,则椭圆的离心率等
于m.

√i1-m2;反之,当志=√Li£时,代入6z=
忌2口c得c=m. 思考题 已知。是椭圆的中心,F是一个 焦点,B是短轴的一个顶点,当tan么BFO为何 值时,椭圆的离心率等于m. 2特征量背景 椭圆的特征量主要指通径的长、两准线间

探究过程:因AFBlB2 与AABlB2同底B182,如图 1,则S四边形船1AB2=S△船182
+s△ABlB2=c口s△ABlB2+

刃‘ 弋Ⅻ
B1 Bz

\之3. 尘多夕j

图1

S△ABlB2=(1+优)S△ABlB2; 反之,S四边形船。AB2=(1+m)S△AB。B2,则

的距离、焦点到相应准线间距离、中心到准线的

距离、焦点到长轴顶点的距离,即等、了2a2、了b2、
?22?

s△圈182=优s△加,B:,又磊S丽AFBlB2=詈,.?.詈

万方数据

2010年第6期
背景10

中学数学研究
入椭圆方程得I PQ l=b~/a2-k2c2,又由OP

设椭圆≤a+荔2 1(n>6>o)的


内接矩形面积的最大值为2√ri≯口2,则椭
圆的离心率等于优. 探究过程:如图2,首先 求椭圆内接矩形面积的最大 值.设椭圆的内接矩形为 ABCD,则A(acosO,bsinO),

∥AB净比:/≯=刀净忌:箬;反之,当忌


图2 2以2一

:磐时,由舷:x/—a2-—k2c2=》c:m.
背景12如图4,设椭圆
..2 ..2

%+与=1(口>b>0)的右 o一
a—


臼∈(o,号).s矩脚=

顶点为A,左焦点为F,将坐 标平面沿y轴折成60。的二


图4

4absinOcosO=2absin20,当0=季时,

面角,若点A在另一半平面内的射影为点Q,

以≯刁=2n,/—a2_—m2a2=2厂F刁n2;反
之,由(s矩形)一=2ab= ̄/n2一m2口2=
2 ̄/1一m2a2净6= ̄/1一m2口号口2一c2
m2n2=>旦2 m.

(S矩形)rb.ax=2ab.又(S矩形)一=2ab=2a?

且IOQI=世巷斗,则椭圆的离心率等于m.
探求过程:由图4,在Rt AAOQ中,l OQ

=口cos60。=号=刍=掣;反之,若l
=垤掣,则可得号=赤≥詈=优.
思考题1

OQ

背景11如图3,从椭圆

设以椭圆≤+差=1(口>b>

≯x2+菩=1(口>6>o)上一
点P向z轴作垂线,垂足为 Q,这时椭圆的长轴端点A
图3

0)的短轴为一条对角线的正六边形与z轴的 正半轴交于点P,F为右焦点,A为右顶点,若
OP

I与I

OA

l+l

OF

l成正比,当比例系数k

和短轴端点B的连线平行于OP,若l oQ l=

为何值时,该椭圆的离心率为优. 思考题2

}乞,则椭圆的离心率等于m. Zm
探究过程:设Q点的横坐标z=一舷,代

过椭圆%+3,/22=1(口>b>o)

上已知点P(zo,Yo)的切线的斜率k为何值

时,该椭圆的离心率为m. 业省}j蟹誊e善章誊jk簟!I鲁jkjkj;}j‘}业jIk-省e妇业坐:Ik业j睡誊}誊}j*?坐j潞-誓}jk寸}jk坐妇省ejk省}坐!Ik业:Ikjk-j-}



道摸

底试题
(341600)


邱礼明





江西省信丰中学

题目

已知抛物线Y2=4x,0为坐标原

可以看作是由下面的课本习题改编而来的.

点,F为抛物线的焦点,在抛物线的准线上存 在一点P,使么OPF的正弦值最大,则这个最 大值为


《全日制普通高级中学教科书》数学第一册
(下)第136页练习第一题: 如图,从C、D两处测 量河对岸的电视塔高AB, 这两处与塔底在一条同一
良....c
' “一 ../

这是江西省赣州市2010年高三年级摸底 考试的一道填空题,学生对这道题的解答较差. 实际上,该题是生活中常见的最大视角的问题,

D熟..,

|! !;

叁B

万方数据

?23?



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